Решение уравнений
- Квадратные уравненияУравнение вида $$ ax^2 + bx + c = 0$$ где, a, b, c - действительные числа, причем \(a \neq 0\), называют квадратным уравнением. Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если \(a \neq 1\), - то неприведенным. Числа a, b, c носят следующие названия a - первый коэффициент, b - второй коэффициент, c...
- Формулы сокращенного умноженияКвадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a+b)2=a2+2ab+b2 Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a-b)2=a2-2ab+b2 Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов. (a+b)(a-b)=a2-b2 Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное...
- Линейное уравнение с одной переменнойПрактика часто ставит перед нами задачу выяснить, при каких допустимых значениях буквы (или нескольких букв) обе части того или иного равенства принимают одинаковые числовые значения. На равенство в этом случае мы смотрим как на уравнение относительно указанной неизвестной величины. Так, если равенство, а + 4 = 5 (1) рассматривать как уравнение относительно величины а, то легко сообразить, что обе его части принимают...
- Графический способ решения уравнения mx = n
Уравнение вида mx = n, к которому сводится любое линейное уравнение, может быть легко решено графически. На одном и том же рисунке построим графики двух функций: у = mx и у = n. Если эти графики пересекутся, то абсцисса точки пересечения и даст нам корень уравнения mx = n.
Если же эти графики не пересекутся, то это будет означать, что уравнение... - Решение уравнений с модулем методом интервалов
При решении некоторых уравнений, содержащих неизвестное под знаком абсолютной величины, часто используют так называемый метод интервалов. Продемонстрируем этот метод на примере уравнения
|x + 1| + |x - 2| = 3 (1)
Это уравнение содержит две абсолютные величины: | х + 1 | и | х - 2|. Первая из них обращается в нуль при х = - 1,... - Среднее арифметическое и среднее геометрическое
Средним арифметическим любых n чисел a1, a2, ... , an называется число
$$ \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} $$
Средним геометрическим n положительных чисел a1, a2, ... , an называется число
$$ \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2\cdot ... a_n} $$
Например, для чисел 2 и 8 средним арифметическим будет число \(\frac{2+8}{2}=5\), а средним геометрическим — число \(\sqrt{2\cdot 8} = 4\). Среднее арифметическое чисел 10,... - Квадратный трехчленУравнения вида ax2 + bx + c = 0, (1) где х - неизвестная величина, а, b, с - данные числа (а \(\neq\) 0), называются квадратными. Выделяя в левой части квадратного уравнения полный квадрат, получаем: $$ a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a} = 0 $$ или $$ a(x+\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \;\;\; (2)$$ Очевидно, что уравнение (2) эквивалентно уравнению (1). Уравнение (2) может иметь действительные...
- Биквадратные уравнения и их решениеБиквадратными называются уравнения вида ax4 + bx2 + c = 0 (1) где a, b и с - заданные числа, причем а \(\neq\) 0. Решение таких уравнений сводится к решению квадратных уравнений. Действительно, полагая в (1) у = x2, получаем: ау2 + by + с = 0. Найдя из этого уравнения у и учитывая, что у = x2, легко получить и х. Пример. Решить уравнение x4...
- Решение иррациональных уравненийИррациональными уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестное под знаком радикала. К таким относятся, например, уравнения \(\sqrt{x - 1}\) = 3 + \(\sqrt{x}\) , \(\sqrt{x}\)= 5 - 4х, \(\sqrt[3]{2-x}\) = \(\sqrt[4]{x+6}\)+7x и т. д. Мы ограничимся рассмотрением иррациональных уравнений, которые содержат только квадратные радикалы. В связи с этим следует напомнить, что квадратные корни можно извлекать только из неотрицательных чисел. Такие, например, выражения, как \(\sqrt{-3}\), \(\sqrt{-25}\),...
- Алгебраическое уравнение n-й степениНаиболее полно элементарная математика рассматривает алгебраические уравнения только двух степеней: первой и второй. Эти уравнения имеют вид: ах + b = 0 (а \(\neq\) 0) ax2 + bx + c = 0 (а \(\neq\) 0). В области комплексных чисел любое алгебраическое уравнение 1-й степени имеет ровно один корень, а любое алгебраическое уравнение 2-й степени - ровно два корня. В высшей алгебрe изучаются...
- Составление уравнения c одним неизвестнымВсякая арифметическая задача состоит в том, что по нескольким известным величинам и по данным соотношениям между этими известными величинами и другими, неизвестными, отыскиваются неизвестные. Алгебра дает особый способ для решения арифметических задач. Этот способ основан на том, что словесно выраженные условия арифметических задач могут быть переведены на математический язык, т.е. выражены посредством алгебраических формул. Перевод словесно выраженных условий задачи на...
- Разложение алгебраических выражений на множителиГоворя об алгебраическом делении, мы указывали, что в некоторых случаях частное можно только обозначить знаком деления. Получаемые при этом выражения, вроде таких: $$ \frac{a}{b}, \frac{2x}{3a}, \frac{x^2-4x+y^2}{x+y} $$ принято называть алгебраическими дробями по сходству этих выражений с арифметическими дробями. Алгебраические дроби, подобно арифметическим, могут быть иногда упрощены посредством сокращения (т.е. посредством деления) делимого и делителя на их общие множители, если таковые окажутся. Для того,...
- Как решать логарифмические уравненияЛогарифмическими уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестные величины под знаком логарифма. К таким относятся, например, уравнения log2 x = 5, logx (x - 1) = 0 и т. д. Так же как и показательные, логарифмические уравнения являются трансцендентными. Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение loga x = b, (1) где а и b - данные числа, а х - неизвестная величина. Если а - положительное и не...
- Уравнения и неравенства с модулем
Уравнения с модулем
Пример 1. Решить уравнение |10х – 5| = 15.
В соответствии с правилом, уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
│10х – 5 = 15 │10х – 5 = –15
Решаем:
│10х = 15 + 5 = 20 │10х = –15 + 5 = –10
↕
│х = 20 : 10 │х = –10 : 10
↕
│х = 2 │х =...
Уравнение вида mx = n, к которому сводится любое линейное уравнение, может быть легко решено графически. На одном и том же рисунке построим графики двух функций: у = mx и у = n. Если эти графики пересекутся, то абсцисса точки пересечения и даст нам корень уравнения mx = n.
Если же эти графики не пересекутся, то это будет означать, что уравнение...
При решении некоторых уравнений, содержащих неизвестное под знаком абсолютной величины, часто используют так называемый метод интервалов. Продемонстрируем этот метод на примере уравнения
|x + 1| + |x - 2| = 3 (1)
Это уравнение содержит две абсолютные величины: | х + 1 | и | х - 2|. Первая из них обращается в нуль при х = - 1,...
Средним арифметическим любых n чисел a1, a2, ... , an называется число
$$ \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} $$
Средним геометрическим n положительных чисел a1, a2, ... , an называется число
$$ \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2\cdot ... a_n} $$
Например, для чисел 2 и 8 средним арифметическим будет число \(\frac{2+8}{2}=5\), а средним геометрическим — число \(\sqrt{2\cdot 8} = 4\). Среднее арифметическое чисел 10,...
Уравнения с модулем
Пример 1. Решить уравнение |10х – 5| = 15.
В соответствии с правилом, уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
│10х – 5 = 15 │10х – 5 = –15
Решаем:
│10х = 15 + 5 = 20 │10х = –15 + 5 = –10
↕
│х = 20 : 10 │х = –10 : 10
↕
│х = 2 │х =...Примеры и задачи на решение уравнений
- дробное рациональное уравнение
- когда дискриминант равен
- линейные уравнения
- найдите все корни уравнения
- найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку
- найдите сумму корней уравнений
- найти действительные корни уравнения
- построить математическую модель
- произведение действительных корней уравнения
- решение дробных рациональных уравнений
- решите линейное уравнение
- решите уравнение
- решить квадратное уравнение через дискриминант
- решить логарифмическое уравнение
- решить уравнение
- решить через теорему Виетта
- сколько действительных корней имеет уравнение
- число корней уравнения
- является ли число корнем уравнения
