Числа
- Возникновение комплексных чиселВведение комплексных чисел было связано с открытием решения кубического уравнения. И до этого открытия при решении квадратного уравнения \(x^2 + q = px\) приходилось сталкиваться со случаем, когда требовалось извлечь квадратный корень из \((\frac{p}{2})^2 - q\), где величина \((\frac{p}{2})^2\) была меньше чем q. Но в таком случае считалось, что уравнение не имеет решений. О введении новых (комплексных) чисел в то время...
- Определение и свойства комплексных чисел
Если ограничиваться только вещественными числами, то, как известно, действие извлечения корня не всегда выполнимо; корень четной степени из отрицательного числа не имеет ответа в области вещественных чисел. В связи с этим уже квадратное уравнение с вещественными коэффициентами не всегда имеет вещественные корни.Это обстоятельство приводит, естественно к расширению понятия о числе, к введению новых чисел более общей природы, частным случаем... - Тригонометрическая форма комплексных чисел
Вместо того, чтобы определить вектор \(\overrightarrow{MN}\) его проекциями a и b на координатные оси, мы можем определить его двумя другими величинами, а именно: его длиной r и углом φ, который направление \(\overrightarrow{MN}\) образует с положительным направлением оси OX. Если же мы считаем, что комплексное число a + bi соответствует точке с координатами ( a, b ), то r и φ... - Комплексные числа: сложение и вычитание
Сумма векторов представляет собой замыкающую многоугольника, составленного из слагаемых векторов. Принимая во внимание, что проекция замыкающей равна сумме проекций составляющих, мы приходим к следующему определению сложения комплексных чисел:
( a1+b1i ) + ( a2+b2i ) + ... + ( an+bni ) =
= ( a1+a2+ ... +an ) + ( b1+b2+ ... +bn )i.
Нетрудно видеть, что сумма комплексных чисел не зависит... - Рациональные числа и действия над ними
Первой математической операцией, с которой столкнулся человек, был счет предметов. В результате счета предметов получаются целые положительные числа, иначе называемые натуральными. Расположенные в порядке возрастания, они образуют натуральный ряд чисел
1, 2, 3, 4.....
После натуральных чисел в математику были введены положительные дроби, то есть числа вида m/n, где m и n - произвольные натуральные числа. Введение этих чисел в математику... - Десятичная дробь - рациональное число
Десятичная форма записи рациональных чисел
На практике обычно пользуются десятичной, формой записи рациональных чисел. Так, вместо 1/2 пишут 0,5; вместо - 3/8 пишут - 0,375; вместо 5/4 пишут 1,25 и т. д. Для простоты в дальнейшем мы будем говорить лишь о положительных и правильных дробях, то есть дробях, заключенных в интервале от 0 до 1.
Чтобы получить десятичную форму записи числа m/n,... - Действительные числа и действия с ними
В предыдущем параграфе мы убедились, что для измерения отрезков рациональных чисел не хватает. Напомним еще раз, что рациональные числа - это числа, представимые в виде бесконечных периодических десятичных дробей. А длины некоторых отрезков выражаются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Таким образом, задача измерения отрезков приводит нас к необходимости расширить множество рациональных чисел путем присоединения к нему положительных бесконечных непериодических десятичных дробей.... - Наибольший общий делитель
Возьмём три числа: 60, 90 и 120. Каждое из них делится на 30. Значит число 30 есть делитель каждого из них. Принято говорить, что число 30 есть общий делитель чисел: 60, 90 и 120.
В дальнейшем нам часто придётся искать общий делитель для двух, трёх и т. д. чисел. Запомним, что общим делителем нескольких чисел называется число, на которое все данные... - Разложение на простые множителиСначала разберемся с тем, что такое простые множители. Понятно, раз в этом словосочетании присутствует слово "множители", то имеет место произведение каких-то чисел, а уточняющее слово "простые" означает, что каждый множитель является простым числом. Например, в произведении вида 2·7·7·23 присутствуют четыре простых множителя: 2, 7, 7 и 23. А что же значит разложить число на простые множители? Это значит, что данное число нужно представить...
Если ограничиваться только вещественными числами, то, как известно, действие извлечения корня не всегда выполнимо; корень четной степени из отрицательного числа не имеет ответа в области вещественных чисел. В связи с этим уже квадратное уравнение с вещественными коэффициентами не всегда имеет вещественные корни.Это обстоятельство приводит, естественно к расширению понятия о числе, к введению новых чисел более общей природы, частным случаем...
Вместо того, чтобы определить вектор \(\overrightarrow{MN}\) его проекциями a и b на координатные оси, мы можем определить его двумя другими величинами, а именно: его длиной r и углом φ, который направление \(\overrightarrow{MN}\) образует с положительным направлением оси OX. Если же мы считаем, что комплексное число a + bi соответствует точке с координатами ( a, b ), то r и φ...
Сумма векторов представляет собой замыкающую многоугольника, составленного из слагаемых векторов. Принимая во внимание, что проекция замыкающей равна сумме проекций составляющих, мы приходим к следующему определению сложения комплексных чисел:
( a1+b1i ) + ( a2+b2i ) + ... + ( an+bni ) =
= ( a1+a2+ ... +an ) + ( b1+b2+ ... +bn )i.
Нетрудно видеть, что сумма комплексных чисел не зависит...
Первой математической операцией, с которой столкнулся человек, был счет предметов. В результате счета предметов получаются целые положительные числа, иначе называемые натуральными. Расположенные в порядке возрастания, они образуют натуральный ряд чисел
1, 2, 3, 4.....
После натуральных чисел в математику были введены положительные дроби, то есть числа вида m/n, где m и n - произвольные натуральные числа. Введение этих чисел в математику...
Десятичная форма записи рациональных чисел
На практике обычно пользуются десятичной, формой записи рациональных чисел. Так, вместо 1/2 пишут 0,5; вместо - 3/8 пишут - 0,375; вместо 5/4 пишут 1,25 и т. д. Для простоты в дальнейшем мы будем говорить лишь о положительных и правильных дробях, то есть дробях, заключенных в интервале от 0 до 1.
Чтобы получить десятичную форму записи числа m/n,...
В предыдущем параграфе мы убедились, что для измерения отрезков рациональных чисел не хватает. Напомним еще раз, что рациональные числа - это числа, представимые в виде бесконечных периодических десятичных дробей. А длины некоторых отрезков выражаются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Таким образом, задача измерения отрезков приводит нас к необходимости расширить множество рациональных чисел путем присоединения к нему положительных бесконечных непериодических десятичных дробей....
Возьмём три числа: 60, 90 и 120. Каждое из них делится на 30. Значит число 30 есть делитель каждого из них. Принято говорить, что число 30 есть общий делитель чисел: 60, 90 и 120.
В дальнейшем нам часто придётся искать общий делитель для двух, трёх и т. д. чисел. Запомним, что общим делителем нескольких чисел называется число, на которое все данные...Примеры и задачи на числа
