решение уравнений »
найдите все корни уравнения - страница 6
Найдите значение а, при котором: уравнение имеет один корень /x-a/=а+1 / - стенка МОДУЛЯ
уравнения являются противоположные числа /x-a+2/=5
сумма корней уравнения равна 12 /x-a/=2
Решение: 1. уравнение с модулем имеет один корень если модуль обращается в 0, следовательно а+1 = 0 следовательно а=-12. корни будут противоположными только в том случае если х=+/-5, следовательно -а+2=0, а=2
3. раскроем модуль в систему ур-й х1-а =2 и х2-а=-2, при этом известно что х1+х2=12, сделаем подстановку х1-а=2 и 12 - х1 -а = -2, сложив уравнения получим 12 - 2а = 0, а=6, а корни у-я 8 и 4
Найдите рациональные корни уравнения
х3-6х2+15х-14=0
после х идёт степень
Решение: Уравнение имеет вид
Ax³ + Bx² + Cx + D = 0
проведём на 1² обе части и проведём замену переменной y = 1x
x³ - 6x² + 15x - 14 = 0
1³ x³ - 11 * 1² x² + 15 * 1 x - 14 = 0
y = x
y³ - 6x² + 15x - 14 = 0
запишем все делители 14 подставим до получения тождества
+-1, +-2, +-7.
1³ - 6 * 1² + 15 * 1 - 14 = -4 ≠0
(-1)³ - 6 * (-1)² + 15 * (-1) - 14 = -24 ≠0
и так далее пока уравнение не будет равно нулю.
далее выражаете x через y и решаете выражение в скобкахРешите уравнение:
5х^2-3х=0
5х^2-8х+3=0
х^2-х/6=2
Разложите, если возможно, на множители многочлен х^2+9х-10
Решите уравнение х^3+4х^2-21х=0
Найдите все целые значения p, при которых уравнение х^2-pх-10=0 имеет целые корни
Решение: X²+9x-10=0 D=121
x₁=1 x₂=-10 ⇒
x²+9x-10=(x-1)(x+10)
x³+4x²-21x=0
x(x²+4x-21)=0
x₁=0
x²+4x-21=0 D=100
x₂=3 x₃=-7
x²-px-10=0
x₁*x₂=-10
x₁+x₂=p>0 ⇒
x₁=10 x₂=-1 ⇒ p=9 x²-9x-10=0 D=121 √D=11
x₁=5 x₂=-2 ⇒ p=3 x²-3x-10=0 D=49 √D=7.
Разложите на множители многочлены:
1) 7а^10 - 35а^7 - 2a^4 + 10a
2)3b^15 - 27b^10 - 2b^6 + 18b
найдите корни уравнений:
1)(2x - 1)^2 - 3^2 = 0
2) (2 - 3x)^2 - 1 = 0
Решение: 1) 7а^10 - 35а^7 - 2a^4 + 10a = 7a^7(a^3 - 5) - 2a(a^3 - 5) = (a^3 - 5)(7a^7 - 2a) = a(a^3 - 5)(7a^6 - 2)
2)3b^15 - 27b^10 - 2b^6 + 18b = 3b^10(b^5 - 9) - 2b(b^5 - 9) = b(b^5 - 9)(3b^9 - 2)
1)(2x - 1)^2 - 3^2 = 0
(2x-1-3)(2x-1+3) = 0
2(x-2)*2(x+1) = 0
(x-2)(x+1) = 0, x1 = -1; x2 = 2
Ответ: -1; 2.
2)(2 - 3x)^2 - 1 = 0
(2-3х-1)(2-3х+1) = 0
3(1-3х)(1-х) = 0, х1 = 1/3; х2 = 1
Ответ: 1/3; 11. 1)2х2+7х-9=0,
2) 3х2=18х,
3) х2-16х+63=0, 4) 100х2-16=0
2. При каких
значениях х равны значения многочленов
(х+1)2 и 7х-3x2
(2-x)(2х+1) и (x-2)(х+2)
3. Один из
корней квадратного уравнения х2+рх-18=0 равен -9. Найдите корни
уравнения и коэффициент р.
4. Периметр прямоугольника
20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника 24 см2.
Решение: №1
2х2+7х-9=0
D=49-4*2*(-9)=49+72=121
x1=(-7+11)/(2*2)=4/4=1
x2=(-7-11)/(2*2)=18/4=4,5
№2
3х2=18х
3х2-18х=0
3х(х-18)=0
х1=18
х2=-18
№3
х2-16х+63=0
Д=256-4*2*63=256-504=-248
Ответ: корней нет. то как дискрименант меньше нуля.
№4
х2+рх-18=0, по теореме Виета:
где х1=-9, а х2=2. подставляем:
х1+х2=7
х1*х2=-18
Ответ: х1=-9, х2=2
коэффициент р=7.
№5
тут действует метод подстановки:
Р=2(6+4)=20см
S=6*4=24см2
Ответ: длина-6см, ширина-4
В1. Решите уравнение (х – 3)2 – 6(х – 3) – 7 = 0. В ответ запишите сумму корней.
В2. Найдите значение b, если известно, что уравнение 3х2 – bх + 5 = 0
имеет только одно решение.
В3. Найдите координаты точек пересечения прямой у = 3 - х и
окружности х2 + у2 = 9
Решение: В1 обозначь х-3 =у получится квадратное уравнение у квад -у -7 =0 реши и сделай обратную плдстановкуB1. (x - 3)² - 6(x - 3) - 7 = 0
x - 3 = t
t² - 6t - 7 = 0
t₁ = - 1
t₂ = 7
x - 3 = - 1
x₁ = 2
x - 3 = 7
x₂ = 10
В2. Найдите значение b, если известно, что уравнение 3х² – bх + 5 = 0
имеет только одно решение.
Уравнение имеет один корень, если дискриминант равен нулю.
D = b² - 4*3*5
b² - 60 = 0
b² = 60
b₁ = - 2√15
b₂ = 2√15
В3. Найдите координаты точек пересечения прямой у = 3 - х и
окружности х2 + у2 = 9
Решение
у = 3 - х
х² + у² = 9
x² + (3 - x)² = 9
x² + 9 - 6x + x² = 9
2x² - 6x = 0
2x(x - 3) = 0
x₁ = 0
x₂ = 3
y₁ = 3 - 0 = 3
y₂ = 3 - 3 = 0
координаты точек пересечения прямой и
окружности: (0;3) (3;0)
Ответ: (0;3) (3;0)Часть 2. К каждому заданию В1 – В3 запишите краткий ответ
В1. Решите уравнение (х – 5)2 – 3(х – 5) – 4 = 0. В ответ запишите сумму корней.
В2. Найдите значение b, если известно, что уравнение 3х2 – bх + 1 = 0
имеет только одно решение.
В3. Найдите координаты точек пересечения прямой у = 3 + х и окружности х2 + у2 = 9
Решение: В1) (х – 5)2 – 3(х – 5) – 4 = 0.2x-10-3x+15-4=0
-x=10-15+4
-x=-5+4
-x=-1
x=1
В2) чтобы уравнение имело одно решение то дискриминант (D) этого уравнения, должен быть равен нулю
3х² – bх + 1 = 0
D=b²-4ac=b²-4*3=b²-12
D=0отсюда следует что b²-12=0
решаем уравнение:
b²-12=0
b²=12
b=+-√12
при значениях +-√12 уравнение имеет одно решение
В3) здесь надо решить систему..
убывает функция при х < 0, при х > 0?
Экзаменационная работа по алгебре
8 класс ( ІІ полугодие ) Вариант 2.
Часть 1. В каждом задании выберите верный ответ из четырех предложенных
А1. Решите уравнение 3х2 – 45х = 0
1) 0; 15 2) – 15; 0 3) – 5; 5 4) – 15; 15
А2. Решите уравнение 5х2 + 45 = 0
1) 9 2) – 3; 3 3) 3 4) нет корней
А3. Не решая уравнения, найдите сумму и произведение корней
уравнения х2 + 7х + 1 = 0
1) – 7 и 1; 2) 1 и – 7; 3) нет верного ответа; 4) 7 и 1
А4. Разложите на множители х2 – 6х – 7
1) ( х + 7)(х – 1); 2) нельзя разложить; 3) ( х – 7)(х + 1); 4) ( х + 7)(1 – х)
А5. Если прямая имеет угловой коэффициент k = 3 и проходит через
точку (0; - 2), то уравнение этой прямой имеет вид:
1) у = 3х + 2; 2) у = 2х + 3; 3) у = 1,5х + 6; 4) у = 3х – 2
А6. Какая пара чисел является решением системы уравнений
1) ( 5 ; – 2 ) 2) ( 3 ; 3 ) 3) ( 2 ; – 1 ) 4) ( – 2; 1 )
А7. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 48 см2 и одна сторона меньше другой на 8 см
1) 44 см; 2) 28см; 3) 32 см ; 4) 26см
А8. Функция задана формулой f(x) = 4х2 – 5х – 3. Найдите значение f(0) – 2 f(1)
1) 11; 2) – 11; 3) 5; 4) – 5
А9. Для ряда чисел 12,2; 12,4; 10,8; 14,4 определите среднее арифметическое
1) 11,6; 2) 12,3; 3) 13,3 ; 4) 12,45
А10. В коробке лежат два синих, три желтых и пять красных шаров. Определите вероятность того, что наугад взятый шар окажется не синим.
1) 0,2; 2) 0,8; 3) 0,5; 4) 0,7
Часть 2. К каждому заданию В1 – В3 запишите краткий ответ
В1. Решите уравнение (х – 2)2 + 3(х – 2) – 4 = 0. В ответ запишите сумму корней.
В2. Найдите значение b, если известно, что уравнение 2х2 – bх + 3 = 0
имеет только одно решение.
В3. Найдите координаты точек пересечения прямой у = 2 + х и окружности х2 + у2 = 4.
Приведите развернутое решение задания С1.
Задания С2 и С3 выполняйте на клетчатой бумаге
С1. Для получения 20 литров 16%-ного раствора соли смешивают некоторое количество 25%-ного и некоторое количество 10%-ного раствора соли. Сколько литров каждого раствора надо взять?
Решение: A1.
3x(x-15)=0
3x=0 x-15=0
x=0 x=15
Ответ: 1)
A2.
5(x²+9)=0
x²+9=0
x²=-9
нет корней.
Ответ: 4)
A3.
По т. Виета:
x₁+x₂=-7
x₁*x₂=1
Ответ: 1)
A4.
x²-6x-7=0
D=36+28=64
x₁=(6-8)/2=-1
x₂=(6+8)/2=7
x²-6x-7=(x-7)(x+1)
Ответ: 3)
A5.
y=kx+b
y=3x+b
-2=3*0+b
b= -2
y=3x-2
Ответ: 4)
A7.
x(x-8)=48
x²-8x-48=0
D=64+192=256
x₁=(8-16)/2=-4 - не подходит по смыслу задачи.
x₂=(8+16)/2=12
12-8=4
P=2(12+4)=32
Ответ: 3)
A8.
f(0)=4*0²-5*0-3=-3
f(1)=4*1²-5*1-3=-4
f(0)-2f(1)=-3-2*(-4)=5
Ответ: 3)
A9.
(12.2+12.4+10.8+14.4)/4=12.45
Ответ: 4)
B1.
y=x-2
y²+3y-4=0
D=9+16=25
y₁=(-3-5)/2=-4
y₂=(-3+5)/2=1
x-2=-4 x-2=1
x=-2 x=3
-2+3=1
Ответ: 1.
B2.
2x²-bx+3=0
D=b² -4*2*3=b² -24
b²-24=0
b²=24
b₁=2√6
b₂= -2√6
Ответ: -2√6; 2√6.
B3.
{x²+y²=4
{y=2+x
x²+(x+2)²=4
x²+x²+4x+4=4
2x²+4x=4-4
2x(x+2)=0
2x=0 x+2=0
x=0 x=-2
y=2 y=0
Ответ: (-2; 0); (0; 2).1) Укажите значения m, при которых равно нулю значение дроби \( \frac{ m^{2}+m-6 }{ m^{2}-16 } \)
2) Найдите корни уравнения \( \frac{ x^{2} }{ x^{2} -x-6} = \frac{7x+10}{6+x- x^{2} } \)
3) Найдите сумму всех значений x, при которых значение дроби \( \frac{ x^{2} +2x-3}{ x^{2} +5x-1} \) равно -1
4) Решите уравнения \( \frac{1}{x+3} + \frac{3}{x-1} = \frac{ x^{2} +5x+2}{ x^{2} +2x-3} \)
\( ( \frac{x-3}{x+2} )^2 - 15 = 16( \frac{x+2}{x-3} )^2 \)
Решение: 1)
$$ \frac{m^2+m-6}{m^2-16}=0\\ \begin {cases} m^2+m-6=0\\ m^2-16= 0 \end{cases}\\ \\ \begin {cases} m_1=-3; \ \ \ m_2=2\\ m^2=16; \ \ \ meq\pm4 \end{cases}\\ m_1=-3; \ \ \ m_2=2 $$
2)
$$ \frac{x^2}{x^2-x-6}=\frac {7x+10}{6+x-x^2} \\ \frac{x^2}{x^2-x-6}=\frac {-7x-10}{x^2-x-6} \\ \begin {cases} x^2=-7x-10\\ x^2-x-6=0 \end {cases}\\ \\ \\ \begin {cases} x^2+7x+10=0\\ x=3; \ \ \ x=-2 \end {cases}\\ \\ \\ \begin {cases} x_1=-2; \ \ \ x_2=-5\\ x=3; \ \ \ x=-2 \end {cases}\\ x=-5 $$
3)
$$ \frac{x^2+2x-3}{x^2+5x-1} =-1\\ x^2+2x-3=-x^2-5x+1\\ 2x^2+7x-4=0\\ D=49+4*2*4=81=9^2\\ x_1=\frac{-7+9}{2*2}=0,5\\ \\ x_2=\frac{-7-9}{2*2}=-4 $$
4)
$$ \frac{1}{x+3} +\frac{3}{x-1}=\frac{x^2+5x+2}{x^2+2x-3}\\ \frac{x-1}{(x+3)(x-1)} +\frac{3(x+3)}{(x-1)(x+3)}=\frac{x^2+5x+2}{x^2+2x-3}\\ \frac{x-1}{x^2+2x-3} +\frac{3x+9}{x^2+2x-3}=\frac{x^2+5x+2}{x^2+2x-3}\\ \begin{cases} x-1+3x+9=x^2+5x+2\\ x^2+2x-3=0 \end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases} x^2+x-6=0\\ x=-3; \ \ \ x=1 \end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases} x_1=-3; \ \ \ x_2=2\\ x=-3; \ \ \ x=1 \end{cases}\\ \\ \\ x=2 $$1. Выполните действие:
а) -5,8 * (-6,5) б) 37, 36 : (-9,2) в) 5 2/5 * (- 1 1/9) г) - 1 3/4: 5 1/4
2. Выполните действие:
(36,67 + 2, 9 * (-3,8)) : (- 5,7) +2,5
3. Выразите числа 9/28 и 1 8/35 в виде приближенного значения десятиной дроби до сотых.
4. Найдите значение выражения 6/7 *(-0?76) -2,74 * 6/7
5. Найдите корни уравнения (15y- 24) (3y - 0,9) = 0
Решение: 1. а) минусы отпадают тогда 5,8*6,5=37,7
б) 37,36:(-9,2)=-4 целых 0,56/9,2
в) 5 2/5*(-1 1/9)=представляем в виде неправильной дроби 27/5*(-10/9)= -270/45= -6
г) =-7/4 : 21/4= дробь переворачивается -7*4/4*21= 7 и 21 сокращаем, 4 и 4 тоже. и так 7 и 21 сокращаем на семь тогда остается 1/3 Ответ: 1/3 надеюсь тут все понятно?)
2. =(36,67-11,02): (-3,2)= - 25,65/3,2= 8 целых 0,05/3,2
4. =(-3,5)*6*6/7*7=126/49=2 целых 27/49
