упрощение выражений »

разложите на простые множители число - страница 5

  • Даны разложения чисел a и b на простые множители, найдите НОД (a ; b) и НОК (a ; b).
    а)
    А= 2 в 3 степени × 3 в 4 степени × 5
    B= 2 в 4 степени × 3 в 5 степени × 5 во 2 степени;
    б)
    А= 2 во 2 степени × 3 в 3 степени × 5 во 2 степени
    B= 3 во 2 степени × 5 в 3 степени
    (для решения задачи достаточно составить произведение и не вычислять его)


    Решение: А) НОД (a ; b)=2 в 3 степени × 3 в 4 степени × 5=8*81*5=3240НОК (a ; b)=2 в 4 степени × 3 в 5 степени × 5 во 2 степениб) НОД (a ; b)= 3 во 2 степени × 5 в 2 степениНОК (a ; b)=2 во 2 степени × 3 в 3 степени × 5 во 3 степен

    Для нахождения НОД берем из обоих разложений с наименьшей степенью. В первом примере это будет 2^3 * 3^4 * 5. Во втором - 3^2 * 5^2. Для нахождения НОК воспользуемся правилом НОК = (а*b)/ НОД(а, б).
    В первом случае (2^7*3^9*5^3) / (2^3*3^4*5) = 2^4 * 3^5 * 5^2/
    Во втором: (2^2*3^5*5^5) / (3^2*5^2) = 2^2 * 3^3 * 5^3.

  • Число 99.9 (состоящее из 999 цифр) разложили на простые множители. Найдите количество множителей, равных 3, в этом разложении.


    Решение: Делим на 9, получаем 111.111 - 999 единиц.
    Оно тоже делится на 9. То есть исходное число мы разделили на 81.
    Делим, получаем
    123456790123456790.12345679
    Здесь набор 12345679 повторяется 111 раз, и между ними нули.
    Сумма цифр будет (1+2+3+4+5+6+7+9)*111 = 37*111 = 37*37*3
    Эта сумма цифр, а значит, и само число, делится на 3, но не на 9.
    Ответ: Число 999.999 (999 девяток) делится на 3^5.

  • представьте заданные натуральные числа в каноническом разложении на простые множители 113400


    Решение: 113400 = 2*2*2*3*3*3*3*5*5*7. Делим число на 2, до тех пор, пока не перестанет делиться, потом делим на следующее простое число - 3, и так далее, пока не получим 1.

    Число 113400 разлагаем на простые множители:

    2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 3 * 5 * 5 * 7

    Проверка : 2*2*2*3*3*3*3*5*5*7=113400

  • Найдите для числ 2240,2178,7272,8049,9216 разложение в произведения простых множителей


    Решение: Найти разложение числа в произведение простых множителей можно так: делим число на 2 до тех пор, пока оно делится нацело. После этого делим число на 3 и так далее, перебираем все простые числа (2,3,5,7,11,) до тех пор, пока при делении на очередном шаге не получим 1.
    Например, 2240:2=1120, 1120:2=560, 560:2=280, 280:2=140, 140:2=70, 70:2=35. 35 не делится на 3, проверим делимость на 5: 35:5=7, 7:7=1. Получили единицу. Число 6 раз разделилось на 2, 1 раз разделилось на 5 и 1 раз разделилось на 7, значит, $$ 2240= 2^{6} *5*7 $$.
    Аналогично получаем, что:
    $$ 2178=2* 3^{2}* 11^{2} \\ 7272= 2^{3} * 3^{2}*101 \\ 8049=3*2683 \\ 9216= 2^{10} * 3^{2} $$

  • Из чисел 135,162,242,315,441 выбери числа, в разложении которых на простые множители имеется:1) три тройки; 2) две семёрки


    Решение: Три тройки = 3*3*3 = 3^3 = 27. Значит, проверяем
    135/27 = 5 - подходит
    163/27 = 6 - подходит
    242/27 = 8.9 - не подходит (с остатком) 
    315/27= 11.6 - не подходит (с остатком) 
    441/27 = 16.3 - не подходит (с остатком).
    Теперь проверяем две семёрки = 7*7 = 49.
    135/49 -
    163/49 -
    242/49 -
    315/49 -
    441/49=9. 

  • Докажите что данные числа не являются простыми - 8192, 99

    2 задание

    Какое число разложено на простые множители- 2*3*3*3*3*7, 3*3*5*11*11


    Решение: 1. простое число имеет два натуральных делителя 1 и само на себя.

    8192 имеет делители 1, 2,6, 8192 и другие. => число 8192 не является простым

    99 имеет делители 1, 3,9,11,99. Число 99 не является простым

    P.S

     1)8192:2=4096

    4096:2=2048

    2048:2=1024

    1024:2=512

    512:2=256

    256:2=128

    128:2=64

    64:2=32

    32:2=16

    16:2=8

    8:2=4

    4:2=2

    2:2=1

    2)99:3=33

    33:3=11

    11:11=1

    2. 2*3*3*3*3*7= 2*3 в степени 4*7= 14*81=1134

    3*3*5*11*11= 9*121*5=45*121=5445

  • Назовите два трехзначных числа, которые: делятся на 10 и на 9, делятся на 10 не делятся на 9, делятся на 9 не делятся на 10,

    Признаки делимости помогают при разложении числа на простые множители (при этом запись удобно вести спомощью вертикальной черты). Разложите на простые множители число: 3960 2295 35100

    Изпользуй 1,3,5,6 (по 1 разу каждую) все возможные 4-ех значные числа, которые: делятся на 5

    Число кратное 9, ближайшее к

    732 596 2468


    Решение: которые делятся на 10 и 9 = 990 и 909

    которые делятся на 10 = 500 и 1000

    которые делятся на 9 = 999 и 189

    1) делятся на 10 и на 9: 180, 360.

        делятся на 10 и не делятся на 9: 230, 350.

       делятся на 9 и не делятся на 10: 126,351.

    2) 3960 | 2*5

           396 | 2

           198 | 2

            99 | 3

            33 | 3

            11 | 11

              1

       2295 | 3

         765 | 3

         255 | 3

           85 | 5

           17 | 17

             1

       35100 | 2*5*2*5

            351 |3

            117 | 3

              39 | 3

              13 | 13

                 1

    3) 1365; 1635; 3165; 3615; 6315; 6135.

    4) 732600

        2466

       

  • В разложении числа A на простые множители есть только двойки и тройки. Известно также, что НОК(2^5,A)< НОК(2^6,A) и НОК(3^3,A)> НОК(3^2,A). Чему равно наибольшее такое A?


    Решение: В условии сказано, что A содержит только двойки и тройки. То есть A=2^a*3^b.
    НОК(2^5, A) = 2^max(5,a) * 3^b
    НОК(2^6, A) = 2^max(6,a) * 3^b
    НОК(3^3, A) = 2^a * 3^max(3,b)
    НОК(3^2, A) = 2^a * 3^max(2,b)
    Получим систему неравенств:
    2^max(5,a) * 3^b < 2^max(6,a) * 3^b,
    2^a * 3^max(2,b) < 2^a * 3^max(3,b).
    Из первого неравенства следует, что max(5,a)Если a>=6, то max(5,a)=a, max(6,a)=a, то есть неравенство не выполняется.
    Если a < 6, то max(5,a)=5, max(6,a)=6, неравенство выполняется.
    Наибольшим a является 5.
    Из второго неравенства следует, что max(2,b)Если b>=3, то max(2,b)=b, max(3,b)=b, то есть неравенство не выполняется.
    Если b < 3, то max(2,b)=2, max(3,b)=3, неравенство выполняется.
    Наибольшим b является 2.
    Таким образом, наибольшим A является число A=2^5*3^2=32*9=288

  • В разложении числа A на простые множители есть только двойки и тройки. Известно также, что
    1) НОК (2 в 6 степени,A) < НОК (2 в 7 степени,A)
    2) НОК (3 в 3 степени,A) > НОК (3 в 2 степени,A)
    Чему равно наибольшее такое A?


    Решение: Пусть A=2^a * 3^b.
    НОК(2^6, A) = 2^max(6,a) * 3^b
    НОК(2^7, A) = 2^max(7,a) * 3^b
    НОК(3^3, A) = 2^a * 3^max(3,b)
    НОК(3^2, A) = 2^a * 3^max(2,b)
    Получим систему неравенств:
    2^max(6,a) * 3^b < 2^max(7,a) * 3^b,
    2^a * 3^max(2,b) < 2^a * 3^max(3,b).
    Из первого неравенства следует, что max(6,a)<max(7,a).
    Если a>=7, то max(6,a)=a, max(7,a)=a, то есть неравенство не выполняется.
    Если a < 7, то max(6,a)=6, max(7,a)=7, неравенство выполняется.
    Наибольшим a является 6.
    Из второго неравенства следует, что max(2,b)<max(3,b).
    Если b>=3, то max(2,b)=b, max(3,b)=b, то есть неравенство не выполняется.
    Если b < 3, то max(2,b)=2, max(3,b)=3, неравенство выполняется.
    Наибольшим b является 2.
    Таким образом, наибольшим A является число A=2^6*3^2=64*9=576

  • 1) Сколько различных простых множителей содержится в разложении числ 96?
    2) Найдите сумму всех делителей числа 39.


    Решение: 1) 96 : 2 = 48
      48 : 2 = 24
      24 : 2 = 12
      12 : 2 = 6
      6 : 2 = 3
      3 : 3 = 1
    Простые множители числа 96 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 
    2) 39 : 3 = 13
      13 : 13 = 1
    39 = 3 * 13 - простые множители
    Сумма делителей числа 39 = 1 + 3 + 13 + 39 = 56 

    96=2*2*2*2*2*3
    различных простых множителей 2 (2 и 3)
    39=3*13
    3+13=16

<< < 345 6 7 > >>