решите неравенство - страница 12

Решите неравенство (степень с модулем): \( 2^{x^2 +|x|} \cdot 3^{-|x|} \le 1 \)

Это неравенство из системы задания С3.

 Его не нужно решать, когда ты решите второе неравенство, ты получите промежуток, достаточно проверить это неравенство на полученном промежутке и получить ответ :)

$$ 2^{x^2+|x|}\cdot3^{-|x|}\leq1, \\ 2^{x^2+|x|}\cdot3^{-|x|}>0, x\in R, \\ \log_2(2^{x^2+|x|}\cdot3^{-|x|})\leq\log_21, \\ \log_22^{x^2+|x|}+\log_23^{-|x|})\leq0, \\ (x^2+|x|)\log_22-|x|\log_23\leq0, \\ x^2+|x|-|x|\log_23\leq0, \\ |x|(|x|+1-\log_23)\leq0, \\ |x|(|x|+1-\log_23)=0, \\ |x|=0, x_1=0, \\ |x|+1-\log_23=0, |x|=\log_23-1, x_2=1-\log_23, x_3=\log_23-1, \\ $$

$$ \{ 3>2, \log_23>\log_22, \log_23>1; \log_23\approx1,6 \} \\ |x|\geq0, x\in R \\ 1-\log_23\leq x\leq\log_23-1, \\ x\in [1-\log_23;\log_23-1]. $$

Решите неравенство -y-5y^3<или=0

-y-5y^3<=0  умножим на -1<0

y+5y^3>=0  разложим на множители

y(1+5y^2)>=0 что равносильно неравнеству

y>=0 (так как квадрат любого выражения неотрицателен, произведение двух неотрицательных неоотрицательное выражение и сумма неотрицательного и положительного положительное)

y є [0;+ ∞)

(2-sqr3)^(x-1)<= 3(2+sqr3)^(x-1)-2; решите неравенство

Здесь надо заметить, что произведение (2-√3)(2+√3)=4-3=1.Значит (2-√3) и (2+√3) взаимно обратные выражения.

(2-√3)= 1/ (2+√3).

Обозначим 2+√3=t,тогда неравенство перепишется в виде: 1/ t^(x-1)≤3t^(x-1)-2. Чтоб ещё было удобней, обозначим t^(x-1)=z ⇒ 1/z-3z+2≤0, -3z²+2z+1≤0, 3z²-2z-1≥0

z₁=-1/3, z₂=1 ⇒ (z+1/3)(z-1)≥0, ⇒ z∈(-∞,-1/3)∨(1,+∞) или через неравенства { z≤-1/3 и z≥1 }

z=(2+√3)^(x-1)≥0 при любых значениях х, и не может быть меньше - 1/3.

(2+√3)^(x-1)≥1 ⇒ x-1≥0, x≥1

Решить неравенство: 5^(2x+1)>25;
1/5 больше или равно 5^(x+2);
3^(2(x+1))< 1/27

5^(2x+1)>25            1/5>= 5^(x+2)                   3^(2(x+1))<1/27

5^(2x+1)>5^2           5^(-1)>=5^(x+2)                3^(2(x+1))< 3^(-3)

2x+1>2                    -1>=x+2                             2(x+1)<-3

2x>1                        x<=-1-2                             2x+2<-3

x>1/2                      x<=-3                                2x<-5

                                                                       x<-2,5

Решите неравенство 2x^2-7x+5 меньше или равно 0