неравенства »

решите неравенство - страница 4

  • Найдите все значения а, для каждого из которых неравенство ах в квадрате -4х+3а+1>0 выполняется для всехх>0.




    Решение: Ax^2-4x+3a+1>0 для всех x>0
    геометрическая интерплетация данного неравенства означает, что парабола лежит выше оси Х, для этого нужно, чтобы выполнялось 2 условия a>0 , D<0
    D(половинный)=(-2)^-a(3a+1)=4-3a^2+a
    -3a^2-a+4<0
    3a^2+a-4>0 3a^2+a-4=0 D=1+4*3*4=49 a1=1 a2=-4/3 3a^2+a-4=3(a+4/3)(a-1)=(3a+4)(a-1)
    (3a+4)(a-1)>0
    a=-4/3 a=1 отметитм на прямой Х и расставим знаки на интервалах
       -4/3 1
    + - +
    объединяем с a>0 ⇒ a∈(1,+00)

  • Найдите все значения а, для каждого из которых неравенство ах2 -4х+3а+1>0 выполняется для всех х.


    Решение: Ax²-4x+(3a+1)>0
    D=16-4a(3a+1)<0
    12a²+4a-16>0
    3a²+a-4>0
    D=1+48=49
    a1=(-1-7)/6=-4/3
    a2=(-1+7)/6=1
       +  _  +
    ____________________________________
       -4/3  1
    a∈(-∞;-4/3) U (1;∞)

    Ax - x a D - a a a a- D a - - - a -           -   a - - U...

  • Найдите все положительные значения "а", для каждого из которых неравенство
    ах^2 - (а^2 - 5а+6)х - 5а^2 +6а ≥ 0 выполняется для любого "х"


    Решение: Налицо квадратное неравенство
    Мы знаем, что квадратное неравенство выполняется для любого икс, если его дискриминант меньше нуля
    Считаем дискриминант
    D=b^2-4ac = (a^2-5a+6)^2-4a*(-5a^2+6a) = (a^2+5a-6)^2
    Тут получился полный квадрат, так что в принципе можно было и красиво решить это неравенство, но у нас задача иная
    Решаем неравенство
    (a^2+5a-6)^2 < 0
    Это неравенство решений не имеет, ибо квадрат числа не может быть меньше нуля
    Значит, таких "а" нет

  • Найти значения параметра a, для каждого из которых неравенство, верно при всех значениях x, $$ \log_{\frac{a(a-2)}{8}}(2^x + \frac{a^2}{2^x}) \ge 1 $$


    Решение: 1) Если основание логарифма
    0 < a(a - 2)/8 < 1
    0 < a^2 - 2a < 8
    { a(a - 2) > 0
    { a^2 - 2a - 8 = (a - 4)(a + 2) < 0
    Получается
    { a < 0 U a > 2
    { a < -2 U a > 4
    Область определения:  a < -2 U a > 4 
    При этом функция логарифма - убывающая. Тогда
    2^x + a^2/2^x <= a(a - 2)/8
    Замена 2^x = y > 0 при любом х
    y + a^2/y - a(a - 2)/8 <= 0
    (8y^2 - a(a - 2)*y + 8a^2) / y <= 0
    y > 0 при любом х, поэтому
    8y^2 - (a^2 - 2a)*y + 8a^2 <= 0
    Это неравенство не может быть верно при любом y, только на отрезке (y1; y2)
    Значит, если 0 < a(a - 2)/8 < 1, то решений нет.
    2) Если основание
    a(a - 2)/8 > 1
    a^2 - 2a > 8
    a^2 - 2a - 8 > 0
    (a - 4)(a + 2) > 0
    Область определения: a < -2 U a > 4
    При этом функция логарифма - возрастающая. Тогда
    2^x + a^2/2^x >= a(a - 2)/8
    Замена 2^x = y > 0 при любом х 
    y + a^2/y - a(a - 2)/8 >= 0
    8y^2 - (a^2 - 2a)*y + 8a^2 >= 0
    D = (a^2 - 2a)^2 - 4*8*8a^2 = a^4 - 4a^3 + 4a^2 - 256a^2 = a^4 - 4a^3 - 252a^2
    Если это верно при любом х (и при любом у), то D < 0
    a^4 - 4a^3 - 252a^2 < 0
    Делим все на a^2 > 0
    a^2 - 4a - 252 < 0
    D/4 = 4 + 252 = 256 = 16^2
    a1 = 2 - 16 = -14; a2 = 2 + 16 = 18
    Решение: (-14, 18)
    С учетом области определения:  a < -2 U a > 4
    Ответ: (-14; -2) U (4; 18) 

  • Найдите все значения параметров b для каждого из которых неравенство (b+2)x^2-(b+1) x +2>0 выполняется при любых дейсьветительных знаенияхx


    Решение: В заданном неравенстве (b+2)x^2-(b+1) x +2>0 левая часть - квадратный трёхчлен. Его общий вид: ах²+вх+с.

    Пусть f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0.
    Для того, чтобы корни данного квадратного трёхчлена были больше некоторого числа t, необходимо и достаточно, чтобы выполняласьследующая система условий: D ≥ 0,a · f(t) > 0,x₀ > t (это абсцисса вершины параболы, t = 0 по заданию).

    Находим дискриминант: D=b²-4ac.
    D=b²+2b+1-4(b+2)*2 = b²-6b-15.
    Приравниваем его нулю: b²-6b-15 = 0.
    Квадратное уравнение, решаем относительно b: 
    Ищем дискриминант:D=(-6)^2-4*1*(-15)=36-4*(-15)=36-(-4*15)=36-(-60)=36+60=96;
    Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:b₁=(√96-(-6))/(2*1)=(√96+6)/2=√96/2+6/2=√96/2+3 = 2√6+3 ≈ 7.89898;

    b₂=(-√96-(-6))/(2*1)=(-96+6)/2= -96/2+6/2=- √96/2+3 = -2√6+3 ≈ -1.89898.

    Находим a · f(t):
    f(0) = (b+2)*0²-(b+1)*0+2 = 2.
    a · f(t) = (b+2)*2 = 2b+4.
    Находим условие a · f(t) > 0: 
    2b+4 > 0,
    2b > -4,
    b > -2.

    Проверяем третье условие: x₀ > t.
    x₀ = -b/2а = (b+1)/(2b+4) > 0.
    b > -1.
    Совместное выполнение всех условий даёт ответ:
    чтобы неравенство (b+2)x^2-(b+1) x +2>0 выполнялось при любых действительных значениях x, параметр b должен находиться на отрезке:
    3-2√6 < b < 3+2√6.


  • Сколько существует натуральных значений n, не превосходящих 10, для каждого из которых неравенство nx^2+4x>1-3n справедливо для любого значения x?


    Решение: Натуральные n, не превосходящие 10 - это числа 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10

    1) n=1
    $$ x^2+4x>-2 $$
    $$ x^2+4x+2>0 $$
    $$ a=1>0;D=4^2-4*1*2=8>0 $$
    выполняется не для всех х
    2)$$ n=2 $$
    $$ 2x^2+4x>-5 $$
    $$ 2x^2+4x+5>0 $$
    $$ a=2>0;D=4^2-4*2*5<0 $$
    выполняется для всех х
    3) $$ n=3 $$
    $$ 3x^2+4x>-8 $$
    $$ 3x^2+4x+8>0 $$
    $$ a=3>0;D=4^2-4*3*8<0 $$
    выполняется
    при $$ n \geq 4 $$
    $$ a=n>0;D=4^2-4*n*(3n-1)=16-12n^2+4n=\\4(4+n-3n^2)=4(-3n+4)(n+1)<0 $$
    а значит выполняется

    итого таких значений n удовлетворяющих задаче девять чисел (2,3,4,5,6,7,8,9,10)

  • Укажите на координатной оси все числа х,для каждого из которых верно неравенство 1.|3х+4|<7 2.|5х-4|<=6


    Решение: |3x+4|<7
    3x+4<7 => x<1
    или
    3x+4>-7 => x> -3 2/3

    |5x-4|<=6
    5x-4<=6 => x<=0,4
    или
    5x-4>=-6 => x>=-9,4

    Решение на фотоx x - x- x - Решение на фото...

  • 1 задание:

    Найдите все действительные числа х, для каждого из которых справедливо равенство: а) |х-1|=3 б) |2х+3|=5.

    2 Задание

    Найдите все действительные числа х, для каждого из которых справедливо неравенство: а) |х-3|<1 б) |х+5|≥2


    Решение: 1)
    a) открыть скобки |х-1|=3 => х-1=3 или х-1=-3 => х=4 или х=-2
    ,) открыть скобки |2х+3|=5 => 2х+3=5 или 2х+3=-5 => 2х=2 или 2х=-8 =>х=1 или х=-4

    2)
    а) |х-3|<1 => -1<х-3<1 => 2<х<4

    б) |х+5|≥2 => х+5≥2или х+5<=-2 => х≥-3или х<=-7

  • а) Решите двойное неравенство 0<1+4x<17 и укажите наименьшее и наибольшее целые числа, которые являются его решениями.
    б) Решите двойное неравенство 0<1-5x<13 и укажите наименьшее и наибольшее целые числа, которые являются его решениями.


    Решение: Оставляете систему из двух неравенств 0<1-5х 1-5х<13 Не забудь знак системы фигурную скобку
    Потом выписываете их и решаете как два отдельных 1)0<1-5х 2)1-5х<13 5х<1 -5х<12 х<0,2 х>-2,4
    И дальше по координатной прямой чертите, потом ставите точку 0,2 и -2,4, потом смотрите так как х < значит нужно делать штриховку влево от точки 0,2 и так же с другим а, потом смотрите где пересекается и пишете этот промежуток будет такой ответ (-2,4;0,2)

  • Неравенство x^2/3 >= (3x + 3)/4


    Решение: $$ \frac{ x^{2} }{3} \geq \frac{3x+3}{4} $$

    $$ \frac{ x^{2} }{3} - \frac{3x+3}{4} \geq 0 $$

    $$ \frac{4 x^{2} -3(3x+3)}{12} \geq 0 $$

    $$ \frac{4 x^{2} -9x-9}{12} \geq 0 $$ *12

    $$ {4 x^{2} -9x-9} \geq 0 $$

    $$ {4 x^{2} -9x-9} =0 $$

    $$ D=(-9)^2-4*4*9=81+144=225 $$

    $$ x_1= \frac{9+15}{8}=3 $$

    $$ x_2= \frac{9-15}{8}=-0.75 $$

    $$ 4(x-3)(x+0.75) \geq 0 $$

    Решаем методом интервалов:

    -----------+---------[-0.75]------- - --------[3]---------+------------

    Ответ: $$ (-∞;-0.75] ∨ [3;+∞) $$
<< < 234 5 6 > >>