неравенства »

решите неравенство - страница 6

  • Для каждого допустимого значения α решить неравенство √(7-logα x^2 )>(logα x)(1-2 log |x|α


    Решение: √(7-logα x^2 )>(logα x)(1-2 log |x|α)

    ОДЗ: a>0, x>0, a,x - не равны 1. 7-2loga x >= 0, loga x <=3,5.

    Если х >0, то |x| = x, и правя часть неравенства равна loga x  - 2.

    Обозначим loga x = t.

    кор(7-2t) > t - 2

    Видим, что при t<=2, неравенство - верное.

    loga x <=2, тогда 0<x<1 и 1<x<=a^2 при a>1, x>=a^2 при 0<a<1        (1)

    Пусть теперь t>2. Возводим неравенство в квадрат:

    7-2t > t^2 - 4t + 4,    t^2 - 2t - 3 < 0, корни: -1; 3. Область: (-1; 3), но с учетом t>2 получим область: (2; 3)

    2<loga x<3, тогда a^2<x<a^3 при a>1, и a^3<x<a^2 при 0<a<1          (2)

    И объединяя (1) и (2) и с учетом (х не равен 1), получим ответ:

    При а прин (0;1):  х прин (a^3; 1)v(1; беск)

    При а прин (1; беск):  х прин (0; 1)v(1; a^3)

  • Для каждого значения параметра а решите неравенство: x^2 + 2x + a > 0


    Решение: Перепишем неравенство в виде
    $$ x^2+2x+1>1-a \\ (x+1)^2>1-a $$
    Если $$ 1-a<0 \\ a>1 $$, то решение неравенства - все действительные числа (справа стоит неотрицательное число, а слева строго отрицательное).
    Если $$ a=1 $$, решение - все числа кроме -1.
    Если $$ 1-a>0 \\ a<1 $$, можно неравенство переписать в виде (расписываем разность квадратов)
    $$ (x+1-\sqrt{1-a})(x+1+\sqrt{1-a})>0 $$
    Решить это неравенство несложно с помощью метода интервалов, ответ $$ x\in(-\infty,-1-\sqrt{1-a})\cup(-1+\sqrt{1-a}, +\infty) $$

    Разумеется, исследование можно провести и с помощью дискриминанта.

    X^2+2x+a>0
    D=4-4a
    Если дискриминант меньше нуля, то решением является вся числовая прямая (-беск;+беск)
    4-4a<0
    -4a<-4
    a>1 - x   (-беск;+беск)
    Если дискриминант равен нулю, а=1, то x>-1; x<-1, то есть вся числовая прямая без х=-1
    Если дискриминант больше нуля, a<1, то решением неравенства будет
    x1=(-2+sqrt(4-4a))/2; x2=(-2-sqrt(4-4a))/2
    (-беск; (-2+sqrt(4-4a))/2) U ((-2-sqrt(4-4a))/2; +беск) 
    или  (-беск; (-1+sqrt(1-1a)) U ((-1-sqrt(1-1a)); +беск) 

  • Для каждого значения параметра a решите неравенство 4^x-(2a+1)*2^x+a^2+a<0


    Решение: Пусть 2^x=t,тогда
    t²-(2a+1)t+a(a+1)<0
    t²-(2a+1)t+a(a+1)=0 график парабола ветви вверх
    D=(2a+1)²-4a(a+1)=1
    t₁=a
    t₂=a+1
    t∈(a;a+1)
    вернёмся к замене
    2^x∈(a;a+1)
    то есть единственное ограничение на а это то что а≥0
    получается при а≥0 х∈(-∞;+∞)

  • Для каждого значения параметра а решите неравенство 4^x-(2a+1)2^x+a^2+a<0


    Решение: $$ 2^{2x}-(2a+1) \cdot 2^x+a^2+a < 0 \\ t=2^x (t > 0) \\ t^2-(2a+1)t+a^2+a < 0 \\ t_{1,2} =\frac{2a+1 \pm \sqrt{(2a+1)^2 - 4(a^2+a)}}{2}=\\=\frac{2a+1 \pm \sqrt{4a^2 +4a+1-4a^2-4a}}{2}=\\=\frac{2a+1 \pm \sqrt{1}}{2} \\ t_1=\frac{2a+2}{2}=a+1; \\ t_2=\frac{2a}{2}=a \\ 2^x=a+1; \\ 2^x=a \\ x=\log_2(a+1); \\ x=\log_2a \\ a+1 > 0 \Rightarrow a > -1; \\ a > 0 \\ $$

    $$ 1) -1 < a \leq 0; \\  \log_2(a+1)<0 $$

          -  +
    ---------------*---------------->x
       log_2(a+1)

    $$ \boxed{x < \log_2 (a+1) ; \\ -1 < a \leq 0} $$


    $$ 2) a > 0; \\ (x-\log_2a) \cdot (x-\log_2(a+1)<0 $$
        +  -  +
    ----------*-----------------*------------->x
       log_2(a)  log_2(a+1)

    $$ \boxed{\log_2 a < x < \log_2 (a+1); \\ a > 0} $$

  • Найдите все значения а, для каждого из которых неравенство ах в квадрате -4х+3а+1>0 выполняется при всех х<0


    Решение: $$ ax^2-4x+3a+1>0 $$
    Отдельный случай
    $$ a=0 $$ квадратное неравенство вырождается в линейное
    $$ -4x+1>0 $$
    $$ 1>4x $$
    $$ 4x<1 $$
    $$ x<0.25 $$
    а значит выполняется для всех $$ x<0 $$
    Пусть теперь
    $$ a eq 0 $$
    квадратное неравенство, чтоб оно выполнялось
    нужно чтоб ветви параболы были направлены верх
    (очевидно если ветви будут вниз то найдется где-то точка ближе к минус бесконечности так точно для которой значение функции задающей л.ч неравенства будет отрицательно, так как в случае ветвей вниз, только ограниченная часть параболы находится выше оси абсцисс)

    итак имеем первое необходимое условие $$ a>0 $$

    дальше два случая
    первый случай - если корней нет ($$ D<0 $$) - отлично, график параболы выше оси Ох - неравенство выполняется
    $$ a>0; D<0 $$
    $$ a>0; (-4)^2-4a(3a+1)<0 $$
    $$ a>0 $$
    $$ 4*4-4(3a^2+a)<0 $$
    $$ 4-3a^2-a<0 $$
    $$ 3a^2+a-4>0 $$
    $$ (3a+4)(a-1)>0 $$
    Учитывая второе условие $$ a>0->3a+4>0$$ автоматически
    и необходимо выполнение неравенства
    $$ a-1>0 $$ или
    $$ a>1 $$
    теперь рассмотрим второй случай
    $$ a>0 $$ - когда есть корни - точки пересечения с осью абсцисс - необходимо чтоб левый(меньшее число) (или единственный - одинаковый) корень лежал правее 0 (или равнялся 0), таким образом: $$ a>0;D \geq 0; 0 \leq x_1 < x_2 $$
    $$ a>0; (3a+4)(a-1) \geq 0; 0\leq \frac{4-2\sqrt{(3a+4)(a-1)}}{2a} $$
    $$ 0 < a \leq 1; $$ - с первых двух неравенств (аналогично по рассуждениям относительно первого случая)
    $$ 2\geq \sqrt{3a^2+a-4} $$
    $$ 4>3a^2+a-4 $$
    $$ 3a^2+a-8<0 $$ - что очевидно верно при условиях $$ 0 < a \leq 1 $$
    объединяя все, получаем что данное неравенство верно при $$ а є [0;+\infty) $$

    Ax^2-4x+3a+1>0 x<0
    a>0 D<0 x<0
    D=4-3a^2-a
    4-3a^2-a<0
    3a^2+a-4>0 3a^2+a-4=0
     (a-1)(a+4/3)>0 a1=1 a2=-4/3
      -4/3 -1 1
    + - +
    a≥0 x<0
    -4/3 -1/3<а≤ 0, (2 -√D)/a 0

<< < 456 7 8 > >>