неравенства »

решите неравенство - страница 8

  • Решите неравенство:
    /х+14/ - 7* /1 - х/ > х
    / - модуль


    Решение: |х+14| - 7* |1 - х| > х
    или что тоже самое |х+14| - 7* |x -1| > х
    разобьем на три интервала
     1)  х+14<0 и x-1<0
    x<-14 и x<1
    объединяя оба эти условия получим x<-14
    на этом интервале наше неравенство имеет вид
    -(х+14) + 7* (x -1) > х
    -x-14+7x-7>x
    6x-21>x
    5x>21
    x>21/5 но это противоречит условию x<-14. На этом интервале решения нет.
    2) х+14≥0 и x-1<0
    x≥-14 и x<1
    объединяя оба эти условия получим -14≤x<1
    на этом интервале наше неравенство имеет вид
    (х+14) + 7* (x -1) > х
    x+14+7x-7>x
    8x+7>x
    7x>-7
    x>-1
    объединяя это условие с -14≤x<1 получим -1 <x<1
    3) х+14≥0 и x-1≥0
    x≥-14 и x≥1
    объединяя оба эти условия получим x≥1
    на этом интервале наше неравенство имеет вид
    (х+14) - 7* (x -1) > х
    x+14-7x+7>x
    -6x+21>x
    21>7x
    3>x
    объединяя это условие с x≥1 получим  1≤x<3
    теперь последнее действие: объединим решения 2) и 3)
    -1 <x<3 или x∈(-1;3)

  • /х+1/+x²+2х+1⩾0
    Решите неравенство
    /х+1/ эт модуль


    Решение: /х+1/+x²+2х+1⩾0 Решите неравенство
    пусть /х+1/=t,
    заметим, что x²+2х+1=(x+1)²=I (х+1) I ²
    тогда 
    /х+1/+x²+2х+1⩾0 примет вид t+t²≥0 ⇔ t(t+1)≥0
      t≥0 t≥0 ⇔   t≥0
      /х+1/=t ⇔/х+1/≥0 при x∈(-∞,+∞)
    или так.
    /х+1/+(x+1)²⩾0 при x∈(-∞,+∞), т. к /х+1/≥0 при x∈(-∞,+∞)
      и (x+1)²⩾0 при x∈(-∞,+∞) 

  • Решить неравенство
    Х² - /5Х+6/ >0
    /модуль/


    Решение: $$ x^2-|5x+6|>0 $$
    1) если  $$ 5x+6 \geq 0\quad \Leftrightarrow\quad x \geq - 1,2 $$
    то под модулем выражение не отрицательно, поэтому модуль просто опускаем
    $$ x^2-|5x+6|>0\\x^2-5x-6>0\\x_1=6;\quad x_2=-1\\x\in(-\infty;-1)\cup (6;+\infty) $$
    с учетом рассматриваемого условия
    $$ x\in(-1,2;-1)\cup (6;+\infty) $$
    2) если $$ 5x+6 < 0\quad \Leftrightarrow\quad x < - 1,2 $$
    тогда под модулем выражение отрицательно, когда раскрываем модуль и меняем знаки
    $$ x^2-|5x+6|>0\\x^2+5x+6>0\\x_1=-3;\quad x_2=-2\\x\in(-\infty;-3)\cup (-2;+\infty) $$
    с учетом рассматриваемого условия $$ x\in(-\infty;-3)\cup (-2;-1,2) $$

  • Решить неравенство: (x^4+3x^3+4x^2-8)/x^2 < 0;
    (x-1)(x-2)(x-3)/(x+1)(x+2)(x+3)>1


    Решение: 7.
    (x^4+3x^3+4x^2-8)/x^2 < 0
    числитель: x^4+3x^3+4x^2-8
    корни x1 = 1  x2 = -2
    x^4+3x^3+4x^2-8 = (x-1)(x-2)(x^2+2x+8)
    знаменатель: x^2 всегда>0
    x≠0
    тогда имеем:
    (x-1)(x+2)(x^2+2x+8)<0
    (x^2+2x+8) всегда >0
    (x-1)(x+2)<0
    x≠-2  x≠1
     +  -2     _    0   _   1   +  x∈]-2;0[∪]0;1[
    6.
    (x-1)(x-2)(x-3)/(x+1)(x+2)(x+3)>1
    (x+1)(x+2)(x+3)/(x-1)(x-2)(x-3) - 1>0
    общий знаменатель: (x-1)(x-2)(x-3)
    числитель:
    (x-1)(x-2)(x-3) -(x+1)(x+2)(x+3) = -(6x^2+8x+6)
    -(6x^2+8x+6)/(x-1)(x-2)(x-3)>0
    (6x^2+8x+6)/(x-1)(x-2)(x-3) <0
    6x^2+8x+6 всегда > 0
    (х+1)(х+2)(х+3) < 0
       _ -3  +  -2  _  -1  +

  • 1) решите интеграл \( \int\limits^2_1 {(x^3+2)} \, dx \)

    2) Решите неравенство log₀,₁(7x+3)>-1


    Решение: 2) неравенство

    ½log₀,₁ ( 3) -  2=log₀,₁(7x+3)              zal: 7x+3>0 ⇒7x> -3 ⇒ x> -³/₇  x∈(-³/₇,+∞)

    log₀,₁ ( 3)^¹/² -  2=log₀,₁(7x+3)               - 2=log₀,₁ 0,1⁻²=log₀,₁ 100

     log₀,₁ √3 +log₀,₁ 100=log₀,₁(7x+3)

    log₀,₁100√3= log₀,₁(7x+3)

    100√3= 7x+3

    7x=100√3 -3   /:7

    x=100√3 -3   >0 

             7

    неравенство log -  log x               zal x x -  x -   x - log -  log x                - log log  log log log x log log x x x -    x -              ...

  • Решите неравенство \(\log_{x+1}2 \leq \log_{3-x}2\)


    Решение: Log(x+1)2≤log(3-x)2 x+1>0 x>-1 3-x>0  x<3  x∈(-1;3)
    1/log₂(x+1)≤1/log₂(3-x)
    log₂(x+1)≥log₂(3-x)
    log₂(x+1)-log₂(3-x)≥0
    log₂((x+1)/(3-x))≥0
    (x+1)/(3-x)≥2⁰
    (x+1)/(3-x)-1≥0
    (x+1-3+x)/(3-x)≥0(2x-2)/(3-x)≥0
    -∞___-___1___+____3____-____+∞
    x∈[1;3).

    Надо воспользоваться тем, что под знаком логарифма справа и слева стоит одно и то же число (2). Если основания логарифмов больше единицы, то из сравнения логарифмов можно записать неравенство: 
    х+1≤3-х. При этом в систему нужно добавить неравенства х+1>1 и 3-х>1
    Упрощаем, получаем систему из трех неравенств х≤1, х>0, х<2.
    Этим условиям удовлетворяет отрезок 0< х≤1.
    Возможен случай, когда основания меньше 1. Тогда из сравнения логарифмов неравенство записывается с противоположным знаком х+1≥3-х. Неравенства, которые описывают, что основания меньше 1: х+1<1, 3-x<1.
    После упрощения получается система х≥1, х<0, x>2. Решение пустое.
    Окончательное решение 0

  • Логарифмическое неравенство \(\log_{\frac{25-x^2}{16}}(\frac{24-2x-x^2}{14}) > 1\)


    Решение: Log[(25-x²)/16][(24-2x-x²)/14]>1
    ОДЗ
    25-x²>0⇒-5(25-x²)/16≠1⇒(25-x²-16)/16≠0⇒9-x²≠0⇒x≠+-3
    x∈(-5;-3) U (-3;3) U (3;5)
    1)x∈(-5;-3) U (3;5) основание меньше 1
    (24-2x-x²)/14<(25-x²)/16
    8(24-2x-x²)-7(25-x²)<0
    192-16x-8x²-175+7x²<0
    x²+16x-17<0
    x1+x2=-16 u x1*x2=-17⇒x1=-17 u x2=1
    -17x∈(-5;-3)
    2)x∈(-3;3) основание больше 1
    x<-17 U x>1
    x∈(1;3)
    Ответ x∈(-5;-3) U (1;3)

  • Как лучше решать неравенство \(\log_2^4x-\log^2_{1/2}\frac{x^3}{8}+9\log_2\frac{32}{x^2}\ < \ 4\log^2_{1/2}x\)


    Решение: $$ \log_2^4x-\log^2_{1/2}\frac{x^3}{8}+9\log_2\frac{32}{x^2}\ < \ 4\log^2_{1/2}x\\ \log^4_2x-(\log_2x^3-\log_28)^2+9\log_232-18\log_2x\ < \ 4\log^2_2x\\ \log^4_2x-9\log^2_2x-9+18\log_2x+45-18\log_2x-4\log_2^2x\ < \ 0 \\ \log_2^4-13\log_2^2x+36\ < \ 0 \\ \log_2x=t\\ t^4-13t^2+36\ < \ 0 \\ t_1=-2, t_2=2, t_3=-3, t_4=3 \\ t \in (-3,2) \cup (2, 3) \\ 1) -3 \ < \ \log_2x \ < \ -2\\ 2) 2\ < \ \log_2x\ < \ 3 \\ \\ x \in (\frac{1}{8}, \frac{1}{4}) \cup (2, 8) $$

  • Решить неравенство логарифмическое \(\log_{\frac{1}{3}}^2(x-1)+3 \geq -\frac{4}{5}\log_{\frac{1}{3}}(x-1)^5\)


    Решение: Преобразуем -4/5логарифм по основанию 1/3 из (х-1)∧5=-4логарифм по основанию 1/3 из (х-1) и перенесём полученное выражение в левую часть.
    Сделаем замену логарифм по основанию 1/3 из (х-1)=у
    Получим квадратное неравенство
    у∧2+4у+3≥0 Решим уравнение у∧2+4у+3=0
    Д=16-12=4
    у1=(-4+2)/2=-1  у2=(-4-2)/2=-3
    у∧2+4у+3=(у+1)(у+3)
    ____+____-3____-_______-1_______+____
    Неравенство верно на интервале (-∞;-3] и [ -1;+∞)
    Сделаем обратную подстановку и учтём, что область определения функции логарифм от (х-1) (1;+∞) тогда логарифм по основанию 1/3 из (х-1) ≥1, х-1≤1/3, х≤1 1/3  Ответ  (1 : 1 1/3)
    Примечание знак поменяли потому, что 1/3 меньше 1

  • №1
    Записать какие-либо 2 числа (в порядке возрастания), находящихся на координатной прямой между числами:
    1) -1 и 0;
    2) -2 и -1;
    3) -5,6 и -5;
    №2
    Записать все целые числа, которые:
    1) больше -1, но не больше 3;
    2) меньше 5, но не меньше -2;
    3) не меньше -4, но не больше 4;
    4) не меньше -6, но не больше 0;
    №3
    Записать вместо x какие-либо два рациональных числа, для которых верно неравенство:
    1) 3,14 < x
    2) - 2\9 > x
    3) -1 1\2 < x
    4) x < 0,1
    5) x > -5,09
    6) x < - 5\2
    , ,


    Решение: №1 Записать какие-либо 2 числа (в порядке возрастания), находящихся на координатной прямой между числами:
    1) -1 и 0;  -0,9;-0, 56
    2) -2 и -1; -1,99; -1,5
    3) -5,6 и -5; -5,5; -5,1
    №2
    Записать все целые числа, которые:
    1) больше -1, но не больше 3;  0;1;2;3
    2) меньше 5, но не меньше -2;  -2;-1;0;1;2;3;4;
    3) не меньше -4, но не больше 4; -4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4
    4) не меньше -6, но не больше 0;  -6;-5;-4;-3;-2;-1;0
    №3
    Записать вместо x какие-либо два рациональных числа, для которых верно неравенство:
    1) 3,14 < x  х=4; 5,7;
    2) - 2\9 > x, х=-7/9; -1
    3) -1 1\2 < x, х=-1; 1/20
    4) x < 0,1, х=0; -3
    5) x > -5,09, х= -4; -1 4/7
    6) x < - 5\2, х=-3; -20

<< < 678 9 > >>