дроби »

сократите дробь - страница 10

  • Сократите дробь
    \( \frac{ x^{2} -4x+1}{ x^{2} -(2+ \sqrt{3})x+7+4\sqrt{3} } \)


    Решение: $$ \frac{x^2 - 4x + 1}{x^2-2(2+\sqrt{3})x + 7+4\sqrt{3}} = \\\\ 1. \ x^2 - 4x + 1 = 0\\\\ D = 16 - 4 = 12\\\\ x_1 = \frac{4 - \sqrt{12}}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}\\\\ x_2 = \frac{4 + \sqrt{12}}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}\\\\ x^2 - 4x + 1 = (x - 2 + \sqrt{3}) (x - 2 - \sqrt{3}) \\ 2. \ x^2-2(2+\sqrt{3})x + 7+4\sqrt{3}\\\\ x^2 - 2(2+\sqrt{3})x + 4 + 4\sqrt{3} + 3\\\\ x^2 - 2(2+\sqrt{3})x + 2^2 + 2*2\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2\\\\ x^2- 2(2+\sqrt{3})x + (2 + \sqrt{3})^2\\\\ (x - (2 + \sqrt{3}))^2 \\\\ = \frac{(x - 2 + \sqrt{3})(x - 2 - \sqrt{3})}{(x - 2 - \sqrt{3})^2} = \boxed{\frac{x - 2 + \sqrt{3}}{x - 2 - \sqrt{3}}} $$
    Ежели тут знаменатель, как указано в условии, то сократить ничего не удастся, ибо у него комплексные корни.
    $$ x^2-(2+\sqrt{3})x + 7+4\sqrt{3} = 0\\\\ D = (2 + \sqrt{3})^2 - 4*(7+4\sqrt{3}) = (2 + \sqrt{3})^2 - 4*(2 + \sqrt{3})^2 =\\\\= (1 - 4)(2 + \sqrt{3})^2 = -3(2 + \sqrt{3})^2 < 0 $$

  • Сократите дробь (2х^2+x-15)/x^2+6x+9


    Решение: $$ \frac{(2x^{2} +x-15)}{x^{2} +6x+9} \\ \frac{(2x^{2} +x-15)}{(x+3)^{2} } $$
    Числитель же разложим по формуле Виета:
    $$ 2 x^{2}+x-15 \\ x_{1} +x_{2}=1 \\ x_{1} *x_{2}=2*(-15)=-30 $$
    Подбираем числа, и получаем 6 и -5
    $$ 2 x^{2}+6x-5x-15 $$
    2x(x+3)-5(x+3)=(2х-5)(х+3)
    Теперь вставляем полученное выражение в числитель дроби
    $$ \frac{(x+3)(2x-5)}{(x+3) ^{2} } \\ \frac{2x-5}{x+3} $$
    Ответ:$$ \frac{2x-5}{x+3} $$

  • Сократите дробь:
    \( \frac{x^{4} - 13x^{2} + 36}{(x-3)(x+2)} \)


    Решение: $$ \frac{x^4-13x^2+36}{(x-3)(x+2)}= \frac{(x^4-12x^2+36)-x^2}{(x-3)(x+2)}=\frac{(x^2-6)^2-x^2}{(x-3)(x+2)}=\frac{(x^2-6)^2-x^2}{(x-3)(x+2)}= \\ =\frac{(x^2-6-x)(x^2-6+x)}{(x-3)(x+2)} $$
    разложим квадратные трехчлены в числителе:
    $$ x^2-x-6 $$
    по теореме Виета:
    $$ x_1+x_2=1 \\ x_1*x_2=-6 \\ x_1=3,x_2=-2 \\x^2-x-6=(x-3)(x+2) \\ x^2+x-6 $$
    по теореме Виета:
    $$ x_1+x_2=-1 \\ x_1*x_2=-6 \\ x_1=-3,x_2=2 \\x^2+x-6=(x+3)(x-2) \\ \frac{(x^2-6-x)(x^2-6+x)}{(x-3)(x+2)}=\frac{(x-3)(x+2)*(x+3)(x-2)}{(x-3)(x+2)}=(x+3)(x-2) $$

  • Сократите дробь ( (3x)^3 * x^-9 ) / ( x^-10 * 2x^4 )


    Решение:

  • Сократите дробь
    9x+24√xy+16y/ √9x^5+ √16x^4y


    Решение: Числитель преобразуется по формуле а+в в квадрате (а квадрат +2 ав плюс в квадрат) и получается $$ ((3\sqrt{x} +4\sqrt{y} ))^2 $$
    Знаменатель будет $$ 3*\sqrt{x} \cdot x^{2}+4 x^{2} \cdot \sqrt{y} = x^{2} (3\sqrt{x}+4\sqrt{y}) $$
    Сокращается и получается $$(3 \sqrt{x} +4 \sqrt{y})/ x^{2} $$

  • 1) Решите уравнение\( \frac{5}{1-x}=\frac{4}{6-x} \)
    2) Сократите дробь \( \frac{x^2+xy}{x^2+y^2} \)


    Решение: 1.

    ОДЗ: $$ 1-x=0 \\ x=1 \\ 6-x=0 \\ x=6 \\ 5(6-x)=4(1-x) \\ 30-5x=4-4x \\ x=26 $$

    Дробь несократима при таких условиях.

    При условии х=у дробь равна 1. (При том, что ни х, ни у не равны нулю)

    Если в знаменателе стоит не сумма квадратов, а разность, то она равна х/(х-у)

  • 1) Составьте приведённое квадратное уравнение, имеющее корни \( x_{1} =3, x_{2} =-1 \)
    2) Сократите дробь: \( \frac{ x^{2}+10x+25 }{(x+5)} \)


    Решение: 1) Если х=3 и х=-1 - корни квадратного уравнения, то квадратный трехчлен раскладывается на множители  (х-3)(х+1)=х²-3х+х-3=х²-2х-3
    Ответ. х²-2х-3=0
    2) В числителе формула квадрата суммы a²+2ab+b²=(a+b)²
       $$ \frac{x^{2}+10x+25}{x+5}=\frac{(x+5) ^{2} }{x+5}=x+5 $$

    1) воспользуемся теоремой Виета 
    $$ x_{1} + x_{2} =-b\\ x_{1} * x_{2} =c \\ \\ 3-1=-b \\ -b=3-1 \\ -b=2 \\ b=-2 \\ \\ x_{1} * x_{2} =c \\ 3*(-1)=-3 \\ $$
    уравнение : $$ x^{2} -2x-3=0 $$
    2) $$ \frac{ x^{2} +10x+25}{x+5} = \frac{(x+5) ^{2} }{x+5} =x+5 $$


  • Вычислите:\( \frac{(3,7 ^{2}-6,3 ^{2})(13 ^{2} -12,6 ^{2}) }{(4,2 ^{2} - 5,8 ^{2})(2,3 ^{2} - 0,3 ^{2}) } \)
    Сократите дробь:
    \( \frac{x ^{2x}- y ^{2x} }{x ^{x}+y ^{x} } \)


    Решение: $$ \frac{(3,7-6,3)(3,7+6,3)(13-12,6)(13+12,6)}{(4,2-5,8)(4,2+5,8)(2,3-0,3)(2,3+0,3)}= \frac{-2,6*10*0,4*25,6}{-1,6*10*2*8,1} = \frac{2,6*25,6}{1,6*2*8,1} $$
    умножим числитель и знаменатель на 100 
    $$ \frac{2,6*25,6*100}{1,6*2*8,1*100}= \frac{26*256}{16*81*2} = \frac{26*8}{81} = \frac{208}{81} =2 \frac{46}{81} $$
    ___________________________________________
    $$ \frac{x^{2x}-y^{2x}}{x^x+y^x} = \frac{(x^x-y^x)(x^x+y^x)}{(x^x+y^x)}=x^x-y^x $$

  • разложите на множители
    1) А)u^2-9
    б)4-a^2-b^4
    в)1\16а^2-b^4
    г)u^3-27a^3
    2) б) (4х+1)(16x^2-4x+1)-выполните умножение
    3) решите уравнения
    (y+2)(3y-9)=0
    16z^2=0
    x^2-9x+16=0
    t^6=9t^3
    4) сократите дробь
    хz+yz
    - =
    x^2-y^2
    4u-a^2
    -=
    4a^2-64


    Решение: 1) a)u^2-9=(u-3)*(u+3)
    б) 4-a^2-b^4=2^2-a^2-b^2*b^2= что-то нет никаких идей.
    в)(1/4а-b^2)(1/4a+b^2)
    г) (u-3a)(u^2+3ua+9a^2)
    2) (4х+1)(16x^2-4x+1)=4^3*x^3+1^3=64x^3+1
    3)(y+2)(3y-9)=0
    (y+2)=0 или (3y-9)=0
    y=-2 или y=3
    иначе можно раскрыть скобки и посчитать дискриминант, затем корни
    4) хz+yz/ x^2-y^2= z(x+y)/((x-y)*(x+y))=z/x-y
    опечатка? может 4А-a^2/4a^2-64=4А-a^2/4(a^2-16)=a(4-a)/4a^2-16)= -a(-4+a)/4(a-4)(a+4)= - a/4(a+4)

  • Сократите дробь:
    \( \frac{9 x^{2} y^{3} }{12 x^{4} y^{2} },\\ \frac{9 x^{2} y^{3} }{12 x^{4} y^{2} } \frac{9(a+b) ^{2} }{18(a+b} \\ 1) \frac{9 x^{2} y^{3} }{12 x^{4} y^{2} } =\\ 2) \frac{9(a+b) ^{2} }{18(a+b}=\\ 3) \frac{ a^{2} - 100}{a+10} =\\ 4) \frac{ b^{2} -49}{b-7} =\\5) \frac{a ^{2} +2ab+b}{5a(a+b) ^{2} } = \).
    Вычислить:*\( 1) \sqrt{27} * \sqrt{48} =\\2) \frac{1}{7} * \sqrt{0,49} =\\ 3) \frac{ 3^{-5} *3}{ 3^{-6} } = \)
    Решите уравнения: \( x^{2} = 3 \)


    Решение: 1) $$ \frac{9 x^{2} y^{3} }{12 x^{4} y^{2} } = \frac{3*3 x^{2} y^{3} }{3*4 x^{4} y^{2} } = \frac{3 y}{4 x^{2} } $$
    2) $$ \frac{9 (a+b)^{2}}{18(a+b)}= \frac{9(a+b)(a+b)}{9*2(a+b)}= \frac{a+b}{2} $$
    3) $$ \frac{ a^{2}-100}{a+10}= \frac{(a+10)(a-10)}{a+10} = a-10 $$
    4) $$ \frac{ b^{2} -49}{b-7}= \frac{(b+7)(b-7)}{b-7}=b+7 $$
    5) $$ \frac{ a^{2} +2ab+b^{2}}{5a(a+b)^{2} } =\frac{ a^{2} +2ab+ b^{2}}{5a( a^{2}+2ab+ b^{2})}= \frac{1}{5a} $$
    6) $$ \sqrt{27} * \sqrt{48} = \sqrt{27*48}= \sqrt{1296}=36 $$
    7) $$ \frac{1}{7} * \sqrt{0,49} = \frac{1}{7} * 0,49^{ \frac{1}{2}} = \frac{1}{7} *0,7= \frac{1}{7} * \frac{7}{10}= \frac{1}{10} $$
    8) $$ \frac{3^{-5} *3}{3^{-6} }=3^{-5+4+6} = 3^{5} =243 $$
    9) $$ x^{2}=3 \\ x= \sqrt{3} $$

<< < 8910 11 12 > >>