дроби »

сократите дробь - страница 9

  • Сократите дробь 8-x/x+2√2


    Решение: (×-√х-2)/(2-√x)= в числителе выделяем полный квадрат=(√х)^2-2*1/2√x+1/4-1/4-2)/2-√x(знаменатель оставляем без изменения) далее преобразуем числитель и получаем ((√х-1/2)^2-9/4)/2-√x= числитель раскладываем по формуле разности квадратов и получаем)=(√х-1/2-3/2)(√x-1/2+3/2)/2-√x= после сложения и вычмтания дробей получаем (√х-2)(√х+1)/√x-2)= теперь можно сократить на (√х-2) таким образом получим= - (√х+1)

  • Сократите дробь :
    б) x-y
    -
    x^2-y^2
    в) a^2 -1
    -
    ab-b
    г) ab-3a
    -
    b^2-9
    е) a^2-2ab+b^2
    -
    a^2-b^2


    Решение: x-y x-y

    - = - = 1/(x+y)

    x^2 - y^2 (x-y)*(x+y)

    a^2 - 1 (a-1)(a+1) a+1

    - =- = -

    ab-b b(a-1) b

    ab-3a a(b-3) a

    - = - = -

    b^2-9 (b-3)(b+3) (b+3)

    a^2 - 2ab + b^2 (a-b)^2 a-b

    - = - = -

    a^2 - b^2 (a-b)*(a+b) a+b 

  • Сократите дробь 16-(x+3)^2:(x^2+9x+14)


    Решение: Разложим знаменатель на множители: $$ x^{2} +9x+14 \\ D=81-4*1*14=81-56=25 \\ x_{1} = \frac{-9+5}{2} = - 2 \\ x_{2}= \frac{-9-5}{2} = - 7 $$
    Числитель можно было разложить как разность квадратов
     $$ 16 -(x+3)^{2} = (4 - (x+3))(4+(x+3))=\\=(4-x-3)(4+x+3)=(1-x)(7+x) $$
    Возвращаемся к примеру с разложенными числителем и знаменателем:
    $$ \frac{(1-x)(7+x)}{(x+2)(x+7)} = \frac{(1-x)}{(x+2)} $$

  • Сократите дробь.
    д)(x-4)^2+(x-8)^2-10


    Решение: $$ \frac{(x-4)^2+(x-8)^2-10}{(x+1)^2+(x-3)^2-80}=\frac{x^2-8x+16+x^2-16x+64-10}{x^2+2x+1+x^2-6x+9-80}=\\=\frac{2x^2-24x+70}{2x^2-4x-70}=\frac{2(x-5)(x-7)}{2(x+5)(x-7)}=\frac{x-5}{x+5} $$

    (x-4)²+(x-8)²-10=x²-8x+16+x²-16x+64-10=2x²-24x+70=2(x²-12x+35)=2(x-5)(x-7)
    x1+x2=12 U x1*x2=35⇒x1=5 U x2=7
    (x+1)²+(x-3)²-80=x²+2x+1+x²-6x+9-80=2x²-4x-70=2(x²-2x-35)=2(x+5)(x-7)
    x1+x2=2 U x1*x2=-35⇒x1=-5 U x2=7
    [((x-4)²+(x-8)²-10]/[(x+1)²+(x-3)²-80]=2(x-5)(x-7)/2(x+5)(x-7)=(x-5)/(x+5)

  • Сократите дробь:
    1)(x^2-4)\(x^2+x-6)
    2)(x^2-49)\(x^2+9x+14)


    Решение: 1)(x^2-4)\(x^2+x-6)=((x-2)(x+2))/((x-2)(x+3))=(x+2)/(x+3)
    2)(x^2-49)\(x^2+9x+14)=((x-7)(x+7))/((x+2)(x+7))=(x-7)/(x+2)

    $$ 1) \frac{ x^{2} -4}{ x^{2} +x-6}= \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+3) }= \frac{x+2}{x+3} \\ x^{2} +x-6=0\\D=1+24=25\\ \sqrt{D} =5\\ x_{1} = \frac{-1+5}{2} =2\\ x_{2} = \frac{-1-5}{2} =-3\\ \\ 2) \frac{ x^{2} -49}{ x^{2} +9x+14} = \frac{(x-7)(x+7)}{(x+2)(x+7)}= \frac{x-7}{x+2} \\ \\ x^{2} +9x+14=0\\D=81-56=25\\ \sqrt{D} =5\\ x_{1} = \frac{-9+5}{2} =-2\\ x_{2} = \frac{-9-5}{2} =-7 $$

  • Сократите дробь 1)x+3/x^2+x-6 3)x^2-4x+3/x-1 5)x^2-4x+3/5x-5


    Решение: 1) $$ \frac{x+3}{ x^{2} +x-6} $$
    впереди нужно решить уравнения
    x²+x-6=0
    D=1²+4*6=1+24=25=5²
    x(1)=(-1+5)/2=4/2=2
    x(1)=(-1-5)/2=-6/2=-3
    получается x²+x-6=(x-2)(x+3)
    от сюда
    $$ \frac{x+3}{ x^{2} +x-6}= \frac{x+3}{(x+3)(x-2)} = \frac{1}{x-2} $$
    3)$$ \frac{ x^{2} -4x+3}{x-1} $$
    x²-4x+3=0
    D=16-12=4=2²
    x(1)=(4+2)/2=6/2=3
    x(2)=(4-2)/2=2/2=1
    x²-4x+3=(x-1)(x-3)
    $$ \frac{ x^{2} -4x+3}{x-1}= \frac{(x-1)(x-3)}{x-1}=x-3 $$
    5) $$ \frac{ x^{2} -4x+3}{5x-5} $$
    x²-4x+3=0
    D=16-12=4
    x(1)=(4+2)/2=3
    x(2)=(4-2)/2=1
    x²-4x+3=(x-1)(x-3)
    $$ \frac{ x^{2} -4x+3}{5x-5}= \frac{(x-1)(x-3)}{5(x-1)} = \frac{x-3}{5} $$

  • Сократите дробь
    a) x^2
    ___________
    x^2+xy
    b)x-2y
    _______
    x^2-4y^2


    Решение: $$ \frac{x^2}{x^2+xy}=\frac{x^2}{x(x+y)}= \frac{x}{x+y} \\ \frac{x-2y}{x^2-4y^2}= \frac{x-2y}{(x-2y)(x+2y)} = \frac{1}{x+2y} $$

    Х^2/х^2+ху=х^2/х(х+у)=х/х+у;
    х-2у/х^2-4у^2=(х-2у)/(х-2у)(х+2у)=1/х+2у.

  • Сократите дробь: а) x^2+6x+5/x^2+5x; б) a^2-9/a^2+8a+15; в) y^2-7y+12/2y^2-8y; г) b^2-25/b^2-8b+15; д) m^2-2m-8/m^2+4m+4; е) n^2+2n+1/n^2+5n+4.
    №518(в, г). Определите, можно ли разложить на линейные множители квадратный трёхчлен: в) 2x^2+3x+1; г) x^2-5x+8.
    №521(а, б). Разложите на множители: а) 2x^2+3x+1; б) 3y^2+7y-6.


    Решение: $$ 523) a) \frac{x^2+6x+5}{x^2+5x} = \frac{x^2+6x+5}{x(x+5)} x^2+6x+5=0;\\ D=b^2-4ac=36-20=16;\\ \sqrt{D}=4; x_{1}= \frac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \frac{-6-4}{2} =-5 x_{2}=\frac{-b+ \sqrt{D} }{2a} =\\= \frac{-6+4}{2} =-1 ((x+5)(x+1))/(x(x+5))= (x+1)/x \\ b) \frac{a^2-9}{a^2+8a+15}= \frac{(a-3)(a+3)}{a^2+8a+15} a^2+8a+15=0 \\D=b^2-4ac=64-60=4;\\ \sqrt{D} =2 a_{1}= \frac{-b- \sqrt{D} }{2a}= \frac{-8-2}{2}=-5\\ a_{1}= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a}= \frac{-8+2}{2}=-3 ((a-3)(a+3))/((a+3)(a+5))=(a-3)/(a+5) \\ c) \frac{y^2-7y+12}{2y^2-8y}= \frac{y^2-7y+12}{2y(y-4)}\\ y^2-7y+12=0\\ D=b^2-4ac=49-48=1;\\ \sqrt{D} =1\\ y_{1}= \frac{-b- \sqrt{d} }{2a}= \frac{7-1}{2}=3 y_{1}= \frac{-b+ \sqrt{d} }{2a}= \frac{7+1}{2}=\\=4 ((y-3)(y-4))/(2y(y-4))=(y-3)/2y \\ d) \frac{b^2-25}{b^2-8b+15}= \frac{(b-5)(b+5)}{b^2-8b+15}\\ b^2-8b+15=0 D=b^2-4ac=64-60=4;\\ \sqrt{D} =2\\ b_{1}= \frac{-b- \sqrt{d} }{2a} = \frac{8-2}{2}=3\\ b_{1}= \frac{-b+ \sqrt{d} }{2a} = \frac{8+2}{2}=\\=5 ((b-5)(b+5))/((b-3)(b-5))=(b-5)/(b-3) \\ e) \frac{m^2-2m-8}{m^2+4m+4}\\ m^2-2m-8=0;\\ D=b^2-4ac=4+32=36;\\ \sqrt{D}=6 m_{1}= \frac{-b- \sqrt{D} }{2a}= \frac{2-6}{2}=-2\\ m_{2}= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a}= \frac{2+6}{2}=4 m^2-2m-8=(x+2)(x+4)\\ m^2+4m+4=0;\\ D=b^2-4ac=16-16=0\\ x= (-b+ \sqrt{D})/(2a)= \frac{-4+0}{2}=-2\\ m^2+4m+4=x+2 ((x+2)(x+4))/(x+2)=x+4 \\ f) \frac{n^2+2n+1}{n^2+5n+4}\\ n^2+2n+1=0;\\ D=b^2-4ac=4-4=0;\\ \sqrt{D} =0 \\n= (-b+ \sqrt{D} )/(2a)= \frac{-2+0}{2}=-1\\ n^2+2n+1=n+1;\\ n^2+5n+4=0;\\ D=b^2-4ac=25-16=9;\\ \sqrt{D} =3\\ n_{1}= \frac{-b- \sqrt{D} }{2a}= \frac{-5-3}{2}=-4\\ n_{2}= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a}= \frac{-5+3}{2}=-1\\ n^2+5n+4=(n+4)(n+1) (n+1)/((n+4)(n+1)=1/(n+4) \\ 518) a) 2x^2+3x+1=0;\\ D=b^2-4ac=9-8=1;\\ \sqrt{D} =1 $$
    Если дискриминант отрицательный то разложить на линейные множители квадратный трехчлен нельзя, в данном примере он положительный. Тогда найдем корни.
    $$ x_{1}= \frac{-b- \sqrt{D} }{2a}= \frac{-3-1}{4}=-1\\ x_{2}= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a}= \frac{-3+1}{4}=- \frac{1}{2}\\ 2x^2+3x+1=2(x+1)(x+ \frac{1}{2} )=(x+1)(2x+1) \\ b) x^2-5x+8=0;\\ D=b^2-4ac=25-40=-15 $$
    В данном примере дискриминант отрицательный и мы не можете разложить на линейные множители

  • Сократите дробь\( \frac{x+\sqrt{8x}+2}{x+\sqrt{2x}-2\sqrt{x}-2\sqrt{2}} \)


    Решение: $$ \frac{\sqrt{x^2}+2\sqrt{2x}+2}{\sqrt{x^2}+\sqrt{2x}-2\sqrt{x}-2\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{2})^2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{2})-2(\sqrt{x}+\sqrt{2})}=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{2}}{\sqrt{x}-2} $$

    (х + √8х + 2)/(х + √2х + 2√х - 2√2) =

    = ((√х)² + 2√2·√х + (√2)²) /((√х·√х + √2·√х) - 2·(√х + √2)) =

     = (√х + √2)²/(√х(√х + √2) - 2·(√х + √2)) =

     = (√х + √2)²/((√х + √2)·(√х - 2)) =

     = (√х + √2)/(√х - 2)

  • Сократите дробь: \( \frac{x^{2} -7x+12 }{ x^{2} -6x+9} \)
    \( \frac{a ^{2} - a - 20}{a ^{2}-4a-5 } \)
    \( \frac{ x^{3}-3x ^{2} +5x-6 }{ x^{2} +5x-14} \)


    Решение: (x^2-7x+12)/(x^2-6x+9)
    x^2-7x+12=(x-3)(x-4)
     x^2-6x+9=(x-3)^2
    сокращается (х-3)
    остается (x-4)/(x-3)
    (a^2-a-20)/(a^2-4a-5)
     a^2-a-20=(a+4)(a-5)
     a^2-4a-5=(a-5)(a+1)
    сокращается а-5
    остается (a+4)/(a+1)
    (x^3-3x^2+5x-6)/(x^2+5x-14)
     x^3-3x^2+5x-6=(x-2)(x^2-x-3)
     x^2+5x-14=(x-2)(x+7)
    сокращается х-2
    остается (x^2-x-3)/(x+7) 

    (x²-7x+12)/(x²-6x+9)=(x-3)(x-4)/(x-3)²=(x-4)/(x-3)
    D=49-48=1
    x12=(7+-1)/2=3 4
    D=36-36=0
    x1=x2=3
    (a²-a-20)/(a²-4a-5)=(a-5)(a+4)/(a-5)(a+1)=(a+4)/(a+1)
    D=1+80=81
    a12=(1+_9)/2=5 -4
    D=16+20=36
    x12=(4+-6)/2=5 -1
    (x³-3x²+5x-6)/(x²+5x-14)=(x-2)(x²-x-3)/(x-2)(x+7)=(x²-x-3)/(x+7)
    D=25+56=81
    x12=(-5+-9)/2=2 -7
    в кубическом корень 2 (x-2)(x²-x-3) 
    D=1+12=13
    x12=(1+-√13)/2

<< < 789 10 11 > >>