график функции »

найти координаты точки пересечения графиков - страница 5

  • найти точку пересечения прямой y=(7x-5) и прямой, проходящей через через начало координат перпендикулярно прямой y=(-0.5x+3) координаты точки пересечения?=( );( )


    Решение: Мы знаем что две эти прямые пересекаются, следовательно в точке пересечения функции графиков равны:

    $$ 7x-5=-0.5x+3 \\ 7,5x=8 \\ x=\frac{8}{7,5}=\frac{16}{15} $$

    Теперь подставим координату х в любое уравнение и в итоге получим координу у точки пересечения:

    $$ y=-\frac{1}{2}x+3 \\ y=3-\frac{1\times16}{2\times15} \\ y=3-\frac{8}{15}+3 \\ y=\frac{45-8}{15} \\ y=\frac{37}{15} $$

    Теперь у нас есть обе координаты задание выполнено.

    $$ x=\frac{8}{7,5}=\frac{16}{15}=1\frac{1}{15} $$ или же $$ x=1,0(6) $$ 

    $$ y=\frac{37}{15}=2\frac{7}{15} $$ или же $$ y=2,4(6) $$

    Ответ: $$ (1\frac{1}{15})(2\frac{7}{15}) $$

  • найти точку пересечения прямой y=7x-5 и прямой, проходящей через начало координат параллельно прямой y=-0,5x+3


    Решение: решаем системой уравнения
    y=7x-5
    y=-0.5x+3
    приравниваем их друг к другу, поскольку у=у 
    7x-5=-0.5x+3 
    переносим с иксами в одну сторону без иксов в другую
    7x+0.5x=3+5
    получаем
    7,5х=8
    х=8/7,5
    x=80/75
    x=16/15
    теперь подставляем найденный х в уравнение
    y=7x-5
    y=7*16/15-5
    y=87/15
    и ответ: точка пересечение графиков равна (16/15 ; 87/15)

  • Задайте формулой линейную функцию график которой проходит через начало координат и точку M(-2.5;4) НАЙТИ ТОЧКУ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ этого графика с прямой 3X-2Y-16=0


    Решение: По условию график проходит ч/з начало координат, значит линейная функция имеет уравнение
    y=kx (прямая пропорциональность); подставляем x=-2.5, y=4, находим k:
    4=k*(-2.5); k=-1.6. Итак, искомая функция y=-1.6x.
    Теперь решим систему:
    3x-2y-16=0
    y=-1.6x
    откуда x=2целых18/31, y=-4целых4/31 - координаты точки пересечения графиков.

  • окружность касается оси абсцисс в начале координат и проходит через точку(0;-4). составить уравнение этой окружности и найти её точки пересечения с биссектрисами координатных углов.


    Решение: В декартовой системе координат окружность не является графиком функции, но она может быть описана как объединение графиков двух следующих функций:
    y = yo+-V(R^2-(x-xo)^2).  Примечание - V - это знак корня квадратного.
    Если окружность касается оси абсцисс в начале координат и проходит через точку(0;-4), то радиус её равен 4/2 = 2, а координаты её центра:
    хо=0, уо=  -2.
    Уравнение этой окружности будет иметь вид: y = -2+-V(4-x^2).
    Уравнения биссектрис координатных углов у=х и у=-х, если решить совместно эти уравнения, получим координаты точек пересечения с биссектрисами координатных углов:
    это(-2;-2) и (2;-2).

  • №1. Найти точки пересечения асимптот гиперболы х²-3у²=12 с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат.
    №2. Гипербола проходит через точку М(6; 3√5/2), симметрична относительно осей координат и имеет вещественную полуось а=4. Написать уравнения перпендикуляров, опущенных из левого фокуса гиперболы на ее асимптоты.


    Решение: 1. Уравнение гиперболы имеет стандартный вид: $$ \cfrac{x^2}{a^2} - \cfrac{y^2}{b^2} =1 $$, где а и b - полуоси гиперболы
    $$ x^2-3y^2=12 \\\ \cfrac{x^2}{12} - \cfrac{3y^2}{12} =1 \\ \cfrac{x^2}{12} - \cfrac{y^2}{4} =1 \\ \cfrac{x^2}{( \sqrt{12} )^2} - \cfrac{y^2}{2^2} =1 $$
    Значит, у гиперболы $$ a= \sqrt{12} =2 \sqrt{3} ;\ b=2 $$
    Правый фокус гиперболы имеет вид F(c; 0), где $$ c= \sqrt{a^2+b^2} $$
    Находим с:
    $$ c= \sqrt{( \sqrt{12})^2+2^2 } =4 $$
    Так как окружность проходит через начало координат, то ее радиус равен абсциссе правого фокуса, то есть $$ R=c=4 $$
    Общий вид уравнения окружности: $$ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 $$, где $$ (x_0; \ y_0) $$ - центр окружности, R - ее радиус
    Уравнение окружности: $$ (x-4)^2+y^2=16 $$
    Асимптоты гиперболы имеют вид: $$ y=\pm \frac{b}{a} x $$
    Тогда, асимптоты гиперболы $$ y=\pm \frac{2}{2 \sqrt{3} } x=\pm\frac{ x }{\sqrt{3}} $$
    Подставляем в уравнение окружности выражение для у:
    $$ (x-4)^2+( \frac{x}{ \sqrt{3} } )^2=16 \\\ x^2-8x+16+ \frac{x^2}{ 3} =16 \\ \frac{4x^2}{ 3}-8x =0 \\ x^2-6x =0 \\ x_1=0; \ x_2=6 $$
    Тогда у для соответствующих х равны:
     
    Ответ: $$ (0; \ 0); (6; \ 2 \sqrt{3} ); (6; \ -2 \sqrt{3} ) $$
    2.
    Так как известна одна полуось и точка, принадлежащая гиперболе, о можно найти вторую полуось:
    Тогда уравнения асимптот принимают вид: $$ y=\pm \frac{3}{4} x $$
    Угловой коэффициент перпендикулярной прямой является обратным и противоположным числом к угловому коэффициенту исходной прямой: $$ k_2=- \cfrac{1}{k_1} $$
    Тогда, для прямой $$ y=\frac{3}{4}x $$ таким коэффициентом является число $$ - \frac{4}{3} $$, а для прямой $$ y=-\frac{3}{4}x $$ - число $$ \frac{4}{3} $$
    Левый фокус гиперболы имеет вид F(-c; 0), где $$ c= \sqrt{a^2+b^2} $$
    $$ c=\sqrt{4^2+3^2} =5 $$, следовательно через точку (-5; 0) нужно провести искомые прямые
    Уравнение прямой, проходящей через заданную точку $$ (x_0; \ y_0) $$ с заданным угловым коэффициентом k имеет вид: $$ y-y_0=k(x-x_0) $$
    Тогда:
    $$ y-0=\pm \frac{4}{3} (x-(-5)) \\ y=\pm \frac{4}{3} (x+5) $$
    Или по отдельности:
    $$ y_1=\frac{4}{3} (x+5)=\frac{4}{3} x+ \frac{20}{3} \\ y_2=-\frac{4}{3} (x+5)=-\frac{4}{3} x- \frac{20}{3} $$

  • Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти: а) длину стороны АВ; б) уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; в) внутренний угол В;
    г) уравнение медианы АЕ; д) уравнение и длину высоты СD; е) координаты М - точки пересечения медианы АЕ и высоты СD; ж) уравнение прямой, проходящей через точку М параллельно стороне ВС.
    А (2;2)
    В (5;6)
    С (6;4)


    Решение: а) Длина стороны АВ:$$ |AB|= \sqrt{(xb-xa)^2+(yb-ya)^2) }= \sqrt{(5-2)^2+(6-2)^2} = \sqrt{9+16} = \ \sqrt{25}=5. $$
    б) Уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты: АВ : Х-Ха = У-Уа
    Хв-Ха  Ув-Уа
    $$ AB= \frac{x-2}{5-2} = \frac{y-2}{6-2} $$
    Получаем уравнение в общем виде:
    АВ: 4х - 8 = 3у - 6 или
    АВ: 4х - 3у - 2 = 0
    Это же уравнение в виде у = кх + в:
    у = (4/3) х - (2/3).
    Угловой коэффициент к = 4/3.
    ВС : Х-Хв  =  У-Ув
      Хс-Хв  Ус-Ув
    $$ BC: \frac{x-5}{6-5}= \frac{y-6}{4-6} \\ BC: \frac{x-5}{1} = \frac{y-6}{-2} $$
    ВС: 2х + у - 16 = 0.
    ВС: у = -2х + 16.
    Угловой коэффициент к = -2.

    в) Внутренний угол В: Можно определить по теореме косинусов.
    Находим длину стороны ВС аналогично стороне АВ:
    BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = 2.236067977
    cos В= (АВ²+ВС²-АС²) /  (2*АВ*ВС) = 0.447214
    Угол B = 1.107149 радиан  = 63.43495 градусов.

    Можно определить векторным способом:
    Пусть координаты точек
    A: (Xa, Ya) = (2; 2).
    B: (Xb, Yb) = (5; 6).
    С: (Xc, Yc) = (6; 4).
    Находим координаты векторов AB и BС:
    AB= (Xb-Xa; Yb-Ya) = ((5 - 2); (6 - 2)) = (3; 4);
    BС= (Xc-Xв; Yс-Yв) = ((6 - 5); (4 - 6)) = (1; -2).
    Находим длины векторов:
    |AB|=√((Xb-Xa)² + (Yb-Ya)^2) = 5 ( по пункту а)
    |ВС|=√((Xс-Xв)²+(Yс - Yв) = √(1²+(-2)²) = √5 =  2.236067977.
    b=cos α=(AB*ВС)/(|AB|*|ВС|
    AB*ВC = (Xв - Xa)*(Xc - Xв) + (Yв - Ya)*(Yc - Yв) =
    = 3*1 + 4*(-2) = 3 - 8 = -5.
    b = cosα = |-5| / (5*2.236067977) = 5 /  11.18034  =  0.447213620 
    Угол α=arccos(b) = arc cos   0.4472136 =   1.1071487 радиан = 63.434949°.
    г) Уравнение медианы АЕ.
    Находим координаты точки Е (это основание медианы АЕ), которые равны полусумме координат точек стороны ВС.
    $$ E: ( \frac{5+6}{2} ; \frac{6+4}{2} )= (5,5; 5) \\ AE: \frac{x-2}{5,5-2} = \frac{y-2}{5-2} \\ AE: \frac{x-2}{3,5} = \frac{y-2}{3} $$
    3x - 6 = 3,5y - 7
    3x - 3,5y + 1 =0, переведя в целые коэффициенты:
    6х - 7у + 2 = 0,
    С коэффициентом:
    у = (6/7) х + (2/7) или
    у = 0.85714 х + 0.28571.

  • Даны координаты вершин треугольника ABC. A(-7;2),B(5;-11),C(9;11). Найти:1) длину стороны AB; 2) уравнение сторон AB и BC и их угловые коэффициенты; 3) угол B в радианах с точностью до двух знаков ;4) уравнение высоты CD и её длину ; 5) уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD ;6) уравнение прямой, проходящей через точку K параллельно стороне AB ;7) координаты точки M расположенной симметрично точке A, относительно прямой CD.


    Решение: Нарисовали треугольник, как на чертеже и начинаем расчет.
    1) Найти длину АВ. По т. Пифагора - 
    АВ^2 = (Bx-Ax)^2 + (By-Ay)^2. Подставим значения координат, извлекаем корень квадратный.
    AB^2 = 12^2 + 13^2 = 144+169=313 и AB = 17.7
    2) Уравнения сторон AB и BC и их угловые коэффициенты.
    Уравнение прямой в виде Y=kX+b. Угловой коэффициент k=tg(z)
    k=(Ay-By)/(Ax-Bx) = -13/12 = -1.083 Угол z=arctg(-1.083) = -0.825 рад.
    Значение b определим из уравнения для точки В.
    By = -11 = -13/12*5 +b Отсюда b=-11+65/12=-5.58
    И так, уравнение AB Y= -1.083*X-5.58
    Аналогично для прямой ВС. 
    k=dY/dX= 22/4 = 5.5 Cy=11=5.5*9+b b=11-49.5=-38.5
    BC Y=5.5*X-38.5. Угол наклона =arctg(5.5) =1.39 рад = 79,6 град.
    3) Угол В в радианах. pi/2-1.39 +pi/2+1.083 =0.67 рад = 38,3 град
    4) Уравнение высоты CD и её длина. Наклон ОБРАТНАЯ величина к AB. 
    Наклон k= 12/13*X+b = 0.923X+b Расчет b. Cy= 11=12/13*9-b 
    b=11-108/13 = 2.69. Окончательно CD Y=.0.923*X+2.69
    Координаты точки D - решаем систему уравнений для прямых AB x CD.
    0.923*X+2.69= -1.0853*X-5.58 2.0083*X=-8.27 Dx=-4 Подставим в любую прямую  Dy= 0.923*(-4.12)+2.69 = -1.
    Длина CD по т. Пифагора. CD^2=13^2+12^2 =169 CD=17.7 
    5) Уравнение медианы АЕ и координаты точки К. 
    АЕ Y= -2/14*X+1 = - 0.143*X+1. Координаты из системы уравнений.
    -0.143X+1=0.923X+2.69 1.066X=-1.69 Kx=-1.59 Ky= 1.23
    6) Через точку К параллельно АВ. Наклон равен k(AB)= -1.083 параметр по координате Кх -1,083*1,59+b=1,23 b=1.23-1.72=-0.49
    окончательно прямая К Y= -1.083*X -0.49/
    7) Координаты точки М. Mx=Ax+2*(Ax-Dx)=-7+2*(7-4)=-1
    My=Ay+2*(Ay-Dy) = 2+2*((-1)-2) = -4 Окончательно M(-1;-4)

  • Даны координаты вершин треугольника: A(1,0) B(-1;2) C(-5;-2) 1) Составить уравнение стороны AB 2) Составить уравнение высоты AD 3) Найти длину медианы BE 4) Найти точку пересечения высот треугольника ABC


    Решение: 1)  Уравнения стороны АВ:
     Х-Ха У-Уа
    -
    Хв-Ха =  Ув-Уа
    (х-1)/(-1-1) = (у-0)/(2-0),
    (х-1)/-2 = у/2.
     у = к* х + в
    Кав = (Ув-Уа)/(Хв-Ха) = 2/-2 = -1.
    у = -х + 1.
    2) Находим длины сторон:
    АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √8 2.828427125. 
    BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √32 = 5.656854249.
    AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √40 = 6.32455532.
    По формуле Герона находим площадь треугольника:
    Можно площадь найти по координатам вершин:
    Площадь треугольника S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 8.
    Длина высот АД = 2S/ВС  = 2*8/5.656854249 = 2.828427.
    3) Основания медиан (точки пересечения медиан со сторонами). Е(Хв1; Ув1) = (Ха+Хс)/2; (Уа+Ус)/2
     Е (-2; -1).
    BЕ = √((Хв1-Хв)²+(Ув1-Ув)²)) = 3.16227766.
    4) Треугольник - прямоугольный:
    УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА Угол BAC при 1 вершине A:  в радианах = 1.10714871779409  в градусах = 63.434948822922 Угол ABC при 2 вершине B:  в радианах = 1.5707963267949  в градусах = 90 Угол BCA при 3 вершине C:  в радианах = 0.463647609000806  в градусах = 26.565051177078.
    Поэтому точка пересечения высот треугольника ABC это точка В.

  • Даны координаты вершины треугольника А(х1; у1), В(х2; у2), С(х3; у3). Найти:
    длину стороны АВ;
    уравнения сторон треугольника;
    внутренний угол при вершине А;
    уравнение высоты проведенной через вершину С;
    уравнение медианы проведенной через вершину В;
    точку пересечения высот;
    площадь треугольника АВС.
    А(-4;2) В(0;-1) С(3;3)


    Решение: |AB|=√((0-(-4))^2+(-1-2)^2=√16+9=√25=5
    уравнение AB:
    x+4/4=y-2/-3
    -3(x+4)=4(y-2)
    -3x-12=4y-8
    3x+12+4y-8=0
    3x+4y+4=0
    BC:
    x/3=y+1/4
    4x=3(y+1)
    4x=3y+3
    4x-3y-3=0
    AC:
    x+4/7=y-2/1
    x+4=7y-14
    x-7y+4+14=0
    x-7y+18=0
    Внутренний угол при вершине A:
    AB(4;-3)
    AC(7;1)
    |AC|=√49+1=√50=5√2
    cos(AB^AC)=28-3/5*5√2=25/25√2=1/√2=45 градусов
    Чтобы найти уравнение высоты, проведенный через вершину С, надо найти середину отрезка AB. Высоту обозначим CH.
    Отсюда видим, что H - середина отрезка AB:
    xh=-4+2/2=-2/2=-1
    yh=2-1/2=1/2=0.5
    ⇒H(-1;0.5)
    Находим уравнение высоты CH:
    C(3;3)
    H(-1;0.5)
    x-3/-1-3=y-3/0.5-3
    x-3/-4=y-3/-2.5
    -2.5(x-3)=-4(y-3)
    -2.5x+7.5=-4y+12
    2.5x+4y+12-7.5=0
    2.5x+4y+4.5=0
    Для медианы находим середину отрезка AC:
    Медиана BM:
    xm=-4+3/2=-1/2=-0.5
    ym=2+3/2=5/2=2.5
    ⇒M(-0.5;2.5)
    B(0;-1)
    Находим уравнение медианы BM:
    x+0.5/0.5=y-2.5/-3.5
    -3.5(x+0.5)=0.5(y-2.5)
    -3.5x-1.75=0.5y-12.5
    3.5x+0.5y+1.75-12.5=0
    3.5x+0.5y-10.75=0
    Чтобы найти точку пересечения высот надо найти либо середину медианы BM, либо середину высоты CH:
    Я найду середину CH:
    C(3;3)
    H(-1;0.5)
    Пусть точка N(xn;yn) - середина CH, тогда:
    xn=3-1/2=2/2=1
    yn=3+0.5/2=3.5/2=1.75
    N(1;1.75)
    S=1/2AB*AC
    S=5*5√2/2=25/2/2=12.5√2 ед^2

  • Даны вершины треугольника ABC найти уравнение стороны ab
    2 уравнение высоты Ch
    3 уравнение медианы am
    4 точку n пересечения медианы am и высоты Ch
    5 уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне ab
    6 расстояние от точки c до прямой ab
    Координаты вершин : A(-1;-4) B(9;6); C(-5;4)


    Решение: 1) Уравнение стороны АВ:
    $$ AB: \frac{x+1}{10} = \frac{y+4}{10} $$, после сокращения на 10 получаем каноническое уравнение:
    $$ AB: \frac{x+1}{1} = \frac{y+4}{1}. $$
    В общем виде х-у-3 = 0.
    В виде уравнения с коэффициентом у = х-3.
    2) уравнение высоты Ch.
    (Х-Хс)/(Ув-Уа) = (У-Ус)/(Ха-Хв).
    Подставив координаты вершин, получаем:
     х + у + 1 = 0, или
    у = -х - 1.
    3)  уравнение медианы am.
    (Х-Ха)/(Ха1-Ха ) = (У-Уа)/(Уа1-Уа).
    Основание медианы Am (Ха1; Уа1)= ((Хв+Хс)/2; (Ув+Ус)/2) =
    = ((9-5)/2=2; (6+4)/2=5) = (2;5).
    Получаем уравнение Am: $$ \frac{x+1}{3}= \frac{y+4}{9}. $$
    Можно сократить на 3:
    $$ Am: \frac{x+1}{1}= \frac{y+4}{3}. $$
    y = 3x - 1.
    4) Точка n пересечения медианы Аm и высоты Ch.
    Приравниваем y = 3x - 1 и у = -х - 1.
    4х = 0,
    х = 0, у = -1.
    5) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB.
    (Х-Хс)/( Хв-Ха) = (У-Ус)/(Ув-Уа).
    х - у + 9 = 0,
    у = х + 9.
    6) расстояние от точки С до прямой АВ.
    Это высота на сторону АВ.
    h = 2S/AB.
    Находим стороны треугольника:
    АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √200 ≈ 14.14213562,
    BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √200 ≈ 14.14213562,
    AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √80 ≈ 8.94427191.
    Площадь находим по формуле Герона:
    S = 60.
    h = 2*60/√200 =  8.485281.

<< < 345 6 7 > >>