график функции »
область определения функции - страница 6
2) Упростите выражение: cos^2 L - Cos^4 L+sin^4 L
3. Найдите область определения и область значения функции y=2+sin x. постройте график функции
4. решите сис-му уравнений
1 уравнение: 3x+5y=-4
2 уравнение: -x+3y=6
6. Найдите производные функции: а)y=0,5 - 6х б)y=(1/(3x^2))-((x^3)/3)+2/x в) y=(2+x)/x
7) найдите интегралы
интеграл(3x-2)dx б) интеграл (6/(1+x^2))dx в) интеграл в верху 1 внизу -2 (3x^2 -15)dx
8) Из точки А отстоящей от плоскости на 12 см, проведена к этой плоскости наклонная АВ равная 37 см. Найти проэкцию АВ на данную плоскость (предварительно выполнив рисунок)
9) Как изменится полная поверхность куба, если его ребро увеличить в 3 раза
Решение: $$ 2) cos^2 L - cos^4 L+sin^4 L= cos^2 L -( cos^4 L-sin^4 L)=\\=cos^2L-(cos^2L-sin^2L)=sin^2L $$3)D(x)=R;E(y)=[1;3], график во вложении 1.
4)$$ \begin{cases} 3x+5y=-4\\-x+3y=6|*3 \end{cases}\ \begin{cases} 3x+5y=-4\\+\\-3x+9y=18 \end{cases}\\14y=14\\y=1\\3x+5=-4\\3x=-9\\x=-3 $$
Ответ:(-3;1)
8)$$ AC=\sqrt{37^2-12^2}=\sqrt{25*49}=35 $$Вложение 2
9) Было a Площадь поверхности 6a^2
Стало 3a Площадь поверхности 9*6a^2
Ответ: увеличится в 9 раз
2. Найдите интеграл x^2dx/3+x^2.
3. вычислите 15^(-2)*45^5/3/75^4/3+2^1/4*4^3/8
4. Найдите область определения функции y=lg(1-x-2x^2).
5. радиусы оснований усеченного конуса равны 10 см и 4 см а высота равна 8 см найдите образующую усеченного конуса.
Решение: $$ 2) \int\limits { \frac{ x^{2} }{3+ x^{2} } } \, dx = \int\limits { \frac{ x^{2} +3-3}{ 3+x^{2} } } \, dx = \int\limits {(1- \frac{3}{3+ x^{2} } } \, dx =x-3\cdot \frac{1}{ \sqrt{3} } arctg \frac{x}{ \sqrt{3} }+C $$
Ответ.$$ x-{\sqrt{3}\cdot arctg \frac{x}{ \sqrt{3} }+C \\ 3) \frac{15 ^{-2}\cdot45 ^{ \frac{5}{3} } }{75 ^{ \frac{4}{3} } } +2 ^{ \frac{1}{4} } \cdot4 ^{ \frac{3}{8} }= \frac{ \sqrt[3]{45 ^{5} } }{15 ^{2}\cdot \sqrt[3]{75 ^{4} } }}+2 ^{ \frac{1}{4} }\cdot (2 ^{2}) ^{ \frac{3}{8} } = \\ = \frac{45\cdot \sqrt[3]{45 ^{2} } }{225\cdot 75\cdot \sqrt[3]{75} }+2 ^{ \frac{1}{4}+ \frac{6}{8} } = \frac{3 \sqrt[3]{75} }{375 \sqrt[3]{75} }+2= \frac{1}{125}+2=2,008 $$
4) областью определения логарифмической функции является множество положительных чисел, значит выражение написанное под знаком логарифма должно быть больше 0:
1- х - 2х² > 0,
2x² + x -1 <0
Решаем квадратное уравнение: 2x² + x -1 =0, D=b²-4ac=1-4·2(-1)=9
x=(-1-3)/2=-2 или х= (-1+3)/2=1
Решением неравенства будет интервал (-2;1)
5) Сечение усеченного конуса, проходящее через высоту конуса и диаметры оснований - равнобедренная трапеция. С основаниями 2R=2·10=20 cм и 2r=2·4=8см. Высота трапеции H=8 см. По теореме Пифагора ( см. рисунок)
образующая L²=H²+((20-8)/2)²=8²+6²=100=10²
ответ. Образующая 10 см
Исследовать функцию y=(5-х2)/(х2+5):1) найти область определения функции 2) исследовать функцию на непрерывность 3) определить, является ли данная функция четной, нечетной 4) найти интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума 5) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба 6) найти асимптоты графика функции. )
Решение: ДАНО
Y = (5-x²)/(5+x²)
Исследование.
1. Область определения.
Х∈(-∞;+∞)
2. Непрерывная. Точек разрыва нет.
3. Исследование на четность.
У(х) = У(-х) - функция четная.
4. Поиск экстремумов.
Первая производная
$$ Y’=- \frac{2x}{x^2+5}- \frac{2x(5-x^2)}{(x^2+5)^2} $$
Нули производной.
Y’ = 0 при х=0.
Максимум - Y(0) = 1.
Возрастает - Х∈(-∞;0]
Убывает - Х∈[0;+∞).
Минимум - Y(∞) = - 19/21.
5. Точки перегиба - нули второй производной.
$$ Y"= \frac{60x^2-100}{x^6+15x^4+75x^2+125} $$
Y"=60x²-100 = 0
x= √1.6 = +/- 1.26
6. Наклонная асимптота -
Y= -1.
На рисунке кроме графика функции дополнительно графики производных - точки экстремума и перегиба.
Исследовать функцию y= (2)/(1+x^2) по следующей схеме:
1) Найдите область определения функции
2) Исследовать функцию на непрерывность
3) Определить, является ли данная функция четной, нечетной.
4) найти интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума
5) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба
6) найти асимптоты графика функции
Решение: ДАНО
Y = 2/(x²+1)
ИССЛЕДОВАНИЕ
1. Область определения. Х∈(-∞,+∞).
2. Пересечение с осью Х - нет. Х∈∅.
3. Пересечение с осью У. Х=0, У(0) = 2.
4. Поведение на бесконечности.
У(-∞) = 0, У(+∞) = 0.
5. Исследование на четность.
У(-х) = - У(х) - функция четная.
6. Поиск экстремумов по первой производной.
Y’ = -4x/(x²+1)² =
Нули производной при Х = +/- 1.
Минимум - Ymin(-1) = -1
Максимум - Ymax(1) = 1.
7. Возрастает - Х∈(-∞,0]
Убывает - X∞[0,+∞)
8. Точки перегиба по второй производной.
$$ Y"= \frac{12x^2-4}{x^6+3x^4+3x^2+1} $$
12x²-4 = 0
x = +/- √3/3 ~ 0.58
9. Асимптота. F(∞) = Y(x)/x = 0.
10. График прилагается.
1) Найдите область определения функции, если:
g(x)=2x-1
2) Найдите нули функции, промежутки знакопостоянства и область значений функций, если:
f(x)=5x-1, где D(f)= [-2;2]
3) Представьте в стандартном виде число а= 0,00073 * 10^15 и найдите порядок числа:
а) а * 10^7
б) а * 0,001
в) а^2 * 0,000001
4) Представьте выражение в виде рациональной дроби:
a) \( ab^{-1} + a^{-1}b \)
б) \( a^{-1}(a^{-1}+b^{-1} ) \)
Решение: 1) область определения D(g) = ( - оо ; + оо )
2) f(x) = 5x-1 где D(f)= [-2;2]
Нули функции :
f(x) = 0
5x-1 = 0
5x = 1
х = 1/5
Промежутки знакопостоянства:
f(x) > 0 при х ∈ ( 1/5 ; 2)
f(x) < 0 при х ∈ ( -2 ; 1/5)
Область значений функции :
f(-2) = 5*(-2) -1 = -11
f(2) = 5*2 -1 = 9
E(f)= [-11;9]
3) а= 0,00073 * 10^15 = 7,3 * 10^11 порядок числа: 11
а) а * 10^7 = 7,3 * 10^11 * 10^7 = 7,3 * 10^18
б) а * 0,001 = 7,3 * 10^11 * 10^-4 = 7,3 * 10^7
в) а^2 * 0,000001 = (7,3 * 10^11 )^2 * 10^-7 =
= 7,3 ^2 * ( 10^11 )^2 * 10^-7 = 53.29* 10^11* 10^-7 =
= 53.29* 10^4
4) а) = a/b + b/a = (a² + b²)/ab
б) = 1/а* (1/а + 1/b) = 1/а* (a+b)/ab = (a+b)/a²b
8. Докажите что значение выражения является рациональным числом✓(6-✓11)*✓(6+✓11) 9. при каком значении уравнение имеет единственный корень 2x^2-4x+t=0 10. Найдите область определения выражения ✓(7-14х)/х+8
Решение: (6-V11)*(6+V11) = 6^2 - V11^2 = 36 - 11 = 25(25 = 5^2)
2X^2 - 4X + T = 0
D = 0
D = 16 - 4*2*T = 0
8T = 16
T = 2
7 - 14X > 0 -> X > 2
7 - 14X < 0 -> X < 2
X + 3 не равен нулю -> X не равен - 3
В каком случае считают, что область определения функции состоит из всех значений независимой переменной?
Сформулируйте определение линейной функции.
Какую функцию называют линейной?
Как найти координаты точки пересечения?
Решение: Вспомним, что Д(у) есть множество всех значений х, при которых все указанные действия могут выполняться
Тогда все значения она может принимать, если нет деления или извлечения квадратного корня(корня четной степени).
Линейная функция - функция вида y=kx+b, где k, b-числа.
Точка пересечения с осью Х находим, приравнивая выражение к нулю(y=0),
а с осью Y берем х=0.Область определения функции состоит из всех значений независимой переменной x, когда в уравнении функции отсутствуют выражения, которые могут не иметь смысла
Линейная функция это функция имеющая вид y=kx+b, где k и b числа, а x переменная
Для её построения нужно знать координаты двух точек (это прямая)
Чтобы найти координаты точки пересечения графика с осью абсцисс нужно подставить под y число 0, так как в таких точках ордината равна 0
. с осью ординат - под x подставляем 0, так как в таких точках абсцисса равна 0Выполните исследование функции по следующей схеме:
1) Найти область определения
2) проверить четность, нечетность функции
3) найти точки пересечения с осями координат
4) найти экстремумы функции и интервалы монотонности
5) найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости
6) построить график функции
y=2x^4-4x^2+3
Пожалуйстааааа
Решение: Y=2x⁴-4x²+3
1) x∈R
2) y(-x)=2(-x)⁴-4x²+3=y(x) ф-я четная, можно строить только при х больше 0 и отразить график симметрично в оси у
3) пересечение с осью х у=0
2x⁴-4x²+3=0 сделаем замену x²=z
2z²-4z+3=0 D=16-24<0 корней нет, график лежит
выше оси х, х=0 у=3 пересечение с осью у
4)y’=8x³-8x=8x(x-1)(x+1) экстремумы при x=0,1,1
-1- 0 -1-→x
- + - +
убывает при x∈(-∞;-1)∪(0;1)
возрастает x∈(1;0)∪(1;∞) x= -1,1 min y= 1
x=0 max y=3.
5) y’’= 24x²-8=8(3x²-1)=0 x=1/√3,1/√3 точки перегиба
- 1/√3-1/√3-
+ - +
вогнута выпукла вогнута
-Исследуйте функцию и постройте график
1) Найти область определения функции.
2) Выяснить, не является ли функция чётной, нечётной или периодической.
3) Найти точки пересечения графика с осями координат.
4) Найти асимптоты графика функции.
5) Найти промежутки монотонности функции и её экстремумы.
6) Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.
7) Построить график, используя полученные результаты исследования.
\( y=2x^3-3x^2-12x-1 \)
Решение: Обычная кубическая парабола
1) Область определения - (-оо; +оо)
2) Ни четная, ни нечетная, не периодическая.
3) y(0) = -1; y = 0 в трех иррациональных точках
x1 ~ -1,755; x2 ~ -0,085; x3 ~ 3,34
4) Асимптот нет
5) y ’ = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x - 2)(x + 1) = 0
x1 = -1; y(-1) = -2 - 3 + 12 - 1 = 6 - максимум
x2 = 2; y(2) = 2*8 - 3*4 - 12*2 - 1 = 16 - 12 - 24 - 1 = -21 - минимум
При x = (-oo; -1) U (2; +oo) - возрастает
При x = (-1; 2) - убывает
6) y ’’ = 12x - 6 = 6(2x - 1) = 0
x = 1/2; y(1/2) = 2/8 - 3/4 - 12/2 - 1 = -1/2 - 6 - 1 = - 7,5 - точка перегиба
При x < 1/2 будет y ’’ < 0; график выпуклый вверх.
При x > 1/2 будет y ’’ > 0, график выпуклый вниз.
7) График
\( y = 2 x^{2} + \frac{4}{x} \)
1) Найти область определения функции
2) Найти точки пересечения координат
3) Найти промежутки возрастания и убывания
4) Найти точки экстремума
5) Построить график
Решение: $$ y=2x^2+ \frac{4}{x}. $$
1) Найти область определения функции: x ≠ 0.
2) Найти точки пересечения координат: так как х находится в знаменателе дроби, то пересечения с осью у нет.
Для определения пересечения с осью х надо решить уравнение 2х²+(4/х) = 0.
Приведём к общему знаменателю: (2х³+4)/х = 0.
Дробь равна 0, когда числитель равен 0:
2х³+4=0,
х³=-4/2 = -2,
х =∛(-2) = -1.25992.
3) Найти промежутки возрастания и убывания:
Находим производную: y’ = 4x-(4/x²) и приравниваем её 0:
4x-(4/x²) = 0.
Приведём к общему знаменателю: (4х³-4)/х² = 0.
Дробь равна 0, когда числитель равен 0:
4х³-4 = 0,
х³ = 4/4 = 1,
х= ∛1 = 1.
Если производная отрицательна, то функция убывает, если производная положительна, то функция возрастает.
Находим значения производной вблизи критической точки:
х -2 -1 0 0.5 1 2
y ’ -9 -8 -14 0 7.
Отсюда видно:
Функция возрастает x > 1 или х ∈ (1;∞),
убывает х < 0; 0 <x < 1 или х ∈ (-∞;0) ∪ (0;1].
4) Найти точки экстремума:
Она уже найдена - это локальный минимум в точке х = 1.
Вблизи этой точки производная функции меняет знак с минуса на плюс.
5) Построить график - он дан .
Уравнение вида mx = n, к которому сводится любое линейное уравнение, может быть легко решено графически. На одном и том же рисунке построим графики двух функций: у = mx и у = n. Если эти графики пересекутся, то абсцисса точки пересечения и даст нам корень уравнения mx = n.
Если же эти графики не пересекутся, то это будет означать, что уравнение...
Рассмотрим некоторые вопросы поведения функций вида
$$ y=\frac{ax+b}{cx+d} \;\;\;(1) $$
где а, b, с и d - заданные числа, причем с отлично от нуля. Такие функции называются дробно-линейными (обычно, говоря о функциях вида (1), предполагают, что ad - bc \(\neq\) 0. Это условие мы заменяем здесь более простым условием с \(\neq\) 0.).
Прежде всего отметим, что дробно-линейная функция (1) определена при всех...