график функции »
область определения функции - страница 7
Функция y=lg(cosx+1). Нужно: 1. Найти область определения. 2. Является чётно или нечётной. 3. Является ли переодической. 4. Найти точки пересечения с осями координат. 5. Исследовать знак функции. 6. Найти вертикальные асимптоты. 7. Исследовать поведение функции на ∞. 8. Исследовать на возрастание и на убывание. 9. Точки перегиба. Выпуклость, вогнутость. Построить график функции не по точкам.
Решение: 1.cosx+1≥0 <=> x∈R2.y(-x)=lg(cos(-x)+1)=lg(cosx+1)=y(x) - ф-ция чётная
3. Является, т. к. содержит периодическую ф-цию.
4. при х=0 y=lg2; y=0, при cosx+1=1 <=> cosx=0 <=> x=π/2+πk, k∈Z.
5. Ф-ция четная и при x=0 y>0, значит при x∈(-π/2+πk;π/2+πk), k∈Z y>0, а при
x∈(π/2+πk;π3/2+πk), k∈Z y<0.
6. Их нет.
7. Функция периодическая
8. На промежутке x∈(-π3/2+πk;πk), k∈Z фунция возрастает, а
на x∈(πk;π3/2+πk), k∈Z - убывает
9. Имеет максимум в точках x=2πk, k∈Z, минимум в точках x=π+2πk.
А как ещё строят графики? 0_0 И проги по точкам строят, и даже крутые математики. Иначе нельзя.
Выполнить исследование функции по следующей схеме:
1) найти область определения
2) проверить четность-нечетность функций
3) найти точки пересечения с осями координат
4) найти экстремумы и интервалы монотонности
5) найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости
6) найти пределы функций при x (+)(-) бесконечности
7) построить график функции.
y=3x^3-15x^2+36x-5 ``Пожалуйста``
Решение: 1) Область определения: x ∈ (-∞; ∞).
2) Четность-нечетность:
$$ f(x) = 3x^3-15x^2+36x-5 \\ f(-x) = 3(-x)^3-15(-x)^2-36x-5 = -3x^3-15x^2-36x-5 \\ -f(x) = -3x^3+15x^2-36x+5 $$
Т. к. $$ f(x) = f(-x) $$ и $$ f(-x) = -f(x) $$, то функция является функцией общего вида.
3) Точки пересечения с Ox. Решим исходное уравнение при y = 0. (метод решения: Виета-Кардано)
Получим один корень: x = 0.148 - абсцисса точки пересечения графка с осью Ox. Координаты точки: (0.148; 0)
Точка пересечения с Oy. Найдем y, подставив в уравнение x = 0. Получим: y = -5. Координаты точки: (0,5).
4) Так как функция кубическая, то точек экстремума не имеет.
5) Первая производная.
$$ f’(x) = 9x^2-30x+36 $$
2. Вторая производная.
$$ f’’(x) = 18x-30 $$
Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.
$$ 18x-30 = 0 $$
Откуда точка перегиба:
x = 5/3
На промежутке: (-∞ ;5/3)
$$ f’’(x) < 0 $$
Значит, функция выпукла.
На промежутке (5/3; ∞)
$$ f’’(x) > 0 $$
Значит, функция вогнута.
6) $$ \lim_{x \to \infty} 3x^3-15x^2+36x-5 = \infty \\ \lim_{x \to -\infty} 3x^3-15x^2+36x-5 = -\infty $$
7(график в приложениях)
Как мог. Работа объемная, конечно)
Построение графика функции
1. Найти область определения.
2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
3. Исследовать функцию на четность и нечетность
4. Найти интервалы знака-постоянства функции
5. Исследуйте функцию на периодичность
6. Найдите интервалы монотонности функции
7. Исследовать функцию на экстремум и значении функции в этих точках
8. Найдите 1-2 дополнительные точки для уточнения графика функции.
Y=-X^4/4+X^2
Нужно(4-8) Кто сделает отмечу как лучший
Решение: Исследование с рассуждениями проведём по плану.
Нам потребуется координатная плоскость примерно +/- 3 по оси Х и от -2 до 10 по оси У
1. Область определения.
На вид никаких ограничений на аргумент Х - нет.
Нет деления на ноль и нет неопределенности типа 0/0.
Х⊂ (-∞;+∞) или Х ⊂ R - все числа без исключения.
2. Точки пересечения с осями.
Подставим значение Х=0 и вычисляем
Y(0) = 0 - или при Х=0 Y=0 - одна точка пересечения - начало координат.
Отмечаем точку пересечения на координатной плоскости.
3. Исследовать на четность и нечетность.
Видим, что все степени при аргументе - четные (это 4 и 2) - значит и функция тоже четная. Но, по определению четной функции - У(-х) = У(+Х)
Вычисляем - У(-2) = У(+2) = 8.
Значения равны - функция четная.
Отмечаем на координатной плоскости две точки А(-2;8) и В(2;8).
4. Интервалы знака-постоянства - всегда положительна
5. Периодичность - нет периода. Обычно это у тригонометрических функций.
6. Исследование на экстремумы.
Для этого необходимо проанализировать первую производную функции.
Где она отрицательна - функция убывает, где положительна - возрастает, где равна 0 - точка экстремума. Вычисляем первую производную функции.
Y’ (x) = 4*(1/4)*x³ + 2*x = x³+2x = x*(x²+1) =0
Анализируем -
а) равна 0 при Х=0 - точка экстремума
б) Y’ (-1) = - 3 - отрицательна - "наша" - Y - убывает - отмечаем на графике, но "в уме"
в) Y’(+1) = 3 - положительна - "наша" - возрастает - отмечаем.
Делаем вывод, что в точке Х=0 - минимум.
Значение в точке экстремума равно
Ymin = Y(0) = 0; - точка уже отмечена на плоскости.
7. Исследование на монотонность или выпуклость- вогнутость.
Где она равна 0. там точка перегиба. Где отрицательна - выпуклая, где положительная - вогнутая.
Для этого потребуется вторая производная функции.
Y’(x) =3*x² + 2 - всегда положительна - "наша" Y-функция - всегда вогнутая.
8. Вычисляем дополнительные точки для построения графика
Y(1) = Y(-1) = 1 - ставим на графике.
Y(1/2) = Y(-1.2) = 0.2656 ~ 0.25 = 1/4 - строим еще две точки.
И соединяем плавной-плавной, но кривой линией все точки.
Получили график, который можно сравнить с таким же графиком, построенным на компьютере.
Исследование функции закончено.
Дана функция:y= 4x^3+6x^2
1. Найти область определения функции.
2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
3. Исследовать функцию на четность и нечетность.
4. Найти интервалы знака постоянства функции.
5. Найти интервалы монотонности функции.
6. Исследовать функцию на экстремум и значение функции в заданной точке.
Решение: Y=4x³+6x²
1. определена при всех х
2. х=0⇒у=0 у=0⇒х=0 одна точка пересечения в начале координат.
3. y(-x)=-4x³+6x² ни четная ни нечетная
4. y=x²(4x+6) функция больше 0 при 4x+6 >0 x> -1.5 b y<0 x<-1.5
5. y’=12x²+12x=12x(x+1)
-1- 0 -
+ - +
монотонно возрастает х∈(-∞,1)∪(0,∞)
убывает х∈(-1,0 )
6. y’=0 12x(x+1)=0 x=0 переход от убывания к возрастанию, локальный минимум у=0
х=-1 переход от возрастания ф-ии к ее убыванию - локальный максимум. у=-4+6 у=2
Y = 2*x^3+3*x^2-12*x+2
1. найти область определения функции
2. проверить функцию на четность и не четность
3. исследовать функцию на периодичность
4. найти точки пересечения графика функции с осями координат
5. исследовать функцию на монотонность и найти точки эктрениума
6. построить график
Решение: 1. Область определения - вся числовая ось ( нет особых точек).
2. Ф-я не четная и не нечетная т. к. f(x) !=f(-x) и f(x) != -f(x)
3. Ф-я непереодическая
4. Найдем корни - это точки пересечения с осью Х (-3,369; 0,175; 1,694)
(примечание: корни могут быть найдены только численными методами, аналитического выражения нет). y(0)=2 (пересечение с осью У)
5. Для нахождения точек экстремума берем 1-ю и 2-ю производные, приравниваем их 0. По 1-й производной 6x^2+6x-12 (корни = 1; -2) Экстремумы в точках: 1;-2.
Так как 2-я производная (12х+6) в (.)-2 отрицательна, то в (.) -2 имеем максимум,
так как 2-я производная в (.) 1 положительна. то в (.) 1 имеем минимум.
Приравняв 0 2-ю производную, получаем точку перегиба = (-0.5).
Итак, функция возрастает на интервале (-беск,2), убывает в интервале (-2,1) и возрастает в интервале (1,+беск).
Обьясните на примере: y = 2x⁴-9x²+7
Можно показать на любом своём примере, только дробные не берите.
План анализа функции по пунктам:
1.) Найти область определения
2.) Определить четность\нечетность
3.) Выяснить наличие асимптот
4.) Найти точки пересечения графика с осями координат
5.) Найти производные
6.) Исследовать на монотонность и экстремум
, хотя бы немного, для меня это очень важно, завтра контрольная работа. 2, 5, 6 пункты решать НЕ НАДО
Решение: 1.) Найти область определенияобласть определения это все "х" при котором уравнеие функции имееер решение.
например y=$$ \sqrt{x} $$ область определения будет все х> или=0 (т. к. корень из отрицательного числа нельзя вывести)
или например у=$$ log_x2 $$ здесь обл. опр. х>0 и не равен нулю.
в твоем примере х Любой.
3) Выяснить наличие асимптот
асимптота- прямая к которой стремится график функции но никогда с ним не прикоснется. в твоем примере асимптоы нет. а например tgx имеет асимптоты в при тех х в которых tg не существует (-90, 90, 270.)
4) Найти точки пересечения графика с осями координат
здесь все просто: сначала приравниваем у к 0 и находим х. (это будут точки пересечения с осью х) на твоем примере $$ 0 = 2x^4-9x^2+7 $$ x=+1;-1;$$ +\sqrt{3.5} $$; $$ -\sqrt{3.5} $$ значит точки (1;0) (-1;0) ($$ \sqrt{3.5} $$;0) ($$ -\sqrt{3.5} $$;0)
затем аналогично берем х за 0 и находим у. (это пересечение с осью у) точка(0;7)
вот и все!
Дифференциальное исчисление-Полное исследование функции
y=x^3-6x^2+9x+1,[0;4]
1. Найти область определения функции.
2. Установить чётность (нечётность) и периодичность функции.
3. Исследовать поведение функции на границах области определения и найти асимптоты графика функции.
4. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции.
5. Найти интервалы направления выпуклости и точки перегиба графика функции.
6. Найти точки пересечения с осями координат и дополнительные точки; построить график функции.
Решение: ДАНО
х³-6х²+9х+1 на интервале Х∈[0,4].
ИССЛЕДОВАНИЕ
1. Область определения - R - все действительные.
разрывов нет - непрерывная.
2, Пересечение с осью Х - на интервале - нет.
3. На четность.
Y(-x) ≠ Y(+x) - функция ни четная ни нечетная.
4. Первая производная - экстремумы.
Y’ = 3x²-12x+9 = 3*(x-1)(x-3)0
5. Монотонность.
Возрастает - Х∈(-∞,1]∪[3,+∞)
Убывает - Х∈[1,3]
6. Экстремумы
Ymax(1) = 5
Ymin(3) = 1
7. Вторая производная.
Y" = 6x-12 = 6(x-2)
8. Точка перегиба
Y"(2) =0
9.
Выпуклая - Х∈(-∞,2]
Вогнутая - X∈[2,+∞).
10. Значения на границах отрезка.
Y(0) =1
Y(4) = 5
F(x)=(х+3)(х+1) Иследовать график функции по алгаритму_
1 Область определения
2. Исследование функции на четность, нечетность и периодичность
3. Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат
Точки пересечения с осью ОХ:, где – решение уравнения.
Точки пересечения с осью ОY:.
4. Нахождение промежутков знакопостоянства функции
5. Нахождение производной функции, области определения производной, критических точек
6. Нахождение промежутков возрастания, убывания, точек экстремума и экстремумов
Критические точки функции разбивают область определения функции на промежутки. Для нахождения промежутков возрастания, убывания и точек экстремума нужно определить знак производной на каждом из полученных промежутков. Если производная функции положительна на некотором промежутке I, то функция возрастает на этом промежутке; если производная функции отрицательна на некотором промежутке I, то функция убывает на этом промежутке. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то данная точка является точкой экстремума.
7. Нахождение промежутков выпуклости функции и точек перегиба
Для нахождения промежутков выпуклости используется вторая производная функции. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции на промежутки. Если вторая производная на полученном промежутке положительна, то график функции имеет выпуклость вниз, если – отрицательна, то график функции имеет выпуклость вверх. Если при переходе через точку, в которой вторая производная равна нулю или не существует, вторая производная меняет знак, то данная точка является точкой перегиба.
8. Исследование поведения функции на бесконечности и в окрестности точек разрыва
Для исследования поведения функции в окрестности точки разрыва необходимо вычислить односторонние пределы: и. Если хотя бы один из данных пределов равен бесконечности, то говорят, что прямая – вертикальная асимптота.
При исследовании поведения функции на бесконечности необходимо проверить, не имеет ли график функции наклонных асимптот при и. Для этого нужно вычислить следующие пределы: и. Если оба предела существуют, то – уравнение наклонной асимптоты при. Частный случай наклонной асимптоты при – горизонтальная асимптота. Аналогично ищется наклонная асимптота при.
9. Построение графика (при необходимости нужно найти значения функции в дополнительных точках)
Решение: Функцию (х+3)(х+1) проще исследовать после преобразования:
(х+3)(х+1) = х²+3х+х+3 = х²+4х+3 - это уравнение параболы.
Результаты исследования графика функцииОбласть определения функции. ОДЗ: -00<x<+00
Точка пересечения графика функции с осью координат Y: График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в x^2+4*x+3.
Результат: y=3. Точка: (0, 3)
Точки пересечения графика функции с осью координат X: График функции пересекает ось X при y=0, значит нам надо решить уравнение:x^2+4*x+3 = 0 Решаем это уравнение и его корни будут точками пересечения с X:
x=-3.0. Точка: (-3.0, 0) x=-1.0. Точка: (-1.0, 0)
Экстремумы функции: Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y’=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:y’=2*x + 4=0 (Производную находим, a уравнение решаем )
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:x=-2.0. Точка: (-2.0,1.0)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдем интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим на ведет себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках:-2.0 Максимумов у функции нету
Возрастает на промежутках: [-2.0, oo) Убывает на промежутках: (-oo,2.0]
Точки перегибов графика функции: Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y’’=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции,
+ нужно подсчитать пределы y’’ при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:y’’=2=0 - нет перегибов.
Вертикальные асимптоты Нету Горизонтальные асимптоты графика функции: Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы находим :lim x^2+4*x+3, x->+oo = oo, значит горизонтальной асимптоты справа не существует lim x^2+4*x+3, x->-oo = oo, значит горизонтальной асимптоты слева не существует Наклонные асимптоты графика функции: Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы :lim x^2+4*x+3/x, x->+oo = oo, значит наклонной асимптоты справа не существуетlim x^2+4*x+3/x, x->-oo = -oo, значит наклонной асимптоты слева не существует
Четность и нечетность функции: Проверим функцию четна или нечетна с помощью соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем:x^2+4*x+3 = x^2 - 4*x + 3 - Нет x^2+4*x+3 = -(x^2 - 4*x + 3) - Нет - значит, функция не является ни четной ни нечетнойПостроить график функции y = 2*∛(x²) * e^(-x/3) по следующему алгоритму:
1) Область определения функции
2) Непрерывность функции и её четность(lim y =? при x-> +- ∞)
3) Пересечение с осями координат и точки разрыва (найти точки разрыва с помощью пределов)
4) Асимптоты (вертикальные и наклонные, найти их через пределы)
5) Возрастание, убывание, экстремумы функции(через достаточные условия)
6) Выпуклость, вогнутость и перегибы графика
7) Построить сам график со всеми асимптотами
Решение: Дано:
$$ y = \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } $$ ;
Исследовать функцию и построить график.
Решение:
1) Функция определена при любых аргументах.
D(f) ≡ R ≡ $$ ( -\infty ; +\infty ) $$ ;
2) Функция не является ни чётной, ни нечётной. Докажем это:
$$ y(-x) = \sqrt[3]{ (-x)^2 } e^{ -\frac{-x}{3} } = \sqrt[3]{ x^2 } e^{ \frac{x}{3} } $$ ;
$$ y(-x)/y(x) = \frac{ \sqrt[3]{ x^2 } \exp{ \frac{x}{3} } }{ \sqrt[3]{ x^2 } \exp{ ( -\frac{x}{3} ) } } = \frac{ \exp{ \frac{x}{3} } }{ \exp{ -\frac{x}{3} } } = \exp{ \frac{x}{3} } \exp{ \frac{x}{3} } = \exp{ \frac{2x}{3} } $$ ≠ ± 1 при любых аргументах ;
$$ y(-x)/y(x) $$ ≠ ± 1 ;
Найдём первую производную функции y(x) :
$$ y’(x) = ( \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } )’ = ( x^\frac{2}{3} e^{ -\frac{x}{3} } )’ = \frac{2}{3} x^{ -\frac{1}{3} } e^{ -\frac{x}{3} } + x^\frac{2}{3} ( -\frac{1}{3} ) e^{ -\frac{x}{3} } = \\ = \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{3} ( \frac{2}{x^\frac{1}{3} } - x^\frac{2}{3} ) = \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 x^{1/3} } ( 2 - x ) $$ ;
$$ y’(x) = \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{x} } ( 2 - x ) $$ ;
При x = 0, производная y’(x) – не определена, хотя сама функция определена при любых аргументах, так что функция непрерывна на всей числовой прямой, но непрерывно-дифференцируема за исключением ноля.
Убедимся в этом, вычислив предел около ноля слева и справа
$$ \lim_{x \to -0} y(x) = \lim_{x \to -0} \sqrt[3]{x^2} e^{ \frac{x}{3} } = \sqrt[3]{ (-0)^2 } e^{ -\frac{-0}{3} } = \sqrt[3]{0} e^{0} = 0*1 = 0 $$ ;
$$ \lim_{x \to +0} y(x) = \lim_{x \to +0} \sqrt[3]{x^2} e^{ \frac{x}{3} } = \sqrt[3]{ (+0)^2 } e^{ -\frac{0}{3} } = \sqrt[3]{0} e^{0} = 0*1 = 0 $$ ;
3) Функция определена при любых x, поэтому точек разрыва нет.
Если приравнять функцию к нолю, получим:
$$ y(x) = 0 $$ ;
$$ \sqrt[3]{x^2} e^{ \frac{x}{3} } = 0 $$ ;
Что возможно только при $$ \sqrt[3]{x^2} = 0 $$, т. е. при x = 0 ;
Итак, точка ( 0 ; 0 ) – принадлежит нашему графику.
4. Найдем асимптоты y(x).
Точек разрыва нет, значит, нет и вертикальных асимптот.
Посмотрим, что происходит с функцией y(x) при устремлении аргумента к ± $$ \infty $$ :
$$ \lim_{x \to -\infty} y(x) = \lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } = \lim_{x \to -\infty} e^{ \ln{ \sqrt[3]{x^2} } } e^{ -\frac{x}{3} } = \\ = \lim_{x \to -\infty} e^{ \frac{2}{3} \ln{ (-x) } } e^{ \frac{-x}{3} } = \lim_{x \to -\infty} e^{ \frac{2}{3} \ln{ (-x) } + \frac{-x}{3} } = \\ = \lim_{x \to -\infty} e^{ \frac{-x}{3} ( 1 + \frac{ 2 \ln{ (-x) } }{ -x } ) } > \lim_{x \to -\infty} e^{ \frac{-x}{3} } = +\infty $$ ;
$$ \lim_{x \to -\infty} y(x) = +\infty $$ ;
$$ \lim_{x \to +\infty} y(x) = \lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } = \lim_{x \to +\infty} e^{ \ln{ \sqrt[3]{x^2} } } e^{ -\frac{x}{3} } = \\ = \lim_{x \to +\infty} e^{ \frac{2}{3} \ln{x} } e^{ -\frac{x}{3} } = \lim_{x \to +\infty} e^{ \frac{2}{3} \ln{x} - \frac{x}{3} } = \\ = \lim_{x \to +\infty} e^{ -\frac{x}{3} ( 1 - \frac{ 2 \ln{x} }{x} ) } < \lim_{x \to +\infty} e^{ -\frac{x}{3} } \leq 0 $$ ;
Поскольку, $$ \lim_{x \to +\infty} y(x) \geq 0 $$, то:
$$ \lim_{x \to +\infty} y(x) = 0 $$ ;
Значит, уходя на отрицательную ∞ аргумента y(x) и сама стремиться к бесконечности, а уходя на положительную бесконечно по аргументу y(x) стремится к нулю ;
Из этого следует, что при x>0 есть горизонтальная асимптота y = 0.
Чтобы найти наклонную асимптоту, найдем предел первой производной на отрицательной бесконечности по аргументу:
$$ \lim_{x \to -\infty} y’(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{x} } ( 2 - x ) > \lim_{x \to -\infty} \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{x} } ( - x ) $$ ;
$$ \lim_{x \to -\infty} \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{x} } ( - x ) = \lim_{x \to -\infty} ( -\frac{1}{3} \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } ) = -\infty $$ – по доказанному в пределе самой функции.
$$ \lim_{x \to -\infty} y’(x) = -\infty $$ ;
А это означает, что наклонной асимптоты на отрицательной бесконечности нет. А на положительной – горизонтальная.
Построить график функции y = 2∛(x²) * e^(x/3) по следующему алгоритму:
1) Область определения функции
2) Непрерывность функции и её четность(lim y =? при x-> +- ∞)
3) Пересечение с осями координат и точки разрыва (найти точки разрыва с помощью пределов)
4) Асимптоты (вертикальные и наклонные, найти их через пределы)
5) Возрастание, убывание, экстремумы функции(через достаточные условия)
6) Выпуклость, вогнутость и перегибы графика
7) Построить сам график со всеми асимптотами
Решение: Дано:
$$ y = \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } $$ ;
Исследовать функцию и построить график.
Решение:
1) Функция определена при любых аргументах.
D(f) ≡ R ≡ $$ ( -\infty ; +\infty ) $$ ;
2) Функция не является ни чётной, ни нечётной. Докажем это:
$$ y(-x) = \sqrt[3]{ (-x)^2 } e^{ -\frac{-x}{3} } = \sqrt[3]{ x^2 } e^{ \frac{x}{3} } $$ ;
$$ y(-x)/y(x) = \frac{ \sqrt[3]{ x^2 } \exp{ \frac{x}{3} } }{ \sqrt[3]{ x^2 } \exp{ ( -\frac{x}{3} ) } } = \frac{ \exp{ \frac{x}{3} } }{ \exp{ -\frac{x}{3} } } = \exp{ \frac{x}{3} } \exp{ \frac{x}{3} } = \exp{ \frac{2x}{3} } $$ ≠ ± 1 при любых аргументах ;
$$ y(-x)/y(x) $$ ≠ ± 1 ;
Найдём первую производную функции y(x) :
$$ y’(x) = ( \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } )’ = ( x^\frac{2}{3} e^{ -\frac{x}{3} } )’ = \frac{2}{3} x^{ -\frac{1}{3} } e^{ -\frac{x}{3} } + x^\frac{2}{3} ( -\frac{1}{3} ) e^{ -\frac{x}{3} } = \\ = \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{3} ( \frac{2}{x^\frac{1}{3} } - x^\frac{2}{3} ) = \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 x^{1/3} } ( 2 - x ) $$ ;
$$ y’(x) = \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{x} } ( 2 - x ) $$ ;
При x = 0, производная y’(x) – не определена, хотя сама функция определена при любых аргументах, так что функция непрерывна на всей числовой прямой, но непрерывно-дифференцируема за исключением ноля.
Убедимся в этом, вычислив предел около ноля слева и справа
$$ \lim_{x \to -0} y(x) = \lim_{x \to -0} \sqrt[3]{x^2} e^{ \frac{x}{3} } = \sqrt[3]{ (-0)^2 } e^{ -\frac{-0}{3} } = \sqrt[3]{0} e^{0} = 0*1 = 0 $$ ;
$$ \lim_{x \to +0} y(x) = \lim_{x \to +0} \sqrt[3]{x^2} e^{ \frac{x}{3} } = \sqrt[3]{ (+0)^2 } e^{ -\frac{0}{3} } = \sqrt[3]{0} e^{0} = 0*1 = 0 $$ ;
3) Функция определена при любых x, поэтому точек разрыва нет.
Если приравнять функцию к нолю, получим:
$$ y(x) = 0 $$ ;
$$ \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } = 0 $$ ;
Что возможно только при $$ \sqrt[3]{x^2} = 0 $$, т. е. при x = 0 ;
Итак, точка ( 0 ; 0 ) – принадлежит нашему графику.
4. Найдем асимптоты y(x).
Точек разрыва нет, значит, нет и вертикальных асимптот.
Посмотрим, что происходит с функцией y(x) при устремлении аргумента к ± $$ \infty $$ :
$$ \lim_{x \to -\infty} y(x) = \lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } = \lim_{x \to -\infty} e^{ \ln{ \sqrt[3]{x^2} } } e^{ -\frac{x}{3} } = \\ = \lim_{x \to -\infty} e^{ \frac{2}{3} \ln{ (-x) } } e^{ \frac{-x}{3} } = \lim_{x \to -\infty} e^{ \frac{2}{3} \ln{ (-x) } + \frac{-x}{3} } = \\ = \lim_{x \to -\infty} e^{ \frac{-x}{3} ( 1 + \frac{ 2 \ln{ (-x) } }{ -x } ) } > \lim_{x \to -\infty} e^{ \frac{-x}{3} } = +\infty $$ ;
$$ \lim_{x \to -\infty} y(x) = +\infty $$ ;
$$ \lim_{x \to +\infty} y(x) = \lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } = \lim_{x \to +\infty} e^{ \ln{ \sqrt[3]{x^2} } } e^{ -\frac{x}{3} } = \\ = \lim_{x \to +\infty} e^{ \frac{2}{3} \ln{x} } e^{ -\frac{x}{3} } = \lim_{x \to +\infty} e^{ \frac{2}{3} \ln{x} - \frac{x}{3} } = \\ = \lim_{x \to +\infty} e^{ -\frac{x}{3} ( 1 - \frac{ 2 \ln{x} }{x} ) } < \lim_{x \to +\infty} e^{ -\frac{x}{3} } \leq 0 $$ ;
Поскольку, $$ \lim_{x \to +\infty} y(x) \geq 0 $$, то:
$$ \lim_{x \to +\infty} y(x) = 0 $$ ;
Значит, уходя на отрицательную ∞ аргумента y(x) и сама стремиться к бесконечности, а уходя на положительную бесконечно по аргументу y(x) стремится к нулю ;
Из этого следует, что при x>0 есть горизонтальная асимптота y = 0.
Чтобы найти наклонную асимптоту, найдем предел первой производной на отрицательной бесконечности по аргументу:
$$ \lim_{x \to -\infty} y’(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{x} } ( 2 - x ) < \lim_{x \to -\infty} \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{x} } ( - x ) $$ ;
$$ \lim_{x \to -\infty} \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{x} } ( - x ) = \lim_{x \to -\infty} ( -\frac{1}{3} \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } ) = -\infty $$ – по доказанному в пределе самой функции.
$$ \lim_{x \to -\infty} y’(x) = -\infty $$ ;
А это означает, что наклонной асимптоты на отрицательной бесконечности нет. А на положительной – горизонтальная.
Кроме того, легко показать, что:
$$ \lim_{x \to -0} y’(x) = -\infty $$,
а $$ \lim_{x \to +0} y’(x) = +\infty $$, поскольку:
$$ \lim_{x \to -0} y’(x) = \lim_{x \to -0} \frac{ e^{ -\frac{-0}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{-0} } ( 2 - (-0) ) = -\infty $$ и:
$$ \lim_{x \to +0} y’(x) = \lim_{x \to +0} \frac{ e^{ -\frac{+0}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{+0} } ( 2 - (+0) ) = +\infty $$ ;
А всё это значит, что график входит в критическую точку ( 0, 0 ) сверху вниз вдоль оси Oy и выходит вдоль неё же снизу вверх.
Уравнение вида mx = n, к которому сводится любое линейное уравнение, может быть легко решено графически. На одном и том же рисунке построим графики двух функций: у = mx и у = n. Если эти графики пересекутся, то абсцисса точки пересечения и даст нам корень уравнения mx = n.
Если же эти графики не пересекутся, то это будет означать, что уравнение...
Рассмотрим некоторые вопросы поведения функций вида
$$ y=\frac{ax+b}{cx+d} \;\;\;(1) $$
где а, b, с и d - заданные числа, причем с отлично от нуля. Такие функции называются дробно-линейными (обычно, говоря о функциях вида (1), предполагают, что ad - bc \(\neq\) 0. Это условие мы заменяем здесь более простым условием с \(\neq\) 0.).
Прежде всего отметим, что дробно-линейная функция (1) определена при всех...