область определения функции - страница 8

Построить график функции y = (2x^2+1)/x^2 по следующему алгоритму:
1) Область определения функции
2) Непрерывность функции и её четность(lim y =? при x-> +- ∞)
3) Пересечение с осями координат и точки разрыва (найти точки разрыва с помощью пределов)
4) Асимптоты (вертикальные и наклонные, найти их через пределы)
5) Возрастание, убывание, экстремумы функции(через достаточные условия)
6) Выпуклость, вогнутость и перегибы графика
7) Построить сам график со всеми асимптотами

Решение: Дано: $$ y = \frac{2x^2+1}{x^2} $$ ;
Исследовать функцию и построить график.
Решение:
1) Функция не определена при обращении в ноль знаменателя, т. е. x ≠ 0.
D(f) ≡ R \ {0} ≡ $$ ( -\infty ; 0 )U( 0 ; +\infty ) $$ ;
2) В функции встречаются только чётные степени аргумента, а значит она чётная. Докажем это:
$$ y(-x) = \frac{ 2(-x)^2 + 1 }{ (-x)^2 } = \frac{2x^2+1}{x^2} = y(x) $$ ;
Найдём первую производную функции y(x) :
$$ y’(x) = ( \frac{2x^2+1}{x^2} )’ = ( \frac{ 2x^2 }{x^2} + \frac{1}{x^2} )’ = ( 2 + x^{-2} )’ = -2 x^{-3} $$ ;
$$ y’(x) = -\frac{2}{x^3} $$ ;
При x = 0, производная y’(x) – не определена, как и сама функция, при всех остальных значениях аргумента функция и её первая производная определены и конечны, а значит функция непрерывная на всей области определения D(f) – на всей числовой прямой, кроме ноля.
3) Функция не определена при x = 0. Это точка разрыва. При этом её значение стремится к положительной бесконечности, что легко доказать:
$$ \lim_{x \to 0} y(x) = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2+1}{x^2} = \lim_{x \to 0} 2 + \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = 2 + \infty = +\infty $$ ;
Если приравнять функцию к нолю, получим:
$$ y(x) = 0 $$ ;
$$ \frac{2x^2+1}{x^2} = 0 $$ ;
$$ 2 + \frac{1}{x^2} = 0 $$ ;
$$ ( \frac{1}{x} )^2 = -2 $$ – что невозможно ни при каких действительных значениях аргумента;
Значит, никаких пересечений графика с осями координат нет.
4. Найдем асимптоты y(x).
По найденному в (3) пределу, ясно, что линия x = 0 – является вертикальной двухсторонней асимптотой графика функции y(x).
Посмотрим, что происходит с функцией y(x) при устремлении аргумента к ± $$ \infty $$ :
$$ \lim_{x \to \infty} y(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+1}{x^2} = \lim_{x \to \infty} 2 + \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 2 + 0 = 2 $$ ;
Значит, уходя на ∞ обоих знаков график функции y(x) имеет двунаправленную горизонтальную асимптоту y = 2 ;
Наклонных асимптот нет, и не может быть, так как есть горизонтальные с обеих сторон.
5. Первая производная функции y(x) :
$$ y’(x) = -\frac{2}{x^3} $$ – положительна при отрицательных значениях аргумента и отрицательна при положительных х ;
Значит, функция возрастает на $$ ( -\infty ; 0 ) $$ и убывает на $$ ( 0 ; +\infty ) $$ ;
Уравнение $$ y’(x) = 0 $$ т. е. $$ y’(x) = -\frac{2}{x^3} $$ – не имеет решений, а значит, у функции нет экстремумов, т. е. конечных локальных минимумов или максимумов.
6. Найдём вторую производную функции y(x) :
$$ y’’(x) = (y’(x))’ = ( -\frac{2}{x^3} )’ = -2 ( x^{-3} )’ = -2*(-3)*x^{-4} $$ ;
$$ y’’(x) = \frac{6}{x^4} > 0 $$ при любых значениях аргумента ;
В силу общей положительности второй производной – график функции всегда «улыбается», т. е. он вогнут, или, говоря иначе: он закручивается против часовой стрелки на всём своём протяжении при проходе по числовой оси аргументов слева направо.
Поскольку выгнутость повсеместна, то и точек перегиба не может быть. И их нет, соответственно.
7.
При х = ± 1 : : : y(x) = 3 ;
При х = ± 2 : : : y(x) = 2.25 ;
При х = ± 1/2 : : : y(x) = 6 ;
Строим график:

$Дано y frac x x Исследовать функцию и построить график.Решение Функция не определена при обращении в ноль знаменателя т. е. x .D f R - infty U infty В функции встречаются тол...$
Построить график функции y = (2x^2+1)/x^2 по следующему алгоритму:
1) Область определения функции
2) Непрерывность функции и её четность(lim y =? при x-> +- ∞)
3) Пересечение с осями координат и точки разрыва (найти точки разрыва с помощью пределов)
4) Асимптоты (вертикальные и наклонные, найти их через пределы)
5) Возрастание, убывание, экстремумы функции(через достаточные условия)
6) Выпуклость, вогнутость и перегибы графика
7) Построить сам график со всеми асимптотами

Решение: Дано: $$ y = \frac{2x^2+1}{x^2} $$ ;
Исследовать функцию и построить график.
Решение:
1) Функция не определена при обращении в ноль знаменателя, т. е. x ≠ 0.
D(f) ≡ R \ {0} ≡ $$ ( -\infty ; 0 )U( 0 ; +\infty ) $$ ;
2) В функции встречаются только чётные степени аргумента, а значит она чётная. Докажем это:
$$ y(-x) = \frac{ 2(-x)^2 + 1 }{ (-x)^2 } = \frac{2x^2+1}{x^2} = y(x) $$ ;
Найдём первую производную функции y(x) :
$$ y’(x) = ( \frac{2x^2+1}{x^2} )’ = ( \frac{ 2x^2 }{x^2} + \frac{1}{x^2} )’ = ( 2 + x^{-2} )’ = -2 x^{-3} $$ ;
$$ y’(x) = -\frac{2}{x^3} $$ ;
При x = 0, производная y’(x) – не определена, как и сама функция, при всех остальных значениях аргумента функция и её первая производная определены и конечны, а значит функция непрерывная на всей области определения D(f) – на всей числовой прямой, кроме ноля.
3) Функция не определена при x = 0. Это точка разрыва. При этом её значение стремится к положительной бесконечности, что легко доказать:
$$ \lim_{x \to 0} y(x) = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2+1}{x^2} = \lim_{x \to 0} 2 + \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = 2 + \infty = +\infty $$ ;
Если приравнять функцию к нолю, получим:
$$ y(x) = 0 $$ ;
$$ \frac{2x^2+1}{x^2} = 0 $$ ;
$$ 2 + \frac{1}{x^2} = 0 $$ ;
$$ ( \frac{1}{x} )^2 = -2 $$ – что невозможно ни при каких действительных значениях аргумента;
Значит, никаких пересечений графика с осями координат нет.
4. Найдем асимптоты y(x).
По найденному в (3) пределу, ясно, что линия x = 0 – является вертикальной двухсторонней асимптотой графика функции y(x).
Посмотрим, что происходит с функцией y(x) при устремлении аргумента к ± $$ \infty $$ :
$$ \lim_{x \to \infty} y(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+1}{x^2} = \lim_{x \to \infty} 2 + \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 2 + 0 = 2 $$ ;
Значит, уходя на ∞ обоих знаков график функции y(x) имеет двунаправленную горизонтальную асимптоту y = 2 ;
Наклонных асимптот нет, и не может быть, так как есть горизонтальные с обеих сторон.
5. Первая производная функции y(x) :
$$ y’(x) = -\frac{2}{x^3} $$ – положительна при отрицательных значениях аргумента и отрицательна при положительных х ;
Значит, функция возрастает на $$ ( -\infty ; 0 ) $$ и убывает на $$ ( 0 ; +\infty ) $$ ;
Уравнение $$ y’(x) = 0 $$ т. е. $$ y’(x) = -\frac{2}{x^3} $$ – не имеет решений, а значит, у функции нет экстремумов, т. е. конечных локальных минимумов или максимумов.
6. Найдём вторую производную функции y(x) :
$$ y’’(x) = (y’(x))’ = ( -\frac{2}{x^3} )’ = -2 ( x^{-3} )’ = -2*(-3)*x^{-4} $$ ;
$$ y’’(x) = \frac{6}{x^4} > 0 $$ при любых значениях аргумента ;
В силу общей положительности второй производной – график функции всегда «улыбается», т. е. он вогнут, или, говоря иначе: он закручивается против часовой стрелки на всём своём протяжении при проходе по числовой оси аргументов слева направо.
Поскольку выгнутость повсеместна, то и точек перегиба не может быть. И их нет, соответственно.
7.
При х = ± 1 : : : y(x) = 3 ;
При х = ± 2 : : : y(x) = 2.25 ;
При х = ± 1/2 : : : y(x) = 6 ;
Строим график:

$Дано y frac x x Исследовать функцию и построить график.Решение Функция не определена при обращении в ноль знаменателя т. е. x .D f R - infty U infty В функции встречаются тол...$
Y=x^2+3/x^2+1 1) найти область определения 2) найти точки пересечения графика с осями координат( если это возможно) 3) определить чётность и нечётность функции 4) определить промежутки монотонности 5) экстремумы функции 6) найти интервалы выпуклости и точки перегиба 7) график

Решение: Y=(x²+3)/(x²+1)
D(y)∈(-∞;∞)
y(-x)=(x²+3)/(x²+1) четная
x=0 y=3
Точка пересечения с осями (0;3)
y’=[2x(x²+1)-2x(x²+3)]/(x²+1)²=2x(x²+1-x²-3)/(x²+1)²=-4x/(x²+1)²=0
x=0
+ _
-(0)-
возр max убыв
ymax=3
y``=[-4(x²+1)²+4x*2x*2(x²+1)]/(x²+1)^4=-4(x²+1)(x²+1-16x²)/(x²+1)^4=4(15x²-1)/(x²+1)³=0
15x²-1=0
15x²=1
x²=1/15
x=-1/√15≈-0,3
x=1/√15≈0,3
y(-1/√15)=y(1/√15)=(1/15+3):(1/15+1)=46/15*15/16=46/16=23/8≈3
(-1/√15;23/8) U (1/√15;23/8)-точки перегиба
+ _ +
-(-1/√15)-(1/√15)-
вог вниз выпук вверх вогн вниз
Y=x^3-9/2*x^2+6x-2 найти
1) область определения
2) выяснить не является ли функция четной, нечетной или периодичной,
3) найти точки пересечения графика с осями координат если они есть
4) найти асимптоты графика функции,
5) найти промежутки монотонности и ее экстремумы,
6) найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
7) построить график используя полученные результаты исследования

Решение: ДАНО
Y = x³ - 4.5*x²+6x-2.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ.
1. Область определения - R - все действительные.
Или Х∈(-∞,+∞) - непрерывная. Разрывов нет.
2. Пересечение с осью абсцисс - ось Х -
х1 = 1/2 и х2 = 2
3. Пересечение с осью ординат - ось У - У(0) = 2.
4. Поведение в бесконечности.
Y(-∞) = -∞, Y(+∞) = +∞.
5. Исследование на четность.
Y(-x) ≠ Y(x) - функция ни четная ни нечетная.
6. Производная функции
Y’ = 3x²-9x+6 = 3*(x-1)(x-2). Корни - х1= 1 и х2 = 2.
7. Монотонность.
Возрастает - Х∈(-∞,1]
Максимум - Y(1) = 1/2 = 0.5
Убывает - Х∈[-1.2]
Минимум - Y(2) = 0
Возрастает - Х∈[2.+∞)
8. Вторая производная
Y" = 6x - 9
9. Точка перегиба - Y"=0 при X= 2/3.
10. Построение графика - .
Исследовать функцию y=x^3+3x по плану 1. Найти область определения функции D(y)
2. Определить четность-нечетность функции
3. Нули функции(точки пересечения графика с осями координат)
4. Промежутки монотоности
5. Точки экстремума
6. Построение графика функции, дополнительные точки

Решение: 1.D(y)=(-∞;+∞)
2. y(x)=3x-x^3
y(-x)=x^3-3x =>> функция нечетная
3. ось абсцисс - 3x-x^3=0 |*(-1)
x^3-3x=0
x(x^2-3)=0
x=0 x=+-sqrt(3)
ось ординат - x=0 y=0
4. x=0 y=0
5.y=x^3-3x
y’=3x^2-3
3x^2-3=0
x^2=1
x=+-1
Возрастает от (-∞;-1)(1;+∞)
Убывает на промежутке (-1;1)
5. точка максимума- х=0
точка минимума- х=2/3
6.
Построить график функции $y = \frac{2x^2+1}{x^2}$ по следующему алгоритму:
1) Область определения функции
2) Непрерывность функции и её четность(lim y =? при x-> +- ∞)
3) Пересечение с осями координат и точки разрыва (найти точки разрыва с помощью пределов)
4) Асимптоты (вертикальные и наклонные, найти их через пределы)
5) Возрастание, убывание, экстремумы функции(через достаточные условия)
6) Выпуклость, вогнутость и перегибы графика
7) Построить сам график со всеми асимптотами

Решение: 1) Функция не определена при обращении в ноль знаменателя, т. е. x ≠ 0.
D(f) ≡ R \ {0} ≡ $$ ( -\infty ; 0 )U( 0 ; +\infty ) $$ ;
2) В функции встречаются только чётные степени аргумента, а значит она чётная. Докажем это:
$$ y(-x) = \frac{ 2(-x)^2 + 1 }{ (-x)^2 } = \frac{2x^2+1}{x^2} = y(x) $$ ;
Найдём первую производную функции y(x) :
$$ y’(x) = ( \frac{2x^2+1}{x^2} )’ = ( \frac{ 2x^2 }{x^2} + \frac{1}{x^2} )’ = ( 2 + x^{-2} )’ = -2 x^{-3} \\ y’(x) = -\frac{2}{x^3} $$
При x = 0, производная y’(x) – не определена, как и сама функция, при всех остальных значениях аргумента функция и её первая производная определены и конечны, а значит функция непрерывная на всей области определения D(f) – на всей числовой прямой, кроме ноля.
3) Функция не определена при x = 0. Это точка разрыва. При этом её значение стремится к положительной бесконечности, что легко доказать:
$$ \lim_{x \to 0} y(x) = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2+1}{x^2} = \lim_{x \to 0} 2 + \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = 2 + \infty = +\infty $$ ;
Если приравнять функцию к нолю, получим:
$$ y(x) = 0 \\ \frac{2x^2+1}{x^2} = 0 \\ 2 + \frac{1}{x^2} = 0 \\ ( \frac{1}{x} )^2 = -2 $$ – что невозможно ни при каких действительных значениях аргумента;
Значит, никаких пересечений графика с осями координат нет.
4. Найдем асимптоты y(x).
По найденному в (3) пределу, ясно, что линия x = 0 – является вертикальной двухсторонней асимптотой графика функции y(x).
Посмотрим, что происходит с функцией y(x) при устремлении аргумента $к ± \infty$ :
$$ \lim_{x \to \infty} y(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+1}{x^2} = \lim_{x \to \infty} 2 + \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 2 + 0 = 2 $$ ;
Значит, уходя на ∞ обоих знаков график функции y(x) имеет двунаправленную горизонтальную асимптоту y = 2 ;
Наклонных асимптот нет, и не может быть, так как есть горизонтальные с обеих сторон.
5. Первая производная функции y(x) :
$$ y’(x) = -\frac{2}{x^3} $$ – положительна при отрицательных значениях аргумента и отрицательна при положительных х ;
Значит, функция возрастает на $$ ( -\infty ; 0 ) $$ и убывает на $$ ( 0 ; +\infty ) $$ ;
Уравнение $$ y’(x) = 0 $$ т. е. $$ y’(x) = -\frac{2}{x^3} $$ – не имеет решений, а значит, у функции нет экстремумов, т. е. конечных локальных минимумов или максимумов.
6. Найдём вторую производную функции y(x) :
$$ y’’(x) = (y’(x))’ = ( -\frac{2}{x^3} )’ = -2 ( x^{-3} )’ = -2*(-3)*x^{-4} $$ ;
$$ y’’(x) = \frac{6}{x^4} > 0 $$ при любых значениях аргумента ;
В силу общей положительности второй производной – график функции всегда «улыбается», т. е. он вогнут, или, говоря иначе: он закручивается против часовой стрелки на всём своём протяжении при проходе по числовой оси аргументов слева направо.
Поскольку выгнутость повсеместна, то и точек перегиба не может быть. И их нет, соответственно.
7.
При х = ± 1 : : : y(x) = 3 ;
При х = ± 2 : : : y(x) = 3.25 ;
При х = ± 1/2 : : : y(x) = 6 ;
Строим график:
1. Решите систему неравенств: 3х-5>0 и х/6< или равно 7
2. Даны точки А(7;-5) В(-3;11). Найдите координаты точки С-середины отрезка АВ
3. В параллелограмме АВСД разность углов В и С равна 60 градусов найдите углы параллелограмма
4. Основание трапеции АВСД равны 9см и 6см найдите среднюю линию трапеции
5. Боковые стороны равнобедренного треугольника АВС равны 13 см, а медиана, проведённая к основанию, равна 12 см. Найдите основание треугольника АВС

Решение: 1. $$ \left \{ {{3x>5} \atop {x \leq 42}} \right. \\ \left \{ {{x> \frac{5}{3} } \atop {x \leq 42}} \right. \\(\frac{5}{3}; 42]$$ 2. x = (7-3)/2 = 2; y = (-5-11)/2 = -8. C(2; -8)
3. по условию В - С = 60, по свойству углов параллелограмма В + С = 180. Решаем систему методом сложения: 2В = 240, В = 120. С = 120-60 = 60.
Ответ: 120 и 60 градусов
№1 3х-5>0
3x>5
x>1.6
x/6< или= 7
x< или=42
№2 хс= (7-3):2=2
ус=(-5+11):2=3
С(2;3)
№3 №4 МК=1:2(6+9)=7,5
№5 В треугольнике АВН: < Н=90 АВ=13 ВН=12
по теореме пифагора
АН^2=AB^2-BH^2
АН=5
АН=НС=5
АС=10
$ y= \frac{-2 x^{2} }{x-3} $
а) найти область определения функции
б) найти точки пересечения графика функции с координатными осями
в) исследовать функцию на парность, не парность
г) исследовать функцию на непрерывность, определить характер точек разрыва
д) исследовать функцию на наличие асимптот
е) исследовать функцию на экстремумы
ё) исследовать функцию на выпуклость, вогнутость, наличие точек перегиба
ж) составить таблицу поведения функции
з) построить график функции

Решение: Y-2x²/(3-x)
D(y)∈(-∞;3) U (3;∞)
x=0 y=0 (0;0)-точка пересечения с осями
y(-x)=2x²/(3=x) ни четная, ни нечетная
y’=(12x-4x²+2x²)/(3-x)²=(12x-2x²)/(3-x)²=0
2x(6-x)=0
x=0 U x=6
- + + -
-(0)-(3)-(6)-
убыв min возр возр max убыв
miny0)=0
maxy(6)=-24
y’’=(108-72x+12x²-36x+24x²-4x³+72-12x²-24x-12х²+4x³)/(3-x)^4=
=(24х²-132х+180)/(3-х)^4=0
12(2x²-11x+15)=0
D=121-120=1
x1=(11-1)/4=2,5 U x2=(11+1)/4=3
y(2,5)=12,5/0,5=25
y(3) не сущ
(2,5;25)-точка перегиба
+ -
-(2,5)-(3)-
вогн вниз выпук вверх выпукл вверх
lim2x²/(3-x)=∞ горизонтальной асимптоты нет
Вертикальная асиптота х=3
k=lim2x²/x(3-x)=-2
b=lim(2x²/(3-x)+2x)=lim(2x²+6x-2x²)/(3-x)=lim6x/(3-x)=-6
y=-2x-6 наклонная асимптота
y=2x наклонная асимптота
y=x3-3x2-1.
Для данной функции y=f(x) найдите:
a) Область определения функции D(f).
b) Производную и критические точки.
c) Промежутки монотонности.
d) Точки экстремума и экстремумы функции.
e) Точки пересечения графика функции с осями координат и дополнительные точки.
f) Постройте график функции.

Решение: Дана функция y=x3-3x2-1.
Для данной функции y=f(x) найдите:
a) Область определения функции D(f) = ∈ R.
b) Производную и критические точки.
y’ = 3x² - 6x = 3x(x - 2).
Отсюда получаем критические точки, при которых производная равна нулю: х = 0 и х = 2.
c) Промежутки монотонности.
Находим значения производной вблизи критических точек.
х = -1, y’ = 3*1 - 6*(-1) = 3+6 = 9
x = 1, y’ = 3*1 - 6*1= 3-6 = -3.
х = 3, y’ = 3*9 - 6*3= 27-18 = 9.
На промежутке (-∞;0] и [2;+∞), где производная положительна - там функция возрастает, где производная отрицательна [0;2] - функция убывает.
d) Точки экстремума и экстремумы функции.
В точках, где производная меняет знак с + на - там максимум функции
(х=0; у=-1), где меняет знак с - на + (х=2; у=-5), там минимум.
e) Точки пересечения графика функции с осями координат и дополнительные точки.
х = 0, у = -1.
у = 0, х³ - 3х² - 1 = 0.
Решение кубического уравнения даёт один реальный корень: х ≈ 3,1038.
Дополнительная точка - точка перегиба графика.
Находим вторую производную: y’’ = 6x - 6 = 6(x - 1) и приравниваем нулю.
Получаем х = 1 это точка перегиба графика.
f) Постройте график функции - он дан .
y=x3-3x2-1.
Для данной функции y=f(x) найдите:
a) Область определения функции D(f).
b) Производную и критические точки.
c) Промежутки монотонности.
d) Точки экстремума и экстремумы функции.
e) Точки пересечения графика функции с осями координат и дополнительные точки.
f) Постройте график функции.

Решение: ДАНО
Y= x² - 3x - 1
ИССЛЕДОВАНИЕ
1. Область определения - непрерывность - разрывов нет.
Х∈(-∞,+∞) или Х∈R.
2. Пересечение с осью Х ~ 3.2 (сложная формула) - один корень.
3. Пересечение с осью У - У(0) = -1
4. Поведение на бесконечности
Y(-∞) = -∞, Y(+∞) = +∞
5. Проверка на четность.
Y(x) = x³-3x²-1
Y(-x) = -x³-3x²-1
Y(-x) ≠ Y(x) - функция не четная ни нечетная.
6. Производная функции.
Y’ = -3x²-6x =-3*x*(x+2). Корни - х1 = 0, х2 = 2.
7. Локальные экстремумы - в корнях производной.
Ymax(0) = -1 - максимум
Ymin(2) = -5 - минимум.
8. Монотонность функции.
Возрастает - X∈(-∞,0]∪[2,+∞)
Убывает - X∈[0,2].
9. Вторая производная.
Y" = -6x-6 = -6*(x+1).
10. Точка перегиба - Y"(x) = 0, х = 1, у = -3.
Выпуклая - "горка" - X∈(-∞,1]
Вогнутая - "ложка" - X∈[1,+∞).
11. Дополнительные точки.
Y(-2) = -22 и Y(-1) = 6 и Y(0) = -2 и Y(2) = -6 и Y(3) = -2 и Y(4) = 14.
12. График прилагается.

<< < 6 78 9 10 > >>