многочлен »
разложить многочлен на множители - страница 12
Задание по алгебре 7 класс, разложить многочлен на множители: а3+6а2+12а+7
Решение: Если данное выражение имеет при целочисленьом разложении(расмотрим как уравнение, приравняв к 0, то-если есть целые корни, то они из сомножителей свободного члена - числа 7, это теорема Виета для кубичаских уравнений )
пусть $$ a_1,\ a_2,\ a_3 $$ ? тогда имеем
$$ \left \{ {{a_1+a_2+a_3=-6} \atop {a_1\cdot a_2+a_1\cdot a_3+a_2\cdot a_3=12}}\atop{a_1\cdot a_2\cdot a_3=-7} \right. $$
целыми множителями числа -7, есть 4 числа $$ \pm1;\ \pm7;\\ $$
подставим-1
$$ (-1)^3+6\cdot(-1)^2+12\cdot(-1)+7=-1+6\cdot1-12+7=\\ =-1+6-12+7=13-13=0;\\ x_1=-1;\\ a^3+a^2+5a^2+5a+7x+7=0;\\ a^2\cdot(a+1)+5a\cdot(a+1)+7(a+1)=0;\\ (a+1)\cdot(a^2+5a+7)=0;\\ $$
далее квадратный множитель через дискриминант
$$ a^2+5a+7=0;\\ D=25-42=-17<0;\ a_2\ a_3=\varnothing $$
тогда имеем;
$$ а^3+6a^2+12^а+7=(a+1)\cdot(a^2+5a+7) $$
Разложить многочлен на множители:
1)-a^2+2ab-b^2;
2) 1/3х^2+2/3х+1/3;
3) ax-2a^2x^2+a^3x^3;
4) 4-x^2-2xy-y^2;
5) m^6-1+2m^2-m^4;
6) (2+m)-(2+m)^2-(2+m)^3;
7) (m-n)p^2-2p(m-n)+(m-n);
8) (x-y)z^2+2z(y-x)+(x-y);
9) x(x-y)+y(y-x)-y^2;
10) 16+2(m+n-2)-n(m+n-2)-m(m+n-2);
11) (3-x)^2-(x+4)^2=7;
12) (1-3x)^2-12=(3x+5)^2;
13) (3-x^2)^2-(5-x^2)^2=0
Решение: 1) -(a^2-2ab+b^2) = -(a-b)^2=-(a-b)(a-b)
2)(1+2x+x^2(приводим к общему знаменателю))/3x^2=((x+1)(x+1))/3x^2
3)ax(1-2ax+a^2x^2)=ax(1-a^2x^2)(1-a^2x^2)
4)4-(x^2+2xy+y^2) = 4-(x+y)^2=(2-x-y)(2+x+y)
5)
6)
7)(m-n)(p^2-2p+1)=(m-n)(p-1)(p-1)
8)(x-y)z^2 - 2z(x-y) + (x-y) = (x-y)(z^2-2z+1)=(x-y)(z-1)(z-1)
9)(x-y)(x-y) - y^2=(x-y)^2 - y^2=(x-y-y)(x-y+y)=x(x-2y)
10)16+(m+n-2)(2-n-m)=16-(m+n-2)^2=(4-m-n+2)(4+m-n-2)=(6-m-n)(2+m-n)
11)(3-x-x-4)(3-x+x+4)=7
-(2x+1)*7=7
2x+1=-1
2x+2=0
2(x+1) = 0
12)1-6x+9x^2-12=9x^2+30x+25
-11-6x-30x-25=0
-36x-36=0
-36(x+1) = 0
13)(3-x^2-5+x^2)(3-x^2+5-x^2) = 0
-2(8-2x^2) = 0
-4(4-x^2) = 0
-4(2-x)(2+x) = 01) вынести общий множитель за скобки \(x^2 + 5xy\)
2) решить уравнение \(7a^6 - 9a^4\)
3) разложить многочлен на множители a(x-y) - (x-y)
Решение: 1) х²+5ху=х(х+5у)
7а⁶-9а⁴=а⁴(7а²-9)
а(х-у)-(х-у)=(х-у)(а-1)
2) х³+25=0
х³=-25
х=-∛25
3)(у-3х)²+(х²+у)(3х-у)=(зх-у)²+(х²+у)(3х-у)=(3х-у)(3х-у+х²+у)=(3х-у)(х²+3х)=
=х(3х-у)(х+3)
1) $$ x^2+5xy=x(x+5y) \\ 7a^6-9a^4=a^4(7a^2-9) \\ a(x-y)-(x-y)=(x-y)(a-1) $$
2) $$ x^3+25=0;x^3=-25;x=- \sqrt[3]{25} $$
3) $$ (y-3x)^2+(x^2+y)(3x-y)=(3x-y)^2+(x^2+y)(3x-y)= \\ =(3x-y)(3x-y+x^2+y)=x(3x-y)(3+x). $$
Разложить многочлен x^3+3x^2-x-3 на множители
Решение: Воспользуемся способом группировки(х3+3x^2)-(X+3)
Вынесем из первой скобки X^2
X^2(x+3)-(X+3)
скобки получили одинаковые
значит мы складываем или вычитаем те числа которые стоят перед одинаковыми скобками, но сами скобки не меняем то есть
(X^2-1)(x+3)
Разложите на множители многочлен:
b^4-b^2-2b-1
Решение: $$ b^4-b^2-2b-1=b^4-(b^2+2b+1)=b^4-(b+1)^2=(b^2)^2-\\ \\ -(b+1)^2=(b^2-(b+1))(b^2+(b+1))=(b^2-b-1)(b^2+b+1) $$ Данное выражение раскладывается на множители следующим образом:
b^4-b^2-2b-1=b^4-(b^2+2b+1)=b^4-(b+1)^2=(b^2-(b+1))*(b^2+(b+1))=(b^2-b-1)(b^2+b+1)
Первую скобку можно также разложить на множители.
Однако в ее разложении будут выражения содержащие корень. Это не совсем удобно поэтому ее раскладывать не стоит.
Но если тебе нужно полное разложение на множители то эта скобка раскладывается на множители следующим образом:
Так как она представляет собой квадратный многочлен, то пользуясь формулой разложения квадратного многочлена на множители получим:
b^2-b-1=(b минус дробь, где числитель равен 1 минус квадратный корень из 5, а знаменатель равен 2) *(b плюс дробь, у которой числитель равен 1 плюс квадратный корень из 5, а знаменатель равен 2)
Выражение b^2+b+1 в действительных числах не раскладывается на множители, но в области комплексных чисел раскладывается на множители. Выражение получается аналогичное тому что я описал выше для первой скобки, только перед каждой скобкой этого разложения нужно поставить число i, являющееся комплексным.
Но если этого ничего не нужно, то вот стандартный ответ:
b^4-b^2-2b-1 = (b^2-b-1)(b^2+b+1)
