представьте в виде многочлена - страница 3
1. Вычислите наиболее рациональным способом:
а) (71)^2
б) 11^2+22*19+19^2
2. Представьте в виде многочлена выражение:
а) (5х+2y)^2+(5x-2y)^2
б) (a+2b)^2-(a+b)^2
3. Разложите на множители
4x^2-4x-4y-y^2-3
Решение: 1. a) (71)^2=(70+1)^2=(70)^2+2*70*1+1^2=4900+140+1=5041б) 11^2+22*19+19^2=11^2+2*11*19+19^2=(11+19)^2=(30)^2=900
2. а) (5х+2y)^2+(5x-2y)^2=25х^2+20xy+4y^2+25x^2-20xy+4y^2=50x^2+8y^2
б) (a+2b)^2-(a+b)^2=a^2+4ab+4b^2-a^2-2ab-b^2=2ab+3b^2
3. 4x^2-4x-4y-y^2-3=(4x^2-4x+1)-(4y+y^2+4)=(2x-1)^2-(y+2)^2=(2x-1+y+2)(2x-1-y-2)=
=(2x+y+1)(2x-y-3)
1. Вычислите наиболее рациональным способом:
a) 71²=(70+1)²=70²+2·70·1+1²=4 900+140+1=5 041
б) 11²+22·19+19²=11²+2·11·19+19²=(11+19)²=30²=900
в обоих случаях использовали формулу сокращённого умножения
(a+b)²=a²+2ab+b²
2. Представьте в виде многочлена выражение:
а) (5х+2y)²+(5x-2y)²=(25х²+20xy+4y²)+(25x²-20xy+4y²)=
25х²+20xy+4y²+25x²-20xy+4y²=(25х²+25x²)+(20xy-20xy)+(4y²+4y²)=50x²+8y²
б) (a+2b)²-(a+b)²=(a²+4ab+4b²)-(а²+2аb+b²)=a²+4ab+4b²-a²-2ab-b²=
(a²-a²)+(4ab-2ab)+(4b²-b²)=2ab+3b²
в обоих случаях использовали формулу сокращённого умножения
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²
3. Разложите на множители
4x²-4x-4y-y²-3=(4x²-4x+1)-(у²+4y+4)=(2x-1)²-(y+2)²=((2x-1)+(y+2))((2x-1)-(y+2))=
(2x-1+y+2)(2x-1-y-2)=(2x+y+(-1+2))(2x-y+(-1-2))=(2x+y+1)(2x-y-3)
1. Вычислите наиболее рациональным способом:
а) (71)^2
б) 11^2+22*19+19^2
2. Представьте в виде многочлена выражение:
а) (5х+2y)^2+(5x-2y)^2
б) (a+2b)^2-(a+b)^2
3. Разложите на множители
4x^2-4x-4y-y^2-3
Решение: 1. Вычислите наиболее рациональным способом:a) 71²=(70+1)²=70²+2·70·1+1²=4 900+140+1=5 041
б) 11²+22·19+19²=11²+2·11·19+19²=(11+19)²=30²=900
в обоих случаях использовали формулу сокращённого умножения
(a+b)2=a2+2ab+b2
2. Представьте в виде многочлена выражение:
а) (5х+2y)²+(5x-2y)²=(25х²+20xy+4y²)+(25x²-20xy+4y²)=
25х²+20xy+4y²+25x²-20xy+4y²=(25х²+25x²)+(20xy-20xy)+(4y²+4y²)=50x²+8y²
б) (a+2b)²-(a+b)²=(a²+4ab+4b²)-(а²+2аb+b²)=a²+4ab+4b²-a²-2ab-b²=
(a²-a²)+(4ab-2ab)+(4b²-b²)=2ab+3b²
в обоих случаях использовали формулу сокращённого умножения
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
3. Разложите на множители
4x²-4x-4y-y²-3=(4x²-4x+1)-(у²+4y+4)=(2x-1)²-(y+2)²=((2x-1)+(y+2))((2x-1)-(y+2))=
(2x-1+y+2)(2x-1-y-2)=(2x+y+(-1+2))(2x-y+(-1-2))=(2x+y+1)(2x-y-3)
1) Представьте в виде многочлена 0,5y(6-2y^2)(3+y^2)
2) Разложите на множители многочлен 5z+30a+bz+6ba
3) Найдите три последовательный натуральных числа, если произведение двух больших чисел больше произведения двух меньше на 28.
Решение: 1) 0,5у(6-2у²)(3+у²)=0,5у*2*(3-у²)(3+у²)=у*(3² - (y²)²)=y*(9-y⁴)=9y-y⁵
2) 5z+30a+bz+6ba=(5z+bz)+(30a+6ba)=z(5+b)+6a(5+b)=(5+b)(z+6a)
3) n - 1-ое натуральное число
n+1 - 2-ое натуральное число
n+2 - 3-е натуральное число
(n+1)(n+2)-n(n+1)=28
(n+1)(n+2-n)=28
2*(n+1)=28
n+1=28 : 2
n+1=14
n=14-1
n=13 - 1-ое натуральное число
n+1=13+1=14 - 2-ое натуральное число
n+2=13+2=15 - 3-е натуральное число
Ответ: 13; 14; 15.Представьте в виде многочлена выражение:
а) (2х²+4)(8х²-3) в) (у²-7)(у²-7) д) (х²-4)(х+3)
б) (2с²-с+6) г) (а-3)(3а²-5а+2)
Разложите на множители многочлен:
а) х(b+c)+5b+5c
б)4x-4y+ax-ay
Докажите, что значение выражения не зависит от переменной x
(4x+3)(x+4)-(3x+5)(2x+4)+x(2x+3)
Представьте в виде произведения:
am²+2n-bm²+an+2m²-bn
Решение: 1. а)16*x^4+26*x^2-12
б)
в)y^4-14*y^2+49
г)3*a^3-14*a^2+17*a-6
д)x^3+3*x^2-4*x-12
2. а)(c+b)*x+5*c+5*b
(c+b)*(x+5)
б)(-(a+4))*(y-x)
3. В третьем будет -8, а х сократился. Значит доказано что выражение не зависит от переменой.
4.(-b+a+2)*n+(-b+a+4)*m^2
-(b*n-a*n-2*n+b*m^2-a*m^2-4*m^2)
1) Представьте в виде многочлена:
1.(-x-y)(x-y)=
2.(-a+b)(b-a)=
3.(-a-b)(-a-b)=
2. Разложите на многочлены:
1.81+25m\2=
2. 144-49n\2=
3. x\2y\2-0.04=
4. p\2q\2-4k\2=
3. Выполни умножения:
1. (9x-y\2)(9x+y\2)=
2. (4-x\2)(4+x\2)=
3. (1.3ab-1.1c)(1.3ab+1.1c)=
Решение: .
При решении использована формула разности квадратов:
a²-b²=(a-b)*(a+b)
И наоборот:
(a-b)*(a+b)=a²-b²
Представьте в виде многочлена выражение \((a+1)(a^2-2a-8)\)
Решение: Сначала решим квадратное уравнение
коэффициенты квадратного уравнения а=1, b=-2, c=-8
Найдем дискриминант: D=b2-4ac=(-2)2-4*1*(-8)=4+32=36
Найдем корни уравнения
$$ x_{1} = \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a}= \frac{2+ \sqrt{36} }{2*1}\ \frac{2+6}{2}=4 \\ x_{2} = \frac{-b- \sqrt{D} }{2a}= \frac{2- \sqrt{36} }{2*1}\ \frac{2-6}{2}=-2 $$
Разложим квадратный трехчлен по формуле $$ a x^{2} +bx-c=a(x- x_{1} )(x- x_{2} ) $$
соответственно $$ a^{2} -2a-8=(a-4)(a+2) $$
исходное выражение можно представить в следующем виде
$$ (a+1)( a^{2} -2a-8)=(a+1)(a-4)(a+2) $$
представьте в виде многочлена:
а).18а+(а-9)^2
б).(5х-1)^2-25х^2
в).4х^2-(2х-3)2
г).(а-2b)^2-4b^2
Решение: а) $$ 18a+(a-9)^{2}=18a+a^{2}-18a+81=a^{2}+(18a-18a)+81=a^{2}+81 $$б) $$ (5x-1)^{2}-25x^{2}=25x^{2}-10x+1-25x^{2}=(25x^{2}-25x^{2})+1-10x=1-10x $$
в) $$ 4x^{2}-(2x-3)^{2}=4x^{2}-(4x^{2}-12x+9)=4x^{2}-4x^{2}+12x-9=(4x^{2}-4x^{2})+12x-9=12x-9 $$
г) $$ (a-2b)^2-4b^2=a^{2}-4ab+4b^{2}-4b^{2}=a^{2}-4ab+(4b^{2}-4b^{2})=a^{2}-4ab $$
а)18а+(а^2-18a+81)=18а+а^2-18a+81=а^2+81
б)25х^2-10x+1-25x^2=-10x+1
в)4x^2-(4x^2-12x+9)=4x^2-4x^2+12x-9=12x+9
г)a^2-4ab+4b^2-4b^2=a^2-4ab
представьте в виде многочлена (2m-3n) в кубе
Решение: Формула куба разности:
$$ (a-b)^3=a^3-3*a^2*b+3*b^2*a-b^3 \\ (2m-3n)^3=(2m)^3-3(2m)^2*3n+3(3n)^22m-(3n)^3= \\ =8m^3-36m^2n+54mn^2-27n^3 $$
! способ
$$ (2m-3n)^3 = (2m-3n)^2*(2m-3n)= \\ = (4m^2-12mn+9n^2)(2m-3n)= \\ = 8m^3-24m^2n+18mn^2-12m^2n+36mn^2-27n^3= \\ = 8m^3-36m^2n+54mn^2-27n^3 $$
2 способ по формуле разность куба
$$ (2m-3n)^3 = (2m)^3 - 3*(2m)^2*3n + 3 *2m*(3n)^2 - (3n)^3 = \\ = 8m^3 - 36*m^2n + 54mn^2 - 27n^3 $$
Представьте в виде многочлена з.
1) 7х(4у-х)+4х(х-7у)
2) 4а(7х-1)-7(4ах+1)
3) а( а+в)+в(а-в)
4) 5а(6а+3в)-6а(5в-2а)
5) 8м(м+н)-3н(2м-4н)
.:-)
Решение: 1) 28 xy-7x квадрат + 4x квадрат - 28 xy = -3x квадрат
2) 28ax - 4a - 28ax - 7 = -4a-7
3) a кватрат + ab + ab - b квадрат = a квадрат + 2ab - b квадрат = a квадрат - b квадрат
4) 30a квадрат + 15 ab - 30ab+12a квадрат = 42а квадрат - 15 ab
5) 8m квадрат + 8 mn - 5 nm + 12n квадрат = 8m квадрат + 3 mn + 12 n квадратПредставьте в виде многочлена (a+b)(a-b+1)-(a-b)(a+b-1)
Решение: Раскрываем скобки, умножая каждый член первой скобки на каждый член второй.= а²-ab+a+ab-b²+b - (a²+ab-a-ab-b²+b) =
Раскрываем скобки, меняя знаки в скобках на противоположные.
= a²-ab+a+ab-b²+b-a²-ab+a+ab+b²-b =
Приводим подобные члены.
= 2a
Ответ. 2а
(a+b)(a-b+1)-(a-b)(a+b-1)=а²-ав+а+ав-в²+в-(а²+ав-а-ав-в²+в)=а²-ав+а+ав-в²+в-а²-ав+а+ав+в²-в=а²-а²-ав+ав-ав+ав+а+а-в²+в²+в-в=2а
