разложите многочлен на множители - страница 11
1. Упростить:
(а-3)(а+5)-(2а-5)
2. Разложите на множители многочлен:
2ху^2-18
3. Представьте в виде многочлена
(b-1)^2(b+2)-b^2(b-3)+3
4. Разложите многочлен на множители
х+у-х^3-у^3
Решение: 1. Упростить:(а-3)(а+5)-(2а-5)=a²-3a+5a-15-2a+5=a²-10
2. Разложите на множители многочлен:2ху^2-18=2(xy²-9)
3. Представьте в виде многочлена(b-1)^2(b+2)-b^2(b-3)+3=(b²-2b+1)(b+2)-b³+3b²+3=b³+2b²-2b²-4b+b+2-b³+3b²+3=3b²-3b+5
4. Разложите многочлен на множители х+у-х^3-у^3=(x+y)-(x+y)(x²-xy+y²)=(x+y)(1-x²+xy-y²)
Разложите на неприводимые множители многочлен:
а)27׳-10; г)(6х+3)²-(5х-4)²;
б)׳+5; д)8х³-(х-5)³;
в)2х²-15; в)125х³+(х+1)³;
Решение: а)27׳-10=(3х-корень кубический(10))(x^2+3x*корень кубический (10)+корень кубический (100));г)(6х+3)²-(5х-4)²=(6х+3+(5х-4))(6х+3-(5х-4))=
=(6х+3+5х-4)(6х+3-5х+4)=(9х-1)(х+7);
б)׳+5=(x+корень кубический(5))(x^2-x*корень кубический(5)+корень кубический(25));
д)8х³-(х-5)³=(2x-(x-5))(4x^2+2x(x-5)+(x-5)^2)=
=(2x-x+5)(4x^2+2x^2-10x+x^2-10x+25)=
=(x+5)(7x^2-20x+25);
в)2х²-15=(x*корень(2)+корень(15))(х*корень(2)-корень(15));
в)125х³+(х+1)³=(5x+x+1)(25x^2+(x+1)^2)=
=(6x+1)(25x^2+x^2+2x+1)=(6x+1)(26x^2+2x+1)
разложите на неприводимые множители многочлен. а)27X³-10 б) X³+5 в)2Х²-15 г) (6X+3)²-(5X-4)² д) 8X³-(x-5)³ e) 125X³+(X+1)³
Решение: $$ a)\ 27x^3-10=(3x-\sqrt[3]{10})(9x^2+3\sqrt[3]{10}x+\sqrt[3]{100}). $$б) $$ x^3+5=(x+\sqrt[3]{5})(x^2-\sqrt[3]{5}x+\sqrt[3]{25}). $$
в) $$ 2x^2-15=(\sqrt{2}x-\sqrt{15})(\sqrt{2}x+\sqrt{15}). $$
г) $$ (6x+3)^2-(5x-4)^2=(6x+3-5x+4)(6x+3+5x-4)= \\ =\ (x+7)(11x-1). $$
д) $$ 8x^3-(x-5)^3=(2x-x+5)(4x^2+2x(x-5)+(x-5)^2)= \\ =\ (x+5)(7x^2-20x+25). $$
е) $$ 125x^3+(x+1)^3=(5x+x+1)(25x^2-5x(x+1)+(x+1)^2)= \\ =\ (6x+1)(21x^2-3x+1). $$
Разложите многочлен на множители: (x-2y) в 3-ей степени+(x+2y) в 3-ей степени
Решение: =2(x-2y)"z=2*(x-2y)(x"z+2x"(z-1)*y.(2y)"(z-1)*x+2x"z)"-так обозначена степень
*-обозначен знак умножить
(x-2y)^3+(x+2y)^3=х^3-3*2y*x^2+3*x*4y^2-8y^3+x^3+3*2y*x^2+3*x*4y^2+8y^3=
=х^3-6yx^2+12xy^2-8y^3+x^3+6yx^2+12xy^2+8y^3=х^3+12xy^2+x^3+12xy^2=2х^3+2*12xy^2=2(х^3+12xy^2).
После первого равно я раскрыла скобки по сокращенным формулам умножения
для первой скобки это (a-b)^3=a^3-3ba^2+3ab^2-b^3
для второй скобки это (a+b)^3=a^3+3ba^2+3ab^2+b^3
разложив все это некоторые числа сократились ( я их подчеркула)
те которые не сократились привела подобные слагаемые
и вынесла двойку.
Разложите многочлен на множители:
1) x²+4x+3
2) x²-5x+4
3) x²-5x+6
4) x²+10x+16
5) x²-7x+12
6) x²+9x+20
Решение: $$ x^2+4x+3=(x+1)(x+3) \\ x^2-5x+4=(x-1)(x-4) \\ x^2-5x+6=(x-2)(x+3) \\ x^2+10x+16=(x+2)(x+8) \\ x^2-7x+12=(x-3)(x-4) \\ x^2+9x+20=(x+4)(x+5) $$
руководствуемся обратной теоремой Виета, числа небольшие, перебор вариантов осуществляется очень легко
так
$$ x_1+x_2=-p;x_1x_2=q $$ то $$ x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2) $$
можно пойти другим путем. прямо в лоб!
вычислить корни
$$ ax^2+bx+c=0 \\ D=b^2-4ac \\ x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \\ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2) $$
либо вообще прямо
$$ ax^2+bx+c=a(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}) $$
так напр.
$$ x^2+4x+3 \\ a=1;b=4;c=3 \\ D=4^2-4*1*3=4=2^2 \\ x_1=\frac{-4+2}{2*1}=-1 \\ x_2=\frac{-4-2}{2*1}=-3 \\ x^2+4x+3=1*(x-(-1))*(x-(-3))=(x+1)(x+3) $$
Решать устно, используя теорему Виета намного проще, чем системные выкладки
Вариант еще один - используя метод группирования
$$ x^2+4x+3=x^2+3x+x+3=\\\\x(x+3)+1(x+3)=(x+1)(x+3) \\ x^2-5x+4=x^2-4x-x+4=\\\\x(x-4)-1*(x-4)=(x-1)(x-4) \\ x^2-5x+6=x^2-2x-3x+6=\\\\x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x+3) \\ x^2+10x+16=x^2+2x+8x+16=\\\\x(x+2)+8(x+2)=(x+2)(x+8) \\ x^2-7x+12=x^2-3x-4x+12=\\\\x(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x-4) \\ x^2+9x+20=x^2+4x+5x+20=\\\\x(x+4)+5(x+4)=(x+4)(x+5) $$
(х²+4х+4)-1=(х+2+1)(х+2-1)=(х+1)(х+3)
(х²-5х+6,25)-2,25=(х-2,5-1,5)(х-25,+1,5)=(х-4)(-1)
(х²-5х+6,25)-0,25=(х-2,5-0,5)(х-2,5+0,5)=(х-3)(х-2)
(х²+10х+25)-9=(х+5+3)(х+5-3)=(х+2)(х+8)
(х²-7х+12,25)-0,25=(х-3,5+0,5)(х-3,5-0,5)=(х-3)(х-4)
(х²+9х+20,25)-0,25=(х+4,5-0,5)(х+4,5+0,5)=(х+4)(х+5)
