многочлен »
разложите многочлен на множители - страница 9
Как разложить этот многочлен на множители: х^4 + 17х^2 + 16
Решение: $$ x^{4} + 17 x^{2} + 16 \\ x^{2} = t \\ $$
после замены имеем квадратный трехчлен:
$$ t^{2} + 17 t + 16 \\ $$
по теореме Виета его корни t1 = -1 t2 = -16,
тогда квадратный трехчлен можно разложить на множители по теореме о разложении квадратного трехчлена:
$$ t^{2} + 17 t + 16 = (t +1)(t+16) = (x^{2} +1)(x^{2}+16) $$
Разложите многочлен на множители: \( a^{3}-2a^{2}-2a+4 \\ x^{3}-12+6x^{2}-2x \\ c^{4}-2c^{2}+c^{3}-2c \\ -y^{6}-y^{5}+y^{4}+y^{3} \\ a^{2}b-b^{2}c+a^{2}c-bc^{2} \\2x^{3}+xy^{2}-2x^{2}y-y^{3} \\ 16ab^{2}-10c^{3}+32ac^2-5b^{2}c \\ 6a^{2}-21a^{2}b+2ab^{2}-7b^{3} \\ c^{3}+ac^{2}-4a-4c \)
Решение: 1) $$ a^{3}-2a^{2}-2a+4=a^{2}(a-2)-2(a-2)=(a-2)(a^{2}-2) $$
2)$$ x^{3}-12+6x^{2}-2x=x(x^{2}-2)+6(x^{2}-2)=(x^{2}-2)(x+6) $$
3)$$ c^{4}-2c^{2}+c^{3}-2c=c^{2}(c^{2}-2)+c(c^{2}-2)=(c^{2}-2)(c^{2}+c) $$
4)$$ -y^{6}-y^{5}+y^{4}+y^{3}=y^{4}(1-y^{2})+y^{3}(1-y^{2})=(1-y^{2})(y^{4}+y^{3}) $$
5)$$ a^{2}b-b^{2}c+a^{2}c-bc^{2}=b(a^{2}-bc)+c(a^{2}-bc)=(a^{2}-bc)(b+c) $$
6) $$ 2x^{3}+xy^{2}-2x^{2}y-y^{3}=2x^{2}(x-y)+y^{2}(x-y)=(x-y)(2x^{2}+y^{2}) $$
7)$$ 16ab^{2}-10c^{3}+32ac^2-5b^{2}c=16a(2c^{2}+b^{2})-5c(2c^{2}+b^{2})=\\=(2c^{2}+b^{2})(16a-5c)$$
8)$$ 6a^{2}-21a^{2}b+2ab^{2}-7b^{3}=2a(3a+ b^{2})-7b(3a+b^{2})=(3a+b^{2})(2a-7b)$$
9)$$ c^{3}+ac^{2}-4a-4c=c^{2}(c+a)-4(a+c)=(a+c)(c^{2}-4) $$Разложите многочлен на множители \( y^3-6+11y-6y^2 \\ x^4-(a^2+1)x^2+a^2 \)
Решение: $$ y^3-6+11y-6y^2=y^3-6+11y-6y^2+y-y=\\\\(y^3-y)-(6-12y+6y^2)=\\\\(y*y^2-y*1)-(6*1-6*2y+6*y^2)=\\\\y(y^2-1)-6(1-2y+y^2)=\\\\y(y^2-1^2)-6(1^2-2*1*y+y^2)=\\\\y(y-1)(y+1)-6(y-1)^2=\\\\(y-1)(y^2+y)-(y-1)(6y-6)=\\\\(y-1)((y^2+y)-(6y-6))=\\\\(y-1)(y^2+y-6y+6)=\\\\(y-1)(y^2-5y+6)=\\\\(y-1)(y^2-2y-3y+6)=\\\\(y-1)((y^2-2y)-(3y-6))=\\\\(y-1)(y(y-2)-3(y-2))=\\\\(y-1)(y-2)(y-3) $$
-
$$ x^4-(a^2+1)x^2+a^2=x^4-x^2-a^2x^2+a^2=\\\\(x^4-x^2)-(a^2x^2-a^2)=\\\\x^2(x^2-1)-a^2(x^2-1)=\\\\(x^2-a^2)(x^2-1)=(x-a)(x+a)(x-1)(x+1) $$
разложите многочлен на множители a)3x^3-2x^2+27x-9
b)6m^2-13mn-5n^2
Решение: А) Рассмотрим функцию у=3х³-2х²+27х-9
у`=9x²-4x+27
9х²-4х+27 > 0 при любом х, так как дискриминант квадратного трехчлена D=(-4)²-4·9·27 <0.
Значит функция строго возрастает.
Так как множество значений функции (-∞;+∞), то переходя из нижней полуплоскости в верхнюю кривая один раз пересекает ось ох.
y(0)=-9
y(1)=3-2+27-9 >0
Значит точка пересечения лежит внутри отрезка [0;1].
Попробуем сузить границы отрезка.
y(1/3)=-2/9
y(2/3)=9
Нуль функции принадлежит отрезку [1/3;2/3], так как на концах отрезка функция принимает значения разных знаков.
Делим отрезок пополам. Получим два отрезка
[1/3;1/2] и [1/2;2/3]
y(1/2)>0, значит корень уравнения принадлежит отрезку [1/3;1/2]
и т. д.
Установили, что есть один нуль, который является положительным числом (дробным или иррациональным).
Можно применить формулу Кардано для нахождения корней кубического уравнения с рациональными коэффициентами.
Скорее всего условие написано с опечаткой.
2.
6m²-13mn-5n²
Квадратный трехчлен вида ах²+bx+c раскладывается на множители
a(x-x₁)(x-x₂)
a=6
b=-13n
c=-5n²
D=(-13n)²-4·6·(-5n²)=169n²+120n²=289n²=(17n)²
m₁=(13n-17n)/12=-n/3 или m₂=(13n+17n)/12=5n/2
6m²-13mn-5n²=6(m-(-n\3))(m-(5n/2)=(3m+n)(2m-5n)
Разложите многочлен на множители:
6 ах^2-12ах^3
Найдите значение выражения при указанных значениях переменных:
а+0,5b^3 при а=20,b=-4
Решите уравнение:
2-3(х+2)=5-2х
Решите уравнение:
(10х-4)(3х+2)=0
И система уравнений:
3х-у=3 3х-2у=0
Решение: 6ax^2-12ax^3=6ax^2(1-2x)a+0.5b^3
если а=20,b=-4 то 20+0,5(-4)^3=20-32=-12
2-3(x+2)=5-2x
2-3x-6=5-2x
-3x+2x=5+6-2
-x=9
x=-9
(10x-4)(3x+2)=0
10x-4=0 или 3x+2=0
10x=4 3x=-2
x=0.4 x=-2/3
$$ \left \{ {{3x-y=3} \atop {3x-2y=0}} \right. $$
-y+2y=3
y=3
3x-3=3
3x=6
x=2
Ответ: (2;3)
Разложите многочлен на множители:
6ах^2(1-2x)
Найдите значение выражения при указанных значениях переменных:
20+0,5*4^3=20+0,5*64=20+32=52
Решите уравнение:
2-3x-6-5+2x=0
-x=9
x=-9
Решите уравнение:
10x-4=0 3x+2=0
10x=4 3x=-2
x=2/5 x=-2/3
И система уравнений:
y=3x-3
3x-2*(3x-3)=0
3x-6x+6=0
-3x=-6
x=2
y=3*2-3=3
ответ:
x=2
y=3
