разложите многочлен на множители - страница 5
Как разложить этот многочлен на множители: х^4 + 17х^2 + 16
Решение: $$ x^{4} + 17 x^{2} + 16 \\ x^{2} = t \\ $$
после замены имеем квадратный трехчлен:
$$ t^{2} + 17 t + 16 \\ $$
по теореме Виета его корни t1 = -1 t2 = -16,
тогда квадратный трехчлен можно разложить на множители по теореме о разложении квадратного трехчлена:
$$ t^{2} + 17 t + 16 = (t +1)(t+16) = (x^{2} +1)(x^{2}+16) $$
Разложите многочлен на множители: \( a^{3}-2a^{2}-2a+4 \\ x^{3}-12+6x^{2}-2x \\ c^{4}-2c^{2}+c^{3}-2c \\ -y^{6}-y^{5}+y^{4}+y^{3} \\ a^{2}b-b^{2}c+a^{2}c-bc^{2} \\2x^{3}+xy^{2}-2x^{2}y-y^{3} \\ 16ab^{2}-10c^{3}+32ac^2-5b^{2}c \\ 6a^{2}-21a^{2}b+2ab^{2}-7b^{3} \\ c^{3}+ac^{2}-4a-4c \)
Решение: 1) $$ a^{3}-2a^{2}-2a+4=a^{2}(a-2)-2(a-2)=(a-2)(a^{2}-2) $$
2)$$ x^{3}-12+6x^{2}-2x=x(x^{2}-2)+6(x^{2}-2)=(x^{2}-2)(x+6) $$
3)$$ c^{4}-2c^{2}+c^{3}-2c=c^{2}(c^{2}-2)+c(c^{2}-2)=(c^{2}-2)(c^{2}+c) $$
4)$$ -y^{6}-y^{5}+y^{4}+y^{3}=y^{4}(1-y^{2})+y^{3}(1-y^{2})=(1-y^{2})(y^{4}+y^{3}) $$
5)$$ a^{2}b-b^{2}c+a^{2}c-bc^{2}=b(a^{2}-bc)+c(a^{2}-bc)=(a^{2}-bc)(b+c) $$
6) $$ 2x^{3}+xy^{2}-2x^{2}y-y^{3}=2x^{2}(x-y)+y^{2}(x-y)=(x-y)(2x^{2}+y^{2}) $$
7)$$ 16ab^{2}-10c^{3}+32ac^2-5b^{2}c=16a(2c^{2}+b^{2})-5c(2c^{2}+b^{2})=\\=(2c^{2}+b^{2})(16a-5c)$$
8)$$ 6a^{2}-21a^{2}b+2ab^{2}-7b^{3}=2a(3a+ b^{2})-7b(3a+b^{2})=(3a+b^{2})(2a-7b)$$
9)$$ c^{3}+ac^{2}-4a-4c=c^{2}(c+a)-4(a+c)=(a+c)(c^{2}-4) $$Разложите многочлен на множители \( y^3-6+11y-6y^2 \\ x^4-(a^2+1)x^2+a^2 \)
Решение: $$ y^3-6+11y-6y^2=y^3-6+11y-6y^2+y-y=\\\\(y^3-y)-(6-12y+6y^2)=\\\\(y*y^2-y*1)-(6*1-6*2y+6*y^2)=\\\\y(y^2-1)-6(1-2y+y^2)=\\\\y(y^2-1^2)-6(1^2-2*1*y+y^2)=\\\\y(y-1)(y+1)-6(y-1)^2=\\\\(y-1)(y^2+y)-(y-1)(6y-6)=\\\\(y-1)((y^2+y)-(6y-6))=\\\\(y-1)(y^2+y-6y+6)=\\\\(y-1)(y^2-5y+6)=\\\\(y-1)(y^2-2y-3y+6)=\\\\(y-1)((y^2-2y)-(3y-6))=\\\\(y-1)(y(y-2)-3(y-2))=\\\\(y-1)(y-2)(y-3) $$
-
$$ x^4-(a^2+1)x^2+a^2=x^4-x^2-a^2x^2+a^2=\\\\(x^4-x^2)-(a^2x^2-a^2)=\\\\x^2(x^2-1)-a^2(x^2-1)=\\\\(x^2-a^2)(x^2-1)=(x-a)(x+a)(x-1)(x+1) $$
разложите многочлен на множители a)3x^3-2x^2+27x-9
b)6m^2-13mn-5n^2
Решение: А) Рассмотрим функцию у=3х³-2х²+27х-9
у`=9x²-4x+27
9х²-4х+27 > 0 при любом х, так как дискриминант квадратного трехчлена D=(-4)²-4·9·27 <0.
Значит функция строго возрастает.
Так как множество значений функции (-∞;+∞), то переходя из нижней полуплоскости в верхнюю кривая один раз пересекает ось ох.
y(0)=-9
y(1)=3-2+27-9 >0
Значит точка пересечения лежит внутри отрезка [0;1].
Попробуем сузить границы отрезка.
y(1/3)=-2/9
y(2/3)=9
Нуль функции принадлежит отрезку [1/3;2/3], так как на концах отрезка функция принимает значения разных знаков.
Делим отрезок пополам. Получим два отрезка
[1/3;1/2] и [1/2;2/3]
y(1/2)>0, значит корень уравнения принадлежит отрезку [1/3;1/2]
и т. д.
Установили, что есть один нуль, который является положительным числом (дробным или иррациональным).
Можно применить формулу Кардано для нахождения корней кубического уравнения с рациональными коэффициентами.
Скорее всего условие написано с опечаткой.
2.
6m²-13mn-5n²
Квадратный трехчлен вида ах²+bx+c раскладывается на множители
a(x-x₁)(x-x₂)
a=6
b=-13n
c=-5n²
D=(-13n)²-4·6·(-5n²)=169n²+120n²=289n²=(17n)²
m₁=(13n-17n)/12=-n/3 или m₂=(13n+17n)/12=5n/2
6m²-13mn-5n²=6(m-(-n\3))(m-(5n/2)=(3m+n)(2m-5n)
Разложите многочлен на множители:
6 ах^2-12ах^3
Найдите значение выражения при указанных значениях переменных:
а+0,5b^3 при а=20,b=-4
Решите уравнение:
2-3(х+2)=5-2х
Решите уравнение:
(10х-4)(3х+2)=0
И система уравнений:
3х-у=3 3х-2у=0
Решение: 6ax^2-12ax^3=6ax^2(1-2x)a+0.5b^3
если а=20,b=-4 то 20+0,5(-4)^3=20-32=-12
2-3(x+2)=5-2x
2-3x-6=5-2x
-3x+2x=5+6-2
-x=9
x=-9
(10x-4)(3x+2)=0
10x-4=0 или 3x+2=0
10x=4 3x=-2
x=0.4 x=-2/3
$$ \left \{ {{3x-y=3} \atop {3x-2y=0}} \right. $$
-y+2y=3
y=3
3x-3=3
3x=6
x=2
Ответ: (2;3)
Разложите многочлен на множители:
6ах^2(1-2x)
Найдите значение выражения при указанных значениях переменных:
20+0,5*4^3=20+0,5*64=20+32=52
Решите уравнение:
2-3x-6-5+2x=0
-x=9
x=-9
Решите уравнение:
10x-4=0 3x+2=0
10x=4 3x=-2
x=2/5 x=-2/3
И система уравнений:
y=3x-3
3x-2*(3x-3)=0
3x-6x+6=0
-3x=-6
x=2
y=3*2-3=3
ответ:
x=2
y=3
Разложите многочлен на множители и проверьте справедливость умножением \( 21xy^2-8y^2z-16z^3+42xz^2 \\ 8abc^2+20a^c-18b^3c-45ab^2 \\ -14mp+21p^2-15py+10my \\ -27nx-20p^2+45np+12px \)
Решение: $$ 21xy^2-8y^2z-16z^3+42xz^2=(2xy+42xz^2)-(8y^2z+16z^3)=\\= 21x(y^2+2z^2)-8z(y^2+2z^2)=(21x-8z)(y^2+2z^2) $$
проверка
$$ (21x-8z)(y^2+2z^2)=21xy-8zy^2+42xz^2-16z^3 \\ 8abc^2+20a^c-18b^3c-45ab^2=2bc(4ac-9b^2)+5a(4ac-9b^2)= \ (2bc+5a)(4ac-9b^2) $$
Проверка
$$ (2bc+5a)(4ac-9b^2)=8abc^2+20a^2c-18b^3c-45ab^2 \\ -14mp+21p^2-15py+10my=7p(-2m+3p)-5y(3p-2m)= \ (7p-5y)(3p-2m) $$
Проверка
$$ (7p-5y)(3p-2m)=21p^2-15py-14pm+10my \\ -27nx-20p^2+45np+12px=(-27nx+45np)-(20p^2-12px)= \\ 9n(-3x+5p)-4p(5p-3x)=(9n-4p)(5p-3x) $$
Проверка
$$ (9n-4p)(5p-3x)=45np-20p^2-27nx+12px $$Разложите многочлен на множители:
a^3-ab^2-2a^2-2ab
Решение: a^3-ab^2-2a^2-2ab = а^3 - 2а^2 - аb^2 - 2аb = а^2 (a - 2) - ab (b - 2)
Разложите многочлен на множители: а) -12а^2+18a^3 b) 2a+4b-ab-2b^2 v) x^2-64y^2 g) -2x^3-28x^3-98x.
Решение: -6а²(2-3а)способ группировки (2а+4b)-(ab-2b²)=2(a+2b)-b(a+2b)=(2-b)(a+2b)
формула сокращенного умножения разность квадратов (х-8y)(x+8y)
если под г у х и того и другого 3 степень то ответ -2x(15x²+49)
если у 14 х во 2. то ответ -2х(х+7)²
а) -12а²+18a³=-6а²(2-3а)
b) 2a+4b-ab-2b²=(4b-2b²)+(2a-ab)=2b(2-b)+a(2-b)=(2b+a)(2-b)
v) x²-64y²=(х-8у)(х+8у)
g) -2x³-28x³-98x=-2х(х²+14х²+ 49)=-2х(х+7)²
Разложите многочлен на множители (подробно)
a) ax+3x+4a+12=
b) 9m во второй - 9mn - 5m +5n
c) z в третьей + 21+3z+7z во второй27
d) x в третьей - 6+ 2x - 3x во второй
f) 18a во второй + 27ab +14 ac +21bc
Решите уравнение
x в четвёртой + x в третьей - 8х - 8 = 0
Решение: См. рисунок _____________А) =х(а+3)+4(а+3)=(а+3)(х+4)
б) =9м(м-н)-5(м-н)=(9м-5)(м-н)
c)z^2(z+7)+3(z+7)=(z^2+3)(z+7)
d)=2(Х-3)+х^2(х-3)=(2+х^2)(х-3)
f)=9а(2а+3в)+7с(2а+3в)=(9а+7с)(2а+3в)
х^3(Х+1)-8(х+1)=0
(х^3-8)(х+1)=0
х^3-8=0 и х+1=0
х=2 х=1
Разложите многочлен на множители: а) 3х² -12х б) ab-2a+b² -2b в) x³-8x²+16xНАДО
Решение: а) 3Х^2-12Х = 3Х(Х-4)б) ав-2а+в^2-2в = (ав-2а)+(в^2-2в) = а(в-2)+в(в-2) = (а+в)(в-2)
в) х^3-8х^2+16х = х(х^2-8х+16)-это формула сокращенного умножения=х(х-4)^2 скобка в квадрате=х(х-4)(х-4)
а) $$ 3x^{2}-12x=3x(x-4) $$
б) $$ ab-2a+b^{2}-2b=(ab-2a)+(b^{2}-2b)=a(b-2)+b(b-2)=(b-2)(a+b) $$
или
$$ ab-2a+b^{2}-2b=(ab+b^{2})+(-2a-2b)=(ab+b^{2})-(2a+2b)=\\=b(a+b)-2(a+b)=(a+b)(b-2) $$
в) $$ x^{3}-8x^{2}+16x=x(x^{2}-8x+16)=x(x-4)^{2}=x(x-4)(x-4) $$
или
$$ x^{3}-8x^{2}+16x=x^{3}+(-4x^{2}-4x^{2})+16x=(x^{3}-4x^{2})+(-4x^{2}+16x)=(x^{3}-4x^{2})-(4x^{2}-16x)=\\=x^{2}(x-4)-4x(x-4)=\\=(x-4)(x^{2}-4x)=(x^{2}-4x)(x-4)=x(x-4)(x-4) $$
