многочлен »

разложите многочлен на множители - страница 6

  • 1. Упростить:
    (а-3)(а+5)-(2а-5)
    2. Разложите на множители многочлен:
    2ху^2-18
    3. Представьте в виде многочлена
    (b-1)^2(b+2)-b^2(b-3)+3
    4. Разложите многочлен на множители
    х+у-х^3-у^3


    Решение: 1. Упростить:(а-3)(а+5)-(2а-5)=a²-3a+5a-15-2a+5=a²-10
    2. Разложите на множители многочлен:2ху^2-18=2(xy²-9)
    3. Представьте в виде многочлена(b-1)^2(b+2)-b^2(b-3)+3=(b²-2b+1)(b+2)-b³+3b²+3=b³+2b²-2b²-4b+b+2-b³+3b²+3=3b²-3b+5
    4. Разложите многочлен на множители х+у-х^3-у^3=(x+y)-(x+y)(x²-xy+y²)=(x+y)(1-x²+xy-y²) . Упростить а- а - а- a - a a- - a a - . Разложите на множители многочлен ху - xy - . Представьте в виде многочлена b- b -b b- b - b b -b b b b - b - b b -b b b - b . Разложи...

  • Разложите на неприводимые множители многочлен:
    а)27׳-10; г)(6х+3)²-(5х-4)²;
    б)׳+5; д)8х³-(х-5)³;
    в)2х²-15; в)125х³+(х+1)³;


    Решение: а)27׳-10=(3х-корень кубический(10))(x^2+3x*корень кубический (10)+корень кубический (100));

    г)(6х+3)²-(5х-4)²=(6х+3+(5х-4))(6х+3-(5х-4))=

    =(6х+3+5х-4)(6х+3-5х+4)=(9х-1)(х+7);

    б)׳+5=(x+корень кубический(5))(x^2-x*корень кубический(5)+корень кубический(25));

    д)8х³-(х-5)³=(2x-(x-5))(4x^2+2x(x-5)+(x-5)^2)=

    =(2x-x+5)(4x^2+2x^2-10x+x^2-10x+25)=

    =(x+5)(7x^2-20x+25);

    в)2х²-15=(x*корень(2)+корень(15))(х*корень(2)-корень(15));

    в)125х³+(х+1)³=(5x+x+1)(25x^2+(x+1)^2)=

    =(6x+1)(25x^2+x^2+2x+1)=(6x+1)(26x^2+2x+1)

  • разложите на неприводимые множители многочлен. а)27X³-10 б) X³+5 в)2Х²-15 г) (6X+3)²-(5X-4)² д) 8X³-(x-5)³ e) 125X³+(X+1)³


    Решение: $$ a)\ 27x^3-10=(3x-\sqrt[3]{10})(9x^2+3\sqrt[3]{10}x+\sqrt[3]{100}). $$

    б) $$ x^3+5=(x+\sqrt[3]{5})(x^2-\sqrt[3]{5}x+\sqrt[3]{25}). $$

    в) $$ 2x^2-15=(\sqrt{2}x-\sqrt{15})(\sqrt{2}x+\sqrt{15}). $$

    г) $$ (6x+3)^2-(5x-4)^2=(6x+3-5x+4)(6x+3+5x-4)= \\ =\ (x+7)(11x-1). $$

    д) $$ 8x^3-(x-5)^3=(2x-x+5)(4x^2+2x(x-5)+(x-5)^2)= \\ =\ (x+5)(7x^2-20x+25). $$

    е) $$ 125x^3+(x+1)^3=(5x+x+1)(25x^2-5x(x+1)+(x+1)^2)= \\ =\ (6x+1)(21x^2-3x+1). $$

  • Разложите многочлен на множители: (x-2y) в 3-ей степени+(x+2y) в 3-ей степени


    Решение: =2(x-2y)"z=2*(x-2y)(x"z+2x"(z-1)*y.(2y)"(z-1)*x+2x"z)

    "-так обозначена степень

    *-обозначен знак умножить

    (x-2y)^3+(x+2y)^3=х^3-3*2y*x^2+3*x*4y^2-8y^3+x^3+3*2y*x^2+3*x*4y^2+8y^3=

    =х^3-6yx^2+12xy^2-8y^3+x^3+6yx^2+12xy^2+8y^3=х^3+12xy^2+x^3+12xy^2=2х^3+2*12xy^2=2(х^3+12xy^2).

    После первого равно я раскрыла скобки по сокращенным формулам умножения

    для первой скобки это (a-b)^3=a^3-3ba^2+3ab^2-b^3

    для второй скобки это (a+b)^3=a^3+3ba^2+3ab^2+b^3

    разложив все это некоторые числа сократились ( я их подчеркула) 

    те которые не сократились привела подобные слагаемые

    и вынесла двойку.

  • Разложите многочлен на множители:
    1) x²+4x+3
    2) x²-5x+4
    3) x²-5x+6
    4) x²+10x+16
    5) x²-7x+12
    6) x²+9x+20


    Решение: $$ x^2+4x+3=(x+1)(x+3) \\ x^2-5x+4=(x-1)(x-4) \\ x^2-5x+6=(x-2)(x+3) \\ x^2+10x+16=(x+2)(x+8) \\ x^2-7x+12=(x-3)(x-4) \\ x^2+9x+20=(x+4)(x+5) $$
    руководствуемся обратной теоремой Виета, числа небольшие, перебор вариантов осуществляется очень легко
    так
    $$ x_1+x_2=-p;x_1x_2=q $$ то $$ x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2) $$
    можно пойти другим путем. прямо в лоб!
    вычислить корни
    $$ ax^2+bx+c=0 \\ D=b^2-4ac \\ x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \\ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2) $$
    либо вообще прямо
    $$ ax^2+bx+c=a(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}) $$
    так напр.
    $$ x^2+4x+3 \\ a=1;b=4;c=3 \\ D=4^2-4*1*3=4=2^2 \\ x_1=\frac{-4+2}{2*1}=-1 \\ x_2=\frac{-4-2}{2*1}=-3 \\ x^2+4x+3=1*(x-(-1))*(x-(-3))=(x+1)(x+3) $$
    Решать устно, используя теорему Виета намного проще, чем системные выкладки
    Вариант еще один - используя метод группирования
    $$ x^2+4x+3=x^2+3x+x+3=\\\\x(x+3)+1(x+3)=(x+1)(x+3) \\ x^2-5x+4=x^2-4x-x+4=\\\\x(x-4)-1*(x-4)=(x-1)(x-4) \\ x^2-5x+6=x^2-2x-3x+6=\\\\x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x+3) \\ x^2+10x+16=x^2+2x+8x+16=\\\\x(x+2)+8(x+2)=(x+2)(x+8) \\ x^2-7x+12=x^2-3x-4x+12=\\\\x(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x-4) \\ x^2+9x+20=x^2+4x+5x+20=\\\\x(x+4)+5(x+4)=(x+4)(x+5) $$

    (х²+4х+4)-1=(х+2+1)(х+2-1)=(х+1)(х+3)
    (х²-5х+6,25)-2,25=(х-2,5-1,5)(х-25,+1,5)=(х-4)(-1)
    (х²-5х+6,25)-0,25=(х-2,5-0,5)(х-2,5+0,5)=(х-3)(х-2)
    (х²+10х+25)-9=(х+5+3)(х+5-3)=(х+2)(х+8)
    (х²-7х+12,25)-0,25=(х-3,5+0,5)(х-3,5-0,5)=(х-3)(х-4)
    (х²+9х+20,25)-0,25=(х+4,5-0,5)(х+4,5+0,5)=(х+4)(х+5)

  • Разложите многочлен на множители, группируя одночлены разными способами: cb + 3a + 3b + ac; cd + 2b + bd + 2c;


    Решение: 1. cb + 3a + 3b + ac = с (а + b) + 3 (a + b) = (с + 3) (a + b).

    cb + 3a + 3b + ac = b (с + 3) + a (с + 3) = (с + 3) (a + b).

    2. cd + 2b + bd + 2c = d (b + c) + 2 (b + c) = (d + 2) (b + c).

    cd + 2b + bd + 2c = с (d + 2) + b (2 + d) = (d + 2) (b + c).

    1) cb + 3a + 3b + ac= 3(a+b)+c(a+b)=(a+b)(3+c)

      cb + 3a + 3b + ac= a(3+c)+b(3+c)=(3+c)(a+b) 

    2) cd + 2b + bd + 2c = d(c+b)+2(b+c)=(b+c)(2+d)

      cd + 2b + bd + 2c = 2(b+c)+d(b+c)=(b+c)(2+d)

  • Разложите многочлен на множители :
    1) (а-12)^3 - 125
    2)(b+4)^3+64
    3)81-(с^2+6с)^2
    4)16m^2-(m-n)^2


    Решение: 1) (а-12)³ - 125=(a-12)³-5³=(a-12-5)((a-12)²+(a-12)*5+5²)=
      =(a-17)(a²-24a+144+5a-60+25)=
      =(a-17)(a²-19a+109)
    2)(b+4)³+64=(b+4)³+4³=(b+3+4)((b+3)²+(b+3)*4+4²)=
      =(b+7)(b²+6b+9+4b+12+16)=
      =(b+7)(b²+10b+37)
    3)81-(с²+6с)²=9²-(c²+6c)²=(9+c²+6c)(9-c²-6c)=(c+3)²(9-c²-6c)
    4)16m²-(m-n)²=(4m)²-(m-n)²=(4m+m-n)(4m-m+n)=(5m-n)(3m+n)

  • разложите многочлен на множители
    1) а(3+b)+b+3
    2)x(y-z)-(z-y)
    3)3x-3y-ax+ay


    Решение: 1) а(3+b)+b+3 

    1. раскрываем скобки

      3a+ab+b+3

    2. группируем однородные члены, вынося общий множитель за скобки

      3(a+1)+b(a+1)

    3. выносим (а+1) за скобку

      (a+1)(3+b) - это ответ 

    2) (пояснения к решению теже)

      x(y-z)-(z-y)

      xy-xz-z-y

      y(x-1)-z(x-1)

      (y-z)(x-1)

    3) 3x-3y-ax+ay

      x(3-a)-y(3-a)

      (3-a)(x-y) 

  • Разложите многочлен на множители:
    (2a-b)^3-(2a+b)^3


    Решение: (2а - в)*** - (2а + в)*** = (2а - в - 2а - в) (4а** + в** + 4а** + в** + 4а** + в**) = -2в (12а** + 3в**) = -6в(4а** + в**) 

    (2а - в) - (2а + в) = (2а - в - 2а - в) (4а + в + 4а + в + 4а + в) = -2в (12а + 3в) = -6в(4а + в) 

  • Разложите многочлен на множители: а)144a в 4-625 с в 2 б)25p в 10- одна девятая p в 12 в)169x в 8-400 y в 16 г)4b в 16 - одна шестнадцатая д в 4


    Решение: по формуле разности квадратов

    144a в 4-625 с в 2=144a^4-625c^2=(12a^2)^2-(25c)^2=(12a^2+25c)(12a^2-25c)

    25p в 10- одна девятая p в 12=25p^10-(1/9)^12=(5p^5)^2-(1/9^6)^2=

    =(5p^5-1/9^6)(5p^5+1/9^6)

    169x в 8-400 y в 16=169x^8-400y^16=(13x^4)^2-(20y^8)^2=(13x^4-20y^8)()13x^4+20y^8)

    4b в 16 - одна шестнадцатая д в 4=

    =(4b)^16-(1/16d)^4=(4^8b^8)^2-(1/16^2d^2)^2=(4^8b^8+1/16^2d^2)(4^8b^8-1/16d^2)

<< < 456 7 > >>