НОД и НОК »

наибольший общий делитель равен наименьшему общему кратному - страница 9

  • Какое наибольшее значение может принимать наибольший общий делитель 13 натуральных чисел, если их сумма равна 1988?


    Решение: Пусть наибольшее возможное значение наибольшего общего делителя равно d. Тогда каждое из 13 чисел делится на d, значит, и их сумма, 1988, делится на d. Кроме того, должно выполняться неравенство 1988/d≥13 (каждое из 13 чисел не меньше d). 
    Разложим на множители число 1988: 1988=2²*7*71. Для того, чтобы число d было наибольшим, число 1988/d должно быть наименьшим возможным, но не меньше 13. Поскольку 1988 не делится на 13, наимеьшим возможным значением дроби является число 2*7=14. А значит, наибольшим возможным значением делителя d является число 1988/14=142. Оно достигается, если одно из чисел равно 2*142=284, а 12 других равны 142.
    Ответ: 142.

  • Имеется шесть натуральных чисел. Для каждой пары этих чисел выписали их
    наибольший общий делитель. Могли ли при этом оказаться выписанными все
    натуральные числа от 1 до 15?


    Решение: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13 - это натуральные числа, их семь, выбирай любые шесть

    Нет тк если у пары делитель четное число.
    То и каждое из чисел пары число четное.
    То если m число четных чисел из 6.
    То всего четных пар.
    m(m-1)/2.
    А четных делителей всего 7
    то m(m-1)=14
    m^2-m-14=0
    не имеет целых решений. То есть невозможно

  • Сумма двух натуральных чисел равна 1001. Какое наибольшее значение может принимать их наибольший общий делитель?


    Решение: Докажем, что значение, большее 91, НОД принимать не может. Заметим, что 1001 = 7·11·13.  Так как каждое слагаемое в данной сумме делится на НОД, то НОД является делителем числа 1001. С другой стороны, меньшее слагаемое в сумме (а значит и НОД) не больше, чем 1001 : 10,  то есть не больше 101. Осталось заметить, что 91 – наибольший из делителей числа 1001, удовлетворяющий этому условию.
    Ответ:91

  • Найдите все пары натуральных чисел, произведение которых равно 2940, а наибольший общий делитель равен 7.


    Решение: ab=2940

    НОД(а,b)=7, значит а=7m, b=7n

    ab=7m*7n=49mn

    49mn=2940

        mn=60

    Следующие пары m и n дают в произведении 60:

    1 и 60, 2 и 30, 3 и 20, 4 и 15, 5 и 12, 6 и 10.

    а=7m, b=7n, следовательно при умножении на семь наши пары превращаются в следующие:

    7 и 420, 14 и 210, 21 и 140, 28 и 105, 35 и 84, 42 и 70.

    Это и есть ответ.

  • Докажите, что если натуральные числа m и n взаимно простые, то наибольший общий делитель чисел m+n і m^2+n^2 равен 1 или 2.


    Решение: Пусть d=НОД(m+n,m²+n²). Т. е. m+n=ds и m²+n²=dr, при некоторых взаимно простых s и r. Тогда НОД(d,n)=1 и НОД(d,m)=1, т. к. если какое-то простое число p делит одновременно n и d, то из соотношения m+n=ds следует, что p делит и m, т. е. тогда m и n были бы не взаимно просты. Противоречие. Аналогично получается, что d и n обязательно взаимно просты. Итак, получаем 2mn=(m+n)²-m²-n²=d²s²-dr=d(ds²-r). Отсюда следует что 2mn делится на d, но т. к. выше доказали, что m и n взаимно просты с d, то отсюда следует что 2 делится на d. А это и значит, что либо d=1, либо d=2.

<< < 789 10 11 > >>