как доказать тождество - страница 12
Доказать тождество \( (\frac{sin( \pi -3 \alpha )-cos( \frac{3 \pi }{2} + \alpha ))(sin( \frac{ \pi }{2} +3 \alpha )+cos( \pi + \alpha ))}{1+cos( \pi -2 \alpha )} = -sin4 \alpha \)
Решение: (sin3a-sina)(cos3a-cosa)/(1-cos2a)=
=(sin3acos3a-sin3acosa-sinacos3a+sinacosa)/(1-cos2a)=
=[(1/2*sin6a+1/2*sin2a)-sin(3a+a)]/(1-cos2a)=
=[1/2(sin6a+sin2a)-sin4a]/(1-cos2a)=
=(1/2*2sin4acos2a-sin4a)/(1-cos2a)=(sin4acos2a-sin4a)/(1-cos2a)=
=-sin4a(1-cos2a)/(1-cos2a)=-sin4a
-sin4a=-sin4a
$$ (\frac{sin( \pi -3 \alpha )-cos( \frac{3 \pi }{2} + \alpha ))(sin( \frac{ \pi }{2} +3 \alpha )+cos( \pi + \alpha ))}{1+cos( \pi -2 \alpha )} = \ -sin4 \alpha \\ \frac{(sin3 \alpha -sin \alpha )(cos3 \alpha -cos \alpha )}{1-cos2 \alpha } = - sin4 \alpha \\ \frac{-4cos2 \alpha sin \alpha sin2 \alpha sin \alpha }{2sin^2 \alpha } = - sin4 \alpha \\ \frac{-2sin4 \alpha sin^2 \alpha }{2sin^2 \alpha } =- sin4 \alpha \\ -sin4 \alpha = - sin4 \alpha $$
Доказать тождество \( \frac{1+cos \frac{ \alpha }{2}-sin \frac{ \alpha }{2} }{1-cos \frac{ \alpha }{2} -sin \frac{ \alpha }{2} } = -ctg \frac{ \alpha }{4}\)
Решение: $$ 1+cos \frac{ \alpha }{2}=2cos ^{2} ( \frac{ \alpha }{4}) \\ \\ 1-cos \frac{ \alpha }{2}=2sin ^{2} ( \frac{ \alpha }{4}) \\ \\ sin \frac{ \alpha }{2}=2sin \frac{ \alpha }{4} cos \frac{ \alpha }{4} \\ \frac{1+cos \frac{ \alpha }{2}-sin \frac{ \alpha }{2} }{1-cos \frac{ \alpha }{2} -sin \frac{ \alpha }{2} } = \\ \\ =\frac{2cos ^{2}( \frac{ \alpha }{4})-2sin \frac{ \alpha }{4} cos \frac{ \alpha }{4} }{2sin ^{2}( \frac{ \alpha }{4})-2sin \frac{ \alpha }{4} cos \frac{ \alpha }{4} } = \\ \\ =\frac{2cos ( \frac{ \alpha }{4})(cos \frac{ \alpha }{4} -sin \frac{ \alpha }{4}) }{2sin( \frac{ \alpha }{4})(sin \frac{ \alpha }{4}- cos \frac{ \alpha }{4} )} =ctg \frac{ \alpha }{4} $$
Доказать тождество
сos^4a-sin^4a=cos2a
Решение: сos⁴a-sin⁴a=(cos²a)²-(sin²a)=
раскладываем по формуле разности квадратов =(cos²a-sin²a)(cos²a+sin²a)=cos2a*1=cos2a
cos2a=cos2a, что и требовалось доказать
P.s.
cos²a-sin²a=cos2a - по формуле двойного аргумента
cos²a+sin²a=1 - по основному тригонометрическому тождеству
Cos⁴α - sin⁴α = (cos²α)² - (sin²α)² = (cos²α - sin²α)(cos²α + sin²α) = cos2α
Доказать тождество (sin5α-sin3α)/2cos4α=sinα
Решение: (sin5α-sin3α)/2cos4α=sinα;
(sin5α-sin3α)/2cos4α=2sin[(5α-3α)/2]·cos[(5α+3α)/2]/2cos4α=
=2sinα·cos4α/2cos4α=sinα;
sinα=sinα
Помогите доказать тождество \( 2cos^2(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})=1+sin\alpha\)
Решение: Что нам понадобится:
1) $$ cos^{2}( \frac{x}{2})= \frac{1+cosx}{2} $$
2) $$ cos( \frac{ \pi }{2}- \alpha )= sin \alpha $$
Преобразуем левую часть:
$$ 2cos^{2}( \frac{ \pi }{4}-\frac{ \alpha }{2})=2cos^{2}(\frac{1}{2}*(\frac{ \pi }{2}- \alpha)) $$
Заменим $$ \frac{ \pi }{2}- \alpha=x $$, тогда:
$$ 2cos^{2}(\frac{1}{2}*x)=2* \frac{1+cosx}{2}=1+cosx $$
Вернемся обратно к замене, получим:
$$ 1+cos(\frac{ \pi }{2}- \alpha)=1+sin \alpha $$ - что равно правой части.
Тождество доказано.Помогите доказать тождество \( tg( \frac{ \pi }{3}+ \alpha )- tg( \frac{ \pi }{3}- \alpha )=\frac{ 8tg \alpha }{1- 3tg ^{2} \alpha } \)
Решение: $$ tg( \frac{ \pi }{3}+ \alpha )= \frac{tg \frac{ \pi }{3}+tg \alpha }{1-tg \frac{ \pi }{3}tg \alpha }= \frac{ \sqrt{3}+tg \alpha }{1- \sqrt{3}tg \alpha } \\ tg( \frac{ \pi }{3}- \alpha )= \frac{tg \frac{ \pi }{3}-tg \alpha }{1+tg \frac{ \pi }{3}tg \alpha }=\frac{ \sqrt{3}-tg \alpha }{1+ \sqrt{3}tg \alpha } \\ tg( \frac{ \pi }{3}+ \alpha )- tg( \frac{ \pi }{3}- \alpha )= \frac{ \sqrt{3}+tg \alpha }{1- \sqrt{3}tg \alpha } - \frac{ \sqrt{3}-tg \alpha }{1+ \sqrt{3}tg \alpha } = \\ = \frac{( \sqrt{3}+tg \alpha)(1+ \sqrt{3}tg \alpha) }{(1- \sqrt{3}tg \alpha)(1+\sqrt{3}tg \alpha) }- \frac{( \sqrt{3}-tg \alpha)(1- \sqrt{3}tg \alpha) }{(1+ \sqrt{3}tg \alpha)(1- \sqrt{3}tg \alpha) }= $$
$$ =\ \frac{( \sqrt{3}+tg \alpha)(1+ \sqrt{3}tg \alpha)- ( \sqrt{3}-tg \alpha)(1- \sqrt{3}tg \alpha) }{(1- \sqrt{3}tg \alpha)(1+\sqrt{3}tg \alpha) } = \\ \ \frac{ \sqrt{3}+tg \alpha+3tg \alpha+ \sqrt{3}tg ^{2} \alpha - \sqrt{3}+tg \alpha+3tg \alpha - \sqrt{3}tg ^{2} \alpha }{(1- \sqrt{3}tg \alpha)(1+\sqrt{3}tg \alpha) }= \\ = \frac{ 8tg \alpha }{1- 3tg ^{2} \alpha } $$
Помогите доказать Тождество \((\frac{4a}{a^2 -1}+\frac{a-1}{a+1})\cdot \frac{2a}{a+1}-\frac{a}{a-1}-\frac{a}{a^2 -1}=\frac{a^2}{a^2 -1} \)
Решение: 1)(4a/(a²-1) + (a-1)/(a+1))*2a/(a+1) - a/(a-1) - a/(a²-1)=a²/(a²-1)
4a/(a-1)(a+1) +(a-1)/(a+1)=(4a+a²-2a+1)/(a-1)(a+1)=(a+1)²/(a-1)(a+1)=(a+1)/(a-1)
(a+1)/(a-1)*2a(a+1)=2a/(a-1)
2a/(a-1) -a/(a-1) -a/(a²-1)=a/(a-1) -a/(a-1)(a+1)=(a²+a-a)/(a-1)(a+1)=a²/(a²-1)
a²/(a²-1)=a²/(a²-1)
2)[2ab/(a²-b²) + (a-b)/2(a+b) ]* 2a/(a+b) - b/(a-b)=1
2ab/(a²-b²) + (a-b)/2(a+b) =(4ab+a²-2ab+b²)/2(a²-b²)=(a+b)²/2(a²-b²)=
=(a+b)²/2(a-b)(a+b)=(a+b)/2(a-b)
(a+b)/2(a-b)*2a/(a+b)=a/(a-b)
a/(a-b) - b/(a-b)=(a-b)/(a-b)=1
1=1
Доказать тождество: \((1-sin^2(-a))(1+td^2a)=1 \)
Решение: $$ (1+ sin^{2} \alpha )* \frac{1}{ cos^{2} \alpha } =1 \\ \frac{ cos^{2} \alpha }{ cos^{2} \alpha } =1 \\ 1=1 $$
Тождество доказано
Доказать тождество (tga+ctga)*sina*cosa=1
Решение: $$ (tga+ctga)*sina*cosa=1\\\\(\frac{sina}{cosa}+\frac{cosa}{sina})*sina*cosa=1\\\\\frac{sin^2a+cos^2a}{sina*cosa}*sina*cosa=1\\\\sin^2a+cos^2a=1\\\\1=1 $$$$ (tga+ctga)*sina*cosa \\ tga+ctga=sina/cosa+cosa/sina=(sin^2a+cos^2)/(sina*cosa) \\ (sin^2a+cos^2a)/(sina*cosa) *sina*cosa=sin^2a+cos^2a $$
По основному тригонометрическому тождеству:
$$ sin^2a+cos^2a=1 $$
Итак,$$ (tga+ctga)*sina*cosa=1 $$
Что и требовалось доказать
Помогите доказать тождество
(3+4cos(4A)+cos(8A))/(3-4cos(4A)+cos(8A))=ctg^(4)2A
Решение: Числитель 4cos 4a+(1+cos 8a)+2=4cos 4a+2(cos 4a)^2+2Знаменатель -4cos 4a+(1+cos 8a)+2=2(cos 4a)^2+2-4cos 4a
Для простоты обозначим cos 4a=t
4cos 4a+2(cos 4a)^2+2=2t^2+4t+2=2(t^2+2t+1)=2*(t+1)^2
2(cos 4a)^2+2-4cos 4a=2t^2-4t+2=2*(t^2-2t+1)=2(t-1)^2=2*(1-t)^2
Сокращаем на 2 и получаем ((t+1)^2)/((1-t)^2)=(1+cos 4a)^2/(1-cos 4a)^2=
(2*(cos 2a))^2)^2/(2*(cos 2a))^2)^2=(cos 2a)^4/(sin 2a)^4=(ctg 2a)^4
Здесь используется формула (1+cos 2a)=2*(cos a)^2,(1-cos 2a)=2*(sin a)^2
