как доказать тождество - страница 13
Доказать тождество: cos ^4a - sin^4a = 1 - 2 sin^2 a
Преобразовать произведение в сумму:
sin18^0*sin12^0
Решение: (cosa)^4 - (sina)^4 = ((cosa)^2 - (sina)^2) * ((cosa)^2 + (sina)^2) (разность квадратов)= cos(2a) * 1 = 1 - 2*(sina)^2
второе не очень понятно: sin18^0 - это sin 18 градусов?
sin18 * sin12 = sin(30-12) * sin12 = (sin30*cos12 - cos30*sin12) * sin12 = (1/2 * cos12 - корень(3)/2 * sin12) * sin12 = 1/2 * cos12 * sin12 - корень(3)/2 * sin12 * sin12 = 1/4 * sin24 - корень(3)/2 * (sin12)^2 = 1/4 * sin24 - корень(3)/4 * (1-cos24) =
1/4 * sin24 + корень(3)/4 * cos24 - корень(3)/4
1. Доказать тождество:
4cos^4(a)-2cos(2a)-1/2cos(4a)=3/2
2. Решить уравнение:
sin^4 xcos^2(x)-cos^4 xsin^2(x)=cos(2x)
Решение: 1. 4cos^4 α - 2cos2α -1/2(2cos²2α -1) =
=4cos^4 α - (cos²2α+2cos2α+1) +3/2 =4cos^4α -(cos2α+1)² +3/2 =
= 4cos^4 α -(2cos²α -1+1)² +3/2 = 4cos^4 α -4cos^4 α +3/2 = 3/2
2.
sin²xcos²x(cos²x - sin²x) = cos2x
sin²x·cos²x·cos2x = cos2x
cos2x(sin²x·cos²x - 1) =0
cos2x=0 ⇒ 2x = π/2 + πk ; k∈Z ⇒ x=π/4 +πk/2 ; k∈Z
sin²x·cos²x -1 = 0
(1/2 ·sin2x)²=1
1/4·sin²x =1
sinx = +/-2 нет решений. т. к.1≤x≤1
Ответ : x = π/4+πk/2 ; k∈Z
докажите тождества:
2sin(90-a)*sina=sin2a
(sina+cosa)^2=1+sin2
Решение: по формулам приведения sin(90-α)=cosα. ( так как угол (90-α) принадлежит 1 четверти, то знак будет +)а (2sinα*cosα) - формула синуса двойного угла и равна sin2α,
⇒2cosα*sinα=sin2α, что и требовалось доказать
(sinα+cosα)²=sin²α + 2sinα*cosα + cos²α
sin²α+sin²α=1(основное тригонометрическое тождество)
2sinα*cosα=sin2α
⇒(sinα+cosα)²=sin²α + 2sinα*cosα + cos²α=1 + sin2α, что и требовалось доказать
Доказать тождество:2sin(75-a)*cos(75+a)=1/2 - sin2a
Решение: Применены : формула преобразования произведения в сумму, формула приведения, нечетность синуса, его табличное значение
Доказать тождество
3 (sin^4x+cos^4x)-2 (sin^6x+cos^6x)=1
Решение: sin²α+cos²α=1
Возводим обе части равенства в квадрат
sin⁴α+2sin²αcos²α+cos⁴α=1 ⇒
sin⁴α+cos⁴α=1-2sin²αcos²α
и в куб
sin⁶α+3sin⁴αcos²α+3sin²αcos⁴α+cos⁶α=1 ⇒
sin⁶α+cos⁶α=1-3sin⁴αcos²α -3sin²αcos⁴α
Левая часть данного тождества примет вид
3·(1-2sin²αcos²α)-2·(1-3sin⁴αcos²α -3sin²αcos⁴α)=
=3-6sin²αcos²α-2+6sin⁴αcos²α +6sin²αcos⁴α=
=1-6sin²αcos²α+6sin²αcos²α( sin²α+cos²α)=1
1=1- тождество доказано
