тождество »
как доказать тождество - страница 13
Нужно доказать тождество \( x^{2} - 12x +45 = (x-15)(x+3) \)
Решение: Нужно просто раскрыть скобки в правой части тогда получаетсях2+3х-15х+45=х2-12х+45, что равно левой части.
нужно раскрыть скобки в любой из частей, тогда получится правая часть = левой части.
Я хочу раскрыть правую часть (на выбор):
х2-12х+45= (перемножаем скобки): х2+3х-15х-45
х2-12х+45=х2-12х+45
Тождество доказано.
)
Помогите доказать тождество: (tg(9пи/4)+tg(5пи/2-а))^2+(ctg(5пи/4)+ctg(пи-а))^2 = 2/sin^2(a)
Решение: (tg(9пи/4)+tg(5пи/2-а))^2+(ctg(5пи/4)+ctg(пи-а))^2 = 2/sin^2(a)
Доказательство
Преобразуем левую часть выражения
tg(9пи/4)+tg(5пи/2-а) =tg(2пи+пи/4)+tg(2пи+пи/2-а)=
=tg(пи/4)+tg(пи/2-а) =1+ctg(a)
ctg(5пи/4)+ctg(пи-а) = ctg(пи+пи/4)-ctg(а) =ctg(пи/4)-ctg(a)=
=1- ctg(a)
(tg(9пи/4)+tg(5пи/2-а))^2+(ctg(5пи/4)+ctg(пи-а))^2 =
=(1+ctg(a))^2 + (1-ctg(a))^2 = 1 + 2ctg(a) + ctg^2(a) + 1 - 2ctg(a) + ctg^2(a) =
=2 + 2ctg^2(a) = 2(1+ cos^2(a)/sin^2(a))=
=2*(sin^2(a) + cos^2(a))/sin^2(a) = 2/sin^2(a)
Нужно доказать тождество. \( \frac{(cosa+sina)^2-1}{sin^2a-cos^2a-1}+tga=0 \)
Решение: $$ \frac{(cosa+sina)^2-1}{sin^2a-cos^2a-1}+tga=0 \\ \frac{cos^2a+2sina*cosa+sin^2a-1}{sin^2a-cos^2a-sin^2a-cos^2a}+tga=0 \\ \frac{2sina*cosa}{-2cos^2a}+tga=0 \\ -\frac{sina}{cosa}+tga=0 \\ -tga+tga=0 \\ 0=0 $$
ДоказаноДоказать тождество \( A\cup (B/C)=(A\cup B)/(C/A) \)
Решение: Все во вложении, открывать картинки по порядку.
Доказательство сделано при помощи кругов Эйлера. В первых трех картинках, я поэтапно показал множество $$ A\cup (B/C) $$
В последних четырех я поэтапно показал множество $$ (A\cup B)/(C/A) $$. Так как результаты совпадают, значит и множества совпадают. Ч. Т. Д
Помогите доказать тождество \( \frac{sin \alpha +cos \alpha }{ \sqrt{2} }=cos( \alpha - \frac{ \pi }{4} ) \)
Решение: Приведем правую часть к левой по формуле:
$$ cos( \alpha - \beta )=cos \alpha *cos \beta +sin \alpha *sin \beta \\ cos( \alpha - \frac{ \pi }{4} )=cos \alpha *cos\frac{ \pi }{4}+sin \alpha *sin\frac{ \pi }{4}=cos \alpha * \frac{ \sqrt{2} }{2} +sin \alpha * \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \frac{ \sqrt{2} }{2} = \frac{ \sqrt{2}}{ \sqrt{2}* \sqrt{2}} = \frac{1}{ \sqrt{2}} $$
Поэтому:
$$ cos \alpha * \frac{ \sqrt{2} }{2} +sin \alpha * \frac{ \sqrt{2} }{2}=cos \alpha * \frac{1 }{ \sqrt{2} } +sin \alpha * \frac{1}{ \sqrt{2} }= \\ = \frac{cos \alpha }{ \sqrt{2} }+ \frac{sin \alpha }{ \sqrt{2} }= \\ = \frac{cos \alpha +sin \alpha }{ \sqrt{2} } =\frac{sin \alpha +cos \alpha }{ \sqrt{2} } $$-ч. т. д.
Помогите доказать тождество \( \frac{1-cos^2 \alpha }{sin \alpha* cos \alpha } -sin^2 \alpha (tg \alpha +ctg \alpha )=0 \)
Решение: $$ 1)1-cos^2 \alpha =sin^2 \alpha \\ \\ 2) \frac{1-cos^2 \alpha }{sin \alpha* cos \alpha }= \frac{sin^2 \alpha }{sin \alpha* cos \alpha} = \frac{sin \alpha }{cos \alpha } =tg \alpha \\ \\ 3)tg \alpha +ctg \alpha = \frac{sin \alpha }{cos \alpha } + \frac{cos \alpha }{sin \alpha } = \frac{sin^2 \alpha +cos^2 \alpha }{sin \alpha* cos \alpha } = \frac{1}{sin \alpha* cos \alpha} \\ 4)sin^2 \alpha * \frac{1}{sin \alpha *cos \alpha } = \frac{sin \alpha }{cos \alpha } =tg \alpha \\ \frac{1-cos^2 \alpha }{sin \alpha* cos \alpha } -sin^2 \alpha (tg \alpha +ctg \alpha )=0 \\ \\ \frac{sin^2 \alpha }{sin \alpha* cos \alpha} -sin^2 \alpha * \frac{1}{sin \alpha* cos \alpha} =0 \\ \\ \frac{sin \alpha }{cos \alpha } - \frac{sin \alpha }{cos \alpha } =0 \\ 0=0 $$
Sin²α/(sinαcosα)-sin²α((sin²α+cos²α)/cosαsinα)=0
sin²α/(sinαcosα)-sin²α/(sinαcosα)=0
0=0-верноПомогите доказать тождество
4cos^4a-2cos2a-1/2cos4a=3/2
Решение: Два раза применим формулу понижения степени.
В прямом виде: cos^2(a) = (1 + cos(2a))/2
cos^4(a) = cos^2(a) * cos^2(a) = (1 + 2*cos(2a) + cos^2(2a))/4
Тогда после подстановки выражение упростится до:
1 + 2*cos(2a) + cos^2(2a) - 2*cos(2a) - 0.5*cos(4a) = 1.5
1 + cos^2(2a) - 0.5*cos(4a) = 1.5
В обратном виде:
cos(2a) = 2*cos^2(a) - 1
cos(4a) = 2*cos^2(2a) - 1
Выполняем подстановку
1 + cos^2(2a) - cos^2(2a) + 0.5 = 1.5
1 + 0.5 = 1.5
1.5 = 1.5
что и требовалось доказать
Помогите доказать тождество \( \frac{x^2 +2x}{4x^2 -1}\cdot (\frac{1+x^2}{x}-(x-2))\cdot\frac{1}{x+2}-\frac{2x}{2x-1}=1 \)
Решение: Тождество - это равенство, равное при любыx значенияx переменной. В нашем случае должно было получиться так, чтобы левая и правая часть выражения оказались равными, т. е. левая часть должна быть равной 1. Однако, в xоде решения левая часть оказаалось равна -1, и выражение тождеством не является.
№3 Доказать тождество 2х²(4х²-3) (3+4х²)=32х(в шестой степени)-18х² №4 Представьте в виде произведения а) а²-вс+ав-ас б) 3а+ав²-а²в-3в №5 Задача Если длину прямоугольника уменьшить на 2 см, а ширину увеличить на 1 см, то получиться квадрат площади который на 4 см меньше площади прямоугольника найдите его сторону.
Решение: 1. 2х²(4х²-3) (3+4х²)=32х^6-18х²
(8x^4-6x^2)(3+4x^2)=32x^6-18x^2
24x^4+32x^6-18x^2-24x^4=32x^6-18x^2
32x^6-18x^2=32x^6-18x^2
2. а) a^2-bc+ab-ac = a(a+b)-c(a+b) = (a-c)(a+b)
б) 3a+ab^2-a^2b-3b = a(3-ab)+b(ab-3) = a(3-ab)-b(3-ab) = (a-b)(3-ab)
3. a - сторона квадрата.
a²+4=(a+2)(a-1)
a²+4=a²-a+2a-2
a=6 => x1 = 6 + 2 = 8 ; x2 = 6 - 1 = 5, где x1 и x2 - стороны прямоугольника.ТРИГОНОМЕТРИЯ. Доказать тождество: \( \sqrt{\frac{1+sin\alpha}{1-sin\alpha}} - \sqrt{\frac{1-sin\alpha}{1+sin\alpha}}=\\=-2tg\alpha, \:\: 90<\alpha<180 \)
Решение: √(1+sinα)/(1-sinα) - √(1+sinα)/(1-sinα) = -2tqα,90°<α<180°.
-
√(1+sinα)/(1-sinα) - √(1-sinα)/(1+sinα) =
√(1+sinα)²/(1-sinα)((1+sinα) - √(1-sinα)²/(1+sinα)(1-sinα) =
√(1+sinα)²/(1-sin²α) - √(1-sinα)²/(1-sin²α) =
√(1+sinα)²/cos²α - √(1-sinα)²/cos²α =
(1+sinα)/|cosα| - (1-sinα)/|cosα| =(1+sinα - 1+sinα)/|cosα| =
2sinα/|cosα| = 2sinα/(-cosα) = -2tqα ч. н. д.
* * * но 90°<α<180°⇒cosα<0 поэтому |cosα|= -cosα * * *
