тождество »

как доказать тождество - страница 14

  • Доказать тождество sin^6a+cos^6a + 3 sin^2 cos^2 a=1


    Решение: sin^6a+cos^6a + 3 sin^2 cos^2 a=используем формулу суммы кубов=

    =(sin^2 a + cos^2 a)( (sin^2 a)^2-sin^2 acos^2 a+(cos^2 a)^2)+3sin^2 a cos^2 a=

    =используем основное тригонометрическое тождество=

    =1*(sin^4 a-sin^2 a cos^2 a+cos^4 a)+3 sin^2 a cos^2 a=

    =sin^4 a-sin^2acos^2 a+cos^4 a+3sin^2 acos^2 a=

    =sin^4 a + 2sin^2 a cos^2 a+cos^4 a=используем формулу квадрата двучлена

    (sin^2 a +cos^2 a)^2=используем основное тригонометрическое тождество=1^2=1

  • Cos^2(a)/(tg(a/2)-ctg(a/2))=-1/sin(2a)
    tg(a+pi/4)-tg(a-pi/4)=2tg2a
    Доказать тождество.


    Решение: 1)cos²a:(sin(a/2)/cos(a/2)-cos(a/2)/sin(a/2)=cos²a:(sin²(a/2)-cos²(a/2)/sin(a/2)cos(a/2)=
    cos²a:(-2cosa/sina)=-cos²a*sina/2cosa=-(sinacosa)/2=-sin2a/4
    2)sin(a+π/4)/cos(a+π/4)-sin(a-π/4)/cos(a-π/4)=  (sin(a+π/4)cos(a-π/4)-sin(a-π/4)cos(a+π/4))/cos(a+π/4)cos(a-π/4)=
    (sin(a+π/4-a+π/4)):1/2(cos(a+π/4-a+π/4)+cos(a+π/4+a-π/4)=
    sinπ/2:1/2(cosπ/2+cos2a)=2/cos2a

  • Доказать тождество \( \frac{Cos( \alpha - \beta )}{Cos( \alpha + \beta) } = \frac{ctg \alpha *ctg \beta +1}{ctg \alpha *ctg \beta -1} \)


    Решение: $$ \dfrac{\mathrm{ctg}\,\alpha\,\mathrm{ctg}\,\beta+1}{\mathrm{ctg}\,\alpha\,\mathrm{ctg}\,\beta-1}=\dfrac{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\frac{\cos\beta}{\sin\beta}+1}{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\frac{\cos\beta}{\sin\beta}-1}=\dfrac{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}=\dfrac{\cos(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} $$

    $$ \frac{ctga*ctgb+1}{ctga*ctgb-1}=\frac{\frac{cosa}{sina}*\frac{cosb}{sinb}+1}{\frac{cosa}{sina}*\frac{cosb}{sinb}-1}=\frac{cosacosb+sinasinb}{cosacosb-sinasinb}\\\\ \frac{cos(a-b)}{cos(a+b)} = \frac{cosacosb+sinasinb}{cosacosb-sinasinb} $$
     Верно 

  • Доказать тождества:
    1. cos36=√5/4+1/4
    2. sin18=√5/4-1/4
    3. ctg10ctg50ctg70=ctg30
    4. sin10sin30sin50sin70=1/16
    5. sin(3π/10)-sin(π/10)=0.5


    Решение: sin18=sin(90-72)=cos72
    sin54=sin(90-54)=cos36, пусть 18°=х, тогда
    sin3x=cos2x
    3sinx-4sin³x=1-2sin²x, пусть sinx=t, тогда
    3t-4t³=1-2t²
    4t³-2t²-3t+1=0 (один из корней равен 1, чтобы найти остальные можно воспользоваться схемой Горнера или делением столбиком)
    4t²+2t-1=0
    D=4+16=20=(2√5)²
    t₁=(-2+2√5)/8=-1/4 + √5/4
    t₂.
    Обратная замена: t=sinx=sin18
    sin18= √5/4 - 1/4 
    cos18=√(1-sin²18)=√(1-(√5/4 - 1/4)²)=√((5+√5)/8)
    cos36=2cos²18-1=(2*(5+√5)/8)-1=(1+√5)/4=√5/4 + 1/4

  • Докажите тождества:

    а)(1-cos2x)/(1+cos2x) = tg^2x


    Решение: a) пользуемся формулой двойного угла)

    cos2x=cos(квадрат)x-sin(квадрат)x

    1-(cos(квадрат)x-sin(квадрат)x)\1+ cos(квадрат)x-sin(квадрат)x=

    =1-cos(квадрат)x+sin(квадрат)x\1+ cos(квадрат)x-sin(квадрат)x=

    основное тригонометрическое тождество

     cos(квадрат)x+sin(квадрат)x=1

    следовательно

     1-cos(квадрат)x= sin(квадрат)x 

     2sin(квадрат)x\2cos(квадрат)x двойки сокращаем и получается tg(квадрат)x

<< < 121314 15 16 > >>