тождество »
как доказать тождество - страница 14
Помогите доказать тождество \( \sqrt{x^2-9x+20}\leq\sqrt{x-1}\leq\sqrt{x^2 - 13} \)
Решение: Первое что следует сделать - это найти область определения. Все выражения под корнем должны быть ≥0
1) x²-9x+20≥0
D=9²-4*20=1
x₁=(9-1)/2=4 x₂=(9+1)/5
(x-4)(x-5)≥0
x≤4, x≥5
2) x-1≥0
x≥1
3) x²-13≥0
(x-√13)(x+√13)≥0
x≤-√13, x≥√13
объединение этих условий дает √13≤х≤4 и х≥5
теперь возведем все неравенства в квадрат
x²-9x+20≤x-1≤x²-13
1)x²-9x+20≤x-1
x²-9x+20-x+1≤0
x²-10x+21≤0
D=10²-4*21=16
x₁=(10-4)/2=3 x₂=(10+4)/2=7
(x-3)(x-7)≤0
3≤x≤7
2)x-1≤x²-13
x²-13-x+1≥0
x²-x-12≥0
D=1+4*12=25
x₁=(1-5)/2=-2 x₂=(1+5)/2=3
(x-3)(x+2)≥0
x≤-2, x≥3
объединяем 1) и 2) получаем 3≤х≤7
сравниваем это с областью определения
получаем √13≤х≤4 и 5≤х≤7
или х∈[√13;4] и x∈[5;7]
Помогите доказать тождество \( \frac{sin^4\alpha - sin^2\alpha+cos^2\alpha}{cos^4\alpha-cos^2\alpha+sin^2\alpha}=ctg^4\alpha \)
Решение: $$ \frac{sin ^{2}a(sin ^{2}a-1) +cos ^{2} a }{cos ^{2} a(cos ^{2}a-1) +sin ^{2}a } = ctg ^{4} a \\ \frac{-sin ^{2}a*cos ^{2}a +cos ^{2} a }{-cos ^{2}a*sin ^{2}a+sin ^{2}a }=ctg ^{2} a \\ \frac{cos ^{2}a(1-sin ^{2}a) }{sin ^{2}a(1-cos ^{2}a) } =ctg ^{2} a \\ \frac{cos ^{4}a }{sin ^{4} a} =ctg ^{4} a $$
ctg⁴a=ctg⁴a
доказать тождество
cos 2x - cos 3x - cos 4x + cos 5x = -4 sin \( \frac{x}{2} \) cos \( \frac{7x}{2} \) sin x
Решение: cos5x+cos2x=2cos7/2xcos3/2xcos3x+cos4x=2cos7/2xcosx/2
2cos7/2x(cos3/2x-cosx/2)=-4cos7/2xsinxsinx/2
Здесь для начала сгруппируем первое с четвёртым, второе с третьим слагаемые:
(cos 2x + cos 5x) - (cos 3x + cos 4x)
В скобках получились суммы, преобразуем их в произведения:
2cos 7x/2 cos 3x/2 - 2cos 7x/2 cos x/2
Теперь вынесем за скобки 2 cos 7x/2:
2cos 7x/2 (cos 3x/2 - cos x/2)
Вновь преобразуем сумму в скобках в произведение:
2cos 7x/2 * -2sin 2x sin x = -4cos 7x/2 sin x sin x/2
Помогите доказать тождество тригонометрия 1)\(tg^2t - sin^2t = tg^2t sin^2t \)
2) \( \frac{sin^3t+cos^3t}{1-sint cost}=sint + cost \)
Решение: Tg^2x-sin^2x=sin^2x/cos^2x - sin^2x=sin^2x(1/(cos^2x) -1)
т. к. по тождеству:
tg^2x+1=1/cos^2x, то 1/(cos^2x) - 1 = tg^2x
Следовательно: sin^2x(1/(cos^2x) -1)=sin^2x*tg^2x, что и требовалось доказать
второй пример
(sin^3t+cos^3t)/(1-sintcost)=(sint+cost)(sin^2t-sintcost+cos^2t)/(1-sintcost)=
(sint+cost)(1-sintcost)/(1-sintcost)=sint+cost доказано
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
sin^2t+cos^2t=1
Помогите доказать тождество \( \frac{1+ctg2\alpha}{1-ctg2\alpha}=\frac{sin(2\alpha +\frac{\pi}{4})}{sin(2\alpha -\frac{\pi}{4})} \)
Решение: Числитель 1 дроби 1 + Ctg 2a = 1 + Co2a/Sin2a = (Sin 2a +Cos 2a)/Sin 2a
знаменатель 1 дроби 1 - Ctg 2a = 1 - Cos 2a/Sin 2a = (Sin 2a - Cos 2a)/Sin 2a
После сокращения останется: (Sin 2a +Cos 2a)/ (Sin 2a - Cos 2a)
Числитель 2 дроби = Sin 2a Cos π/4 + Cos 2a Sinπ/4 = √2/2( Sin 2a + Cos 2a)
Знаменатель 2 дроби = Sin 2a Cos π/4 -Cos 2a Sinπ/4 =√2/2( Sin 2a - Cos 2a)
После сокращения останется :(Sin 2a +Cos 2a)/ (Sin 2a - Cos 2a)Помогите доказать тождество \( \frac{4cos^2\alpha}{ctg\frac{\alpha}{2}-tg\frac{\alpha}{2}} = sin2\alpha\)
Решение: $$ \frac{4cos ^{2} \alpha }{ctg \frac{ \alpha }{2} -tg \frac{ \alpha }{2} } = \frac{4(cos ^{2} \frac{ \alpha }{2} -sin ^{2} \frac{ \alpha }{2}) }{ \frac{cos \frac{ \alpha }{2} }{sin \frac{ \alpha }{2} }- \frac{sin \frac{ \alpha }{2} }{cos \frac{ \alpha }{2} } } = \\ =\frac{4(cos ^{2} \frac{ \alpha }{2} -sin ^{2} \frac{ \alpha }{2}) }{ \frac{cos ^{2} \frac{ \alpha }{2} -sin ^{2} \frac{ \alpha }{2} }{sin \frac{ \alpha }{2} cos \frac{ \alpha }{2} } } = \\ ==4sin \frac{ \alpha }{2} cos \frac{ \alpha }{2}=2sin \alpha $$
Нужно доказать тождество, с ПОЛНЫМ решением \( cos4\alpha + 1=\frac{1}{2}sin4\alpha(ctg\alpha-tg\alpha) \)
Решение: Рассмотрим правую часть:
Сначала посчитаем то, что в скобках:
ctgx - tgx = cosx/sinx - sinx/cosx = (cos^2(x) - sin^2(x))/(sin(x)*cos(x)) =
2*cos(2x)/sin(2x)
Теперь то, что вне скобок:
(1/2) * sin4x = sin(2x)*cos(2x)
перемножаем оба результата, получаем:
2*cos^2(2x)
Теперь левая часть:
cos4x + 1 = 1 + cos^2(2x) - sin^2(2x) = (1 - sin^2(2x)) + cos^2(2x) = 2*cos^2(2x)
Обе части равны, тождество доказано
№3 Доказать тождество
2х²(4х²-3) (3+4х²)=32х(в шестой степени)-18х²
№4 Представьте в виде произведения
а) а²-вс+ав-ас
б) 3а+ав²-а²в-3в
№5 Задача
Если длину прямоугольника уменьшить на 2 см, а ширину увеличить на 1 см, то получиться квадрат площади который на 4 см меньше площади прямоугольника найдите его сторону.
Решение: 3) Чтобы доказать тождество, нужно его решить.
2x^2((4x^2)^2 - 9) = 2x^2 (16x^4-9)
В левой части сворачиваем скобки в разницу квадратов, а в правой выносим общий множитель за скобки. Левая и правая часть выражения равны, тождество доказано.
4) a(a-c) + b(a-c)=(a+b)(a-c) для начала переставляем слагаемые, а потом выносим общие множители.
тот же самый метод: 3a(1-ab)+3b(1-ab)=3(1-ab)(a+b)
5) За х сторону прямоугольника, за у высоту.
тогда если x-2 и y+1 получится квадрат. Составим ураBнение
(x-2)(y+1)=xy-4
Т. к. получился квадрат, значит, его стороны равны. Приравниваем
x-2=y+1, x=y+3. Выражаем икс, подставляем в уравнение выше
x-2y=-2, y+3-2y=-2, y=5 сторона прямоугольника, x=8 другая сторона прямоугольника
8-2=6 сторона квадрата.Доказать тождество tgα+tg2α-tg3α=-tgα*tg2α*tg3α
Решение: Tgα+tg2α-tg3α=-tgα*tg2α*tg3α
tgα-tg3α=sin(α-3α)/(cosα*cos3α)=-sin2α/(cosα*cos3α)
tgα+tg2α-tg3α=sin2α/cos2α-sin2α/(cosα*cos3α)=
=sin2α(1/cos2α-1/(cosα*cos3α))
1/cos2α-1/(cosα*cos3α)=(cosα*cos3α-cos2α)/(cosα*cos2α*cos3α)=(1/2*(cos2α+cos4α)-cos2α)/(cosα*cos2α*cos3α)=(cos4α-cos2α)/(2cosα*cos2α*cos3α)=(-2sin3αsinα)/(2cosα*cos2α*cos3α)=-tgα*(1/cos2α)*tg3α
sin2α(1/cos2α-1/(cosα*cos3α))=sin2α*(-tgα*(1/cos2α)*tg3α)=-tgα*tg2α*tg3α, ч. т. д.
доказать тождество \( \frac{1-2cos^2\alpha}{sin\alpha cos\alpha}=tg\alpha-ctg\alpha \)
Решение: Лучше доказывать такие тождества так. Преобразовать наиболее сложную часть тождества, приведя её к более простой. Поработаем с левой частью.
Замечаем, что 1 - 2cos^2 a = -cos 2a
sin a * cos a = 1/2 sin 2a
Теперь перепишем левую часть с учётом этих преобразований:
-cos 2a / 1/2 sin 2a = -2 * ctg 2a
А теперь как это выражение можно привести к правой части, пока оставим её как есть, преобразуем правую часть.
Распишем тангенс и котангенс по определению
tg a - ctg a = sin a/cos a - cos a/sin a = (sin^2 a - cos^2 a)/sin a * cos a
А теперь, замечаем, что sin^2 a - cos^2 a = -cos 2a!
Получаем:
-cos 2a / 1/2 sin 2a = -2ctg 2a
Таким образом, привели правую часть к виду левой. Тождество доказано.
