тождество »

как доказать тождество - страница 16

  • 1) sin 2t * ctg t - 1 - упростить
    2) ( sin t - cos t) в квадрате = 1 - sin 2t ; - доказать тождество
    2cos в квадрате t = 1 + cos 2t


    Решение: 1) sin2t*ctgt -1 = 2sint*cost*cost/sint - cosв квадратеt - sinв квадратеt = 2cosв квадратеt - sinв квадратеt - cosв квадратеt = cosв квадратеt - sinв квадратеt = cos2t

    2) ( sin t - cos t) в квадрате = 1 - sin 2t

         sinв квадратеt - 2sint*cost +cosв квадратеt = 1 - sin2t

         1 - sin2t = 1 - sin2t

    3) cos в квадрате t = 1 + cos 2t

         формула понижения степени

         2*(1 + cos2t)/2 = 1 + cos2t

          1 +cos2t = 1 + cos2t

  • Доказать тождества:
    \( sin( \frac{ \pi }{2} +3 \alpha )/ 1-sin(3 \alpha - \pi )=\\= ctg( \frac{5}{4} \pi + \frac{3}{2} \alpha ) \)
    2sin²(3π-2α)cos²(5π+2α)=1/4-1/4sin(5/2π-8α)


    Решение: Скобки надо было в знаменателе поставить
    Синус - функция нечетная⇒sin(-α)=-sinα
    cos2α=cos^2(α)-sin^2(α); sin2α=2sinαcosα; 1=sin^2α+cos^2α
    ctg(x+y)=(ctgx*ctgy-1)/(ctgx+ctgy)
    1) sin(π/2+3α)=cos3α - по формулам привидения
    cos3α=cos^2(3α/2)-sin^2(3α/2)=(cos(3α/2)-sin(3α/2))(cos(3α/2)+sin(3α/2)) - результат в числителе
    sin(3α-π)=sin(-(π-3α))=-sin(π-3α)=-sin3α - по формулам привидения
    1-sin(3α-π)=1+sin3α=sin^2(3α/2)+2sin(3α/2)cos(3α/2)+cos^2(3α/2)=
    =(cos(3α/2)+sin(3α/2))^2 - результат в знаменателе
    Разделим числитель на знаменатель, получим слева:
    (cos(3α/2)-sin(3α/2))/(cos(3α/2)+sin(3α/2))
    Теперь разделим числитель и знаменатель почленно на sin(3α/2):
    ((ctg(3α/2)-1)/(1+ctg(3α/2))
    ctg(5π/4+3α/2)=(ctg5π/4*ctg3α/2-1)/(ctg5π/4+ctg3α/2)
    ctg5π/4=ctg(π+π/4)=ctgπ/4=1 - по формулам привидения⇒
    ctg(5π/4+3α/2)=(ctg3α/2-1)/(1+ctg3α/2)
    Видим, что результат слева равен результату справа
    Тождество доказано.

  • Докажите тождества
    \( \frac{1-tg^{2}(45 -a)}{1+tg^{2}(45-a)}=sin2a \)


    Решение: $$ tg( \alpha \pm \beta )= \frac{tg \alpha \pm tg \beta }{1\mp tg \alpha tg \beta } \\\ tg( 45-a )= \frac{tg45-tg a}{1+tg 45tg a} = \frac{1-tg a}{1+tg a} \\ \frac{1-tg^{2}(45 -a)}{1+tg^{2}(45-a)}= \cfrac{1- (\frac{1-tg a}{1+tg a})^2 }{1+(\frac{1-tg a}{1+tg a})^2}= \cfrac{1- \frac{1-2tg a+tg^2a}{1+2tg a+tg^2a} }{1+\frac{1-2tg a+tg^2a}{1+2tg a+tg^2a}}= \\\ =\cfrac{\frac{1+2tg a+tg^2a-1+2tg a-tg^2a}{1+2tg a+tg^2a} }{\frac{1+2tg a+tg^2a+1-2tg a+tg^2a}{1+2tg a+tg^2a}}=\\= \frac{1+2tg a+tg^2a-1+2tg a-tg^2a}{1+2tg a+tg^2a+1-2tg a+tg^2a}= \frac{4tg a}{2+2tg^2a}= \\\ =\frac{2tg a}{1+tg^2a}= \frac{2sina}{cosa} \cdot cos^2a=2 sinacosa=sin2a $$

  • Доказать тождество:
    косинус квадрат 75 + синус квадрат 75 = 1
    пж


    Решение: $$ cos ^{2} \alpha +sin ^{2} \alpha =1 $$
    основное тригонометрическое тождество выполняется при любом α∈(0;90°)
    Доказывается по теореме Пифагора.
    На единичной окружности  углу α соответствуют две координаты
    х=сosα
    y=sinα
    Это катеты прямоугольного треугольника, а гипотенуза равна радиусу, т. е равна 1

  • Доказать тождество
    \( \frac{b}{a-b} - \frac{a^{2} - b^{2} }{a + 3b} * ( \frac{a+b}{(a-b)^{2}} + \frac{b}{a^{2} - b^{2}} ) = 1 \)


    Решение: $$ \frac{b}{a-b} - \frac{ a^{2} -b ^{2} }{a+3b} *( \frac{a+b}{(a-b)^{2}} +\frac{b}{a ^{2} -b ^{2} })= \\ \frac{b}{a-b} - \frac{ a^{2} -b ^{2} }{a+3b}* \frac{(a+b)^{2}+b(a-b)}{(a-b)^{2}*(a+b)} = \\ \frac{b}{a-b} - \frac{ a^{2} -b ^{2} }{a+3b}* \frac{a ^{2}+2ab+b ^{2} +ab-b^{2} }{(a-b)^{2}*(a+b)}= \\ \frac{b}{a-b} - \frac{ a^{2} -b ^{2} }{a+3b}* \frac{a ^{2}+3ab }{(a-b)^{2}*(a+b)}= \\ \frac{b}{a-b} - \frac{ a^{2} -b ^{2} }{a+3b}* \frac{a (a+3b) }{(a^{2}-b^{2})*(a-b)}= \\ \\ \frac{b}{a-b} - \frac{a}{a-b} = \frac{b-a}{a-b} =-1 \\ $$

<< < 141516 17 18 > >>