как доказать тождество - страница 17
1. Доказать тождество: (a+b)>2-(c+d)>2+(a+c)>2-(b+d)>2=2*(a-d)(a+b+c+d)
2. Моторная лодка из A в B идёт в течении 3 часов а обратно 5 часов. За сколько часов поплывёт плот от A до B?
3. Определите площадь равнобокой трапеции, высота которой равна h и диагонали трапеции взаимоперпендикулярны.
Решение:(a+b)^2-(c+d)^2+(a+c)^2-(b+d)^2=2ab-2cd+2ac-2bd+a^2+b^2-c^2-d^2+a^2+c^2-b^2-d^2=
=2a(b+c)-2d(b+c)+2a^2-2d^2=2(a-d)(b+c)+2(a^2-d^2)=2(a-d)(b+c+a+d)
Доказать тождества \(\frac{2sin( \frac{ \pi }{3}+ \alpha ) }{cos \alpha } = \sqrt{3} +tg \alpha \)
\( \frac{sin( \frac{ \pi }{2}+ \alpha )+ctg( \pi + \alpha ) }{-tg( \frac{3 \pi }{2} + \alpha )} = sin \alpha +1 \)
\( \frac{2sin (\frac{ \pi }{6}- \alpha ) }{cos \alpha } = 1- \sqrt{3} tg \alpha\)
Решение: $$ \frac{2sin( \frac{ \pi }{3}+ \alpha ) }{cos \alpha } = \frac{2(sin \frac{ \pi }{3}cos \alpha +cos \frac{ \pi }{3} sin\alpha ) }{cos \alpha } = \frac{2( \frac{ \sqrt{3} }{2} cos \alpha + \frac{ 1}{2} sin\alpha ) }{cos \alpha } = \\ \frac{ \sqrt{3} cos \alpha }{cos \alpha }+\frac{ sin\alpha }{cos \alpha } = \sqrt{3} +tg \alpha \\ \frac{sin( \frac{ \pi }{2}+ \alpha )+ctg( \pi + \alpha ) }{-tg( \frac{3 \pi }{2} + \alpha )} = \frac{cos\alpha +ctg\alpha }{ctg\alpha }=\frac{cos\alpha }{ctg\alpha }+\frac{ctg\alpha }{ctg\alpha }=sin \alpha +1 \\ \frac{2sin (\frac{ \pi }{6}- \alpha ) }{cos \alpha } =\\= \frac{2(sin \frac{ \pi }{6}cos \alpha -cos \frac{ \pi }{6}sin \alpha ) }{cos \alpha } =\\= \frac{2( \frac{1}{2} cos \alpha - \frac{ \sqrt{3} }{2}sin \alpha ) }{cos \alpha } =\frac{ cos \alpha - \sqrt{3} sin \alpha }{cos \alpha } = \\ 1- \sqrt{3} tg \alpha $$
1. $$ \frac{2sin ( \frac{ \pi }{3}+ \alpha )}{cos \alpha } = \frac{2(sin \frac{ \pi }{3}*cos \alpha+sin \alpha *cos\frac{ \pi }{3})}{cos \alpha } =\\= \frac{2(sin 60*cos \alpha+sin \alpha *cos60)}{cos \alpha } = $$
=$$ \frac{2(\frac{ \sqrt{3}}{2}*cos \alpha+sin \alpha * \frac{1}{2} )}{cos \alpha } = \frac{ \sqrt{3}*cos \alpha }{cos \alpha } + \frac{ sin \alpha }{cos \alpha } = \sqrt{3}+tg \alpha $$
2. $$ \frac{sin ( \frac{ \pi }{2}+ \alpha )+ctg( \pi + \alpha )}{-tg( \frac{3 \pi }{2}+ \alpha ) } = \frac{cos \alpha+ctg \alpha }{-(-ctg \alpha)}=\frac{cos \alpha}{ctg \alpha}+\frac{ctg \alpha }{ctg \alpha}=sin \alpha +1 $$
3. $$ \frac{2sin ( \frac{ \pi }{6}- \alpha )}{cos \alpha }= \frac{2(sin \frac{ \pi }{6}*cos \alpha-sin \alpha *cos\frac{ \pi }{6})}{cos \alpha }=\\= \frac{2(sin30*cos \alpha-sin \alpha *cos30)}{cos \alpha }= $$
=$$ \frac{2( \frac{1}{2}*cos \alpha-sin \alpha * \frac{ \sqrt{3}}{2} )}{cos \alpha }= \frac{cos \alpha }{cos \alpha } - \frac{ \sqrt{3} sin \alpha }{cos \alpha } =1- \sqrt{3} tg \alpha $$(с-8)(с+3)=с в квадрате -5с-24 доказать тождество
Решение: Раскроем скобки, для этого каждое число из первой скобки умножим на каждое число из второй скобки:
c^2 + 3c - 8c + 24 = c^2 - 5c - 24
Перенесём всё влево:
8c + 16 = 0
8c = - 16
c = -2
Теперь подставим "-2" в выражение и докажем тождество:
(-2 - 8) (-2 + 3) = -2^2 - 5 * (-2) - 24
-10 * 1 = 4 +10 - 24
-10 = - 10
Тождество доказаноНужно доказать тождество (левая и правая часть равны друг другу)
\(cos^2(\alpha - \beta)-sin^2(\alpha + \beta)=cos2\alpha cos2\beta; \\ sin3\alpha = 3sin\alpha - 4 sin^3\alpha \)
Решение: a) cos^2(a-b) - sin^2(a+b) =
= (cos(a-b) - sin(a+b))(cos(a-b) + sin(a+b)) =
= (cos a*cos b + sin a*sin b - sin a*cos b - cos a*sin b) *
* (cos a*cos b + sin a*sin b + sin a*cos b + cos a*sin b) =
= (cos b*(cos a - sin a) + sin b*(sin a - cos a)) *
* (cos b*(cos a + sin a) + sin b*(sin a + cos a)) =
= (cos b - sin b)(cos a - sin a)(cos b + sin b)(cos a + sin a) =
= (cos a - sin a)(cos a + sin a)*(cos b - sin b)(cos b + sin b) =
= (cos^2 a - sin^2 a)(cos^2 b - sin^2 b) = cos 2a*cos 2b
b) sin 3a = sin(a + 2a) = sin a*cos 2a + cos a*sin 2a =
= sin a*(cos^2 a - sin^2 a) + cos a*2sin a*cos a =
= sin a*cos^2 a - sin^3 a + 2sin a*cos^2 a =
= 3sin a*cos^2 a - sin^3 a = 3sin a*(1 - sin^2 a) - sin^3 a =
= 3sin a - 3sin^3 a - sin^3 a = 3sin a - 4sin^3 a
3x(1-2x)(2x+1)=3x-12x в третей степени. Надо доказать тождество :3
Решение: 3х(1-2х)(2х+1) = 3х(1-2х)(1+2х)=3х(1-4х²)=3х-12х³
ДоказаноРаскроем скобки в левой части:
3x(1-2x)(2x+1)=3x-12x³
(3х-6х²)(2х+1)=3х-12х³
6х²+3х-12х³-6х²=3х-12х³
3х-12х³=3х-12х³ТРИГОНОМЕТРИЯ(тождество)
\( sin \alpha +cos \alpha -sin( \alpha -\frac{ \pi}{6} )+ cos(\alpha-\frac{\pi}{6})=\\= \sqrt{6}cos(\alpha-\frac{\pi}{12}) \)
Нужно доказать тождество
Решение: [sina-sin(a-π/6)]+[cosa+cos(a-π/6)]=
=2sin(π/12)cos(a-π/12)+2cos(π/12)cos(a-π/12)=
=2cos(a-π/12)*(sinπ/12+cosπ/12)=2cos(a-π/12)*(sinπ/12+sin5π/12)=
=2cos(a-π/12)*2sinπ/4*cosπ/6=4*√2/2*√3/2*cos(a-π/12)=√6cos(a-π/12)
√6cos(a-π/12)=√6cos(a-π/12)
Всё решаем по формулам.
Доказать тождество \( \frac{(cos \alpha -sin \alpha ) ^{2}+(cos \alpha +sin \alpha ) ^{2} }{2} -sin ^{2} \alpha =\\=ctg \alpha * cos \alpha *sin \alpha \)
Решение: $$ (cos \alpha -sin \alpha) ^{2} +(cos \alpha+sin \alpha) ^{2} = cos^{2} \alpha -2cos \alpha sin \alpha + sin^{2} \alpha + \\ + cos^{2} \alpha +2cos \alpha sin \alpha + sin^{2} \alpha=2cos^{2} \alpha+2sin^{2} \alpha = 2(cos^{2} \alpha+sin^{2} \alpha)=2 \\ 2/2=1\\ 1-sin ^{2} \alpha =cos ^{2} \alpha \\ ctg \alpha = \frac{cos \alpha }{sin \alpha } \\ \frac{cos \alpha }{sin\alpha} *cos \alpha*sin \alpha=cos ^{2} \alpha \\ cos ^{2} \alpha =cos ^{2} \alpha $$ Доказано
Нужно доказать тождество:
подробно объясните (распишите)
а"4 - в"4 1
- = -
((а+в)"2-4ав)((а-в)"2-4ав)((а+в)"2-2ав) а"2 -в"2
Решение: (а+в)^2 - (а-в)^2=4ав, применяем формулу(а^2+2aв+в^2)-(a^2-2aв+в^2) Теперь раскрываем скобки, при этом во второй скобке знаки меняются на противоположные т. к. перед скобкой знак минусa^2+2aв+в^2-a^2+2aв-в^2=4aв, появились одинаковые множители с противоположными знаками, их вычеркиваем и остается:2ав+2ав=4ав, складываем 4ав=4ав ч. т. д.
