тождество »

как доказать тождество - страница 18

  • Доказать тождество:
    cos(α+β)*cos(α-β)=cos²α-sin²β


    Решение: Cos(α+β)*cos(α-β)=cos²α-sin²β
    (cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β))*cos(α+β)=cos²α-cos²β
    (cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β))*(cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β))=cos²α-sin²β
    (cos²(α)cos²(β)-sin²(α)sin²(β))=cos²α-sin²β
    cos²αcos²β-(1-cos²α)(1-cos²β)=cos²α-sin²β
    cos²αcos²β-1+cos²α+cos²β-cos²αcos²β=cos²α-sin²β
    -1+cos²α+cos²β=cos²α-sin²β
    -1+cos²α+cos²β=cos²α-(1-cos²β)
    -1+cos²α+cos²β=cos²α+cos²β-1
      ч. т. д

  • Доказать тождество:
    2sin2a-sin4a/2sin2a+sin4a=tg^2


    Решение: 2sin2a-sin4a/2sin2a+sin4a = 2sin2a-2sin2acos2x/2sin2a+2sin2acos2a=2sin2a(1-cos2a)/3sin2a(1+cos2a) = (1-cos2a)/(1+cos2a)=(1-(1-2sin²a))/(1+(2cos²a-1))=2sin²a/2cos²a= tg²a
    sin 2x=2 sinx cosx
    cos2x=2cos²-1= 1-2sin²x

    $$ \frac{2sin2a-sin4a}{2sin2a+sin4a} = \frac{2sin2a-2sin2acos2a}{2sin2a+2sin2acos2a} = \\ \frac{2sin2a(1-cos2a)}{2sin2a(1+cos2a} = \frac{1-cos2a}{1+cos2a}= \\ \frac{sin^{2}a+cos^{2}a-cos^{2}a+sin^{2}a}{sin^{2}a+cos^{2}a+cos^{2}a-sin^{2}a} = \\ \frac{2sin^{2}a}{2cos^{2}a} =tg^{2}a $$

  • доказать тождество:

    х²+14x+48=(x+8)(x+6)


    Решение: решаем то, что стоит в левой части:

    D=196-192=4

    x=(-14+-2)/2

    x1=-8

    x2=-6

    есть формула разложения квадратного трехчлена: а(x-x1)(x-x2)

    в нашем случае a=1

    вот и получаем: (х+8)(х+6)=(x+8)(x+6)

     х²+14x+48=(x+8)(x+6) 

    Преобразуем левую часть. Найдем дискриминант: 

     х²+14x+48=0

    D/4 = 49 - 48 = 1

    x1= -7 +1 = -6

    x2=-7-1 = -8

    Отсюда 

    х²+14x+48 = (х+6)(х+8)

    Значит

     х²+14x+48=(x+8)(x+6) 

    Чтд.

  • . Доказать тождество \( \cfrac{(sin \alpha -cos \alpha )^2-1}{tg \alpha -sin \alpha cos \alpha } = -2ctg^2 \alpha\)


    Решение: ==================================

    $$ \cfrac{(sin \alpha -cos \alpha )^2-1}{tg \alpha -sin \alpha cos \alpha } = \cfrac{sin ^2\alpha+cos^2 \alpha -2sin \alpha cos \alpha -1}{ \frac{sin \alpha }{cos \alpha } -sin \alpha cos \alpha } = \\\ = \cfrac{1 -2sin \alpha cos \alpha -1}{ \frac{sin \alpha-sin \alpha cos^2 \alpha }{cos \alpha } } = \cfrac{ -2sin \alpha cos \alpha \cdot cos \alpha }{ sin \alpha(1-cos^2 \alpha ) } = \cfrac{ -2 cos^2\alpha }{1-cos^2 \alpha}= \\\ =\cfrac{-2 cos^2\alpha }{ sin^2 \alpha } =-2ctg^2 \alpha $$

  • Доказать тождество \( \frac{2\cos 2\alpha-\sin4\alpha}{2\cos2 \alpha+\sin4 \alpha}= tg^2(\frac{\pi}{4}-\alpha)\)


    Решение: $$ \frac{2\cos 2\alpha-\sin4\alpha}{2\cos2 \alpha+\sin4 \alpha}=\frac{2\cos2\alpha-2\sin2\alpha\cos2\alpha}{2\cos2\alpha+2\sin2\alpha\cos2\alpha}=\frac{2\cos2\alpha(1-\sin2\alpha)}{2\cos2\alpha(1+\sin2\alpha)}=\frac{1-\sin2\alpha}{1+\sin2\alpha} \\\ tg^2(\frac{\pi}{4}-\alpha)=\frac{\sin^2(\frac{\pi}{4}-\alpha)}{\cos^2(\frac{\pi}{4}-\alpha)}=\frac{1-\cos(\frac{\pi}{2}-2\alpha)}{1+\cos(\frac{\pi}{2}-2\alpha)}=\frac{1-\sin2\alpha}{1+\sin2\alpha} $$
    Преобразованные выражения равны между собой, значит и исходные выражения также равны между собой

<< < 161718 19 20 > >>