тождество »

как доказать тождество - страница 23

  • Доказать тождество \( (\frac{sin( \pi -3 \alpha )-cos( \frac{3 \pi }{2} + \alpha ))(sin( \frac{ \pi }{2} +3 \alpha )+cos( \pi + \alpha ))}{1+cos( \pi -2 \alpha )} = -sin4 \alpha \)


    Решение: (sin3a-sina)(cos3a-cosa)/(1-cos2a)=
    =(sin3acos3a-sin3acosa-sinacos3a+sinacosa)/(1-cos2a)=
    =[(1/2*sin6a+1/2*sin2a)-sin(3a+a)]/(1-cos2a)=
    =[1/2(sin6a+sin2a)-sin4a]/(1-cos2a)=
    =(1/2*2sin4acos2a-sin4a)/(1-cos2a)=(sin4acos2a-sin4a)/(1-cos2a)=
    =-sin4a(1-cos2a)/(1-cos2a)=-sin4a
    -sin4a=-sin4a

    $$ (\frac{sin( \pi -3 \alpha )-cos( \frac{3 \pi }{2} + \alpha ))(sin( \frac{ \pi }{2} +3 \alpha )+cos( \pi + \alpha ))}{1+cos( \pi -2 \alpha )} = \ -sin4 \alpha \\ \frac{(sin3 \alpha -sin \alpha )(cos3 \alpha -cos \alpha )}{1-cos2 \alpha } = - sin4 \alpha \\ \frac{-4cos2 \alpha sin \alpha sin2 \alpha sin \alpha }{2sin^2 \alpha } = - sin4 \alpha \\ \frac{-2sin4 \alpha sin^2 \alpha }{2sin^2 \alpha } =- sin4 \alpha \\ -sin4 \alpha = - sin4 \alpha $$

  • Доказать тождество \( \frac{1+cos \frac{ \alpha }{2}-sin \frac{ \alpha }{2} }{1-cos \frac{ \alpha }{2} -sin \frac{ \alpha }{2} } = -ctg \frac{ \alpha }{4}\)


    Решение: $$ 1+cos \frac{ \alpha }{2}=2cos ^{2} ( \frac{ \alpha }{4}) \\ \\ 1-cos \frac{ \alpha }{2}=2sin ^{2} ( \frac{ \alpha }{4}) \\ \\ sin \frac{ \alpha }{2}=2sin \frac{ \alpha }{4} cos \frac{ \alpha }{4} \\ \frac{1+cos \frac{ \alpha }{2}-sin \frac{ \alpha }{2} }{1-cos \frac{ \alpha }{2} -sin \frac{ \alpha }{2} } = \\ \\ =\frac{2cos ^{2}( \frac{ \alpha }{4})-2sin \frac{ \alpha }{4} cos \frac{ \alpha }{4} }{2sin ^{2}( \frac{ \alpha }{4})-2sin \frac{ \alpha }{4} cos \frac{ \alpha }{4} } = \\ \\ =\frac{2cos ( \frac{ \alpha }{4})(cos \frac{ \alpha }{4} -sin \frac{ \alpha }{4}) }{2sin( \frac{ \alpha }{4})(sin \frac{ \alpha }{4}- cos \frac{ \alpha }{4} )} =ctg \frac{ \alpha }{4} $$

  • Доказать тождество
    сos^4a-sin^4a=cos2a


    Решение: сos⁴a-sin⁴a=(cos²a)²-(sin²a)=
    раскладываем по формуле разности квадратов =(cos²a-sin²a)(cos²a+sin²a)=cos2a*1=cos2a
    cos2a=cos2a, что и требовалось доказать
    P.s.
    cos²a-sin²a=cos2a - по формуле двойного аргумента
    cos²a+sin²a=1 - по основному тригонометрическому тождеству

    Cos⁴α - sin⁴α = (cos²α)² - (sin²α)² = (cos²α - sin²α)(cos²α + sin²α) = cos2α

  • Доказать тождество (sin5α-sin3α)/2cos4α=sinα


    Решение: (sin5α-sin3α)/2cos4α=sinα;
    (sin5α-sin3α)/2cos4α=2sin[(5α-3α)/2]·cos[(5α+3α)/2]/2cos4α=
    =2sinα·cos4α/2cos4α=sinα;
    sinα=sinαsin -sin cos sin sin -sin cos sin - cos cos sin cos cos sin sin sin...

  • Помогите доказать тождество \( 2cos^2(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})=1+sin\alpha\)


    Решение: Что нам понадобится:
    1) $$ cos^{2}( \frac{x}{2})= \frac{1+cosx}{2} $$
    2) $$ cos( \frac{ \pi }{2}- \alpha )= sin \alpha $$
    Преобразуем левую часть:
    $$ 2cos^{2}( \frac{ \pi }{4}-\frac{ \alpha }{2})=2cos^{2}(\frac{1}{2}*(\frac{ \pi }{2}- \alpha)) $$
    Заменим $$ \frac{ \pi }{2}- \alpha=x $$, тогда:
    $$ 2cos^{2}(\frac{1}{2}*x)=2* \frac{1+cosx}{2}=1+cosx $$
    Вернемся обратно к замене, получим:
    $$ 1+cos(\frac{ \pi }{2}- \alpha)=1+sin \alpha $$ - что равно правой части.
    Тождество доказано.

<< < 212223 24 25 > >>