прогрессия »

второй член геометрической прогрессии - страница 11

  • Сумма второго и четвертого членов геометрической прогрессии равна -30, а сумма третьего и пятого членов -90. найдите знаменатель (q) этой прогрессии.


    Решение: B2+b4=-30
    b3+b5=-90
    b4=b2*q^2; b5=b3*q^2⇒
    b2+b2*q^2=-30⇒b2(1+q^2)=-30
    b3+b3*q^2=-90⇒b3(1+q^2)=-90
    Делим 2-е уравнение на первое:
    b3/b2=3⇒b3=3b2⇒b1*q^2=3b1*q⇒q^2-3q=0⇒q(q-3)=0
    q≠0⇒q=3

  • Найдите произведение первого и четвертого членов геометрической прогрессии, если их сумма равна -21, а сумма второго и третьего членов равна 6.


    Решение: B1 + b1*q^3 = -21 
    b1*q + b1*q^2 = 6
    b1*(1+q^3)= -21
    b1*q*(1+q) = 6
    (1+q^3)/(q*(q+1) = -21/6
    (1+q)*(1-q+q^2)/(q*(q+1) = -3,5
    1-q+q^2 = -3,5q
    q^2 +2,5q +1 =0
    D = 2,5^2 - 4 = 6,25 - 4 = 2,25
    корень(D) = 1,5
    q1 = (-2,5+1,5)/2 = -0,5
    q2 = (-2,5 - 1,5)/2 = -2
    b1= 6/(q*(q+1))
    b11 и b12 - два варианта знаменателя прогрессии, значит и два варианта 1-го члена прогрессии b1 (я обозначаю их b11 и b12)
    b11 = 6/(-0,5*0,5) = 6/(-0,25) = -24
    b12 = 6/(-2*(-1)) = 6/2 = 3
    Проверка:
    1)
    b1 = -24, q = -0,5
    b2 = -24*(-0,5)  = 12
    b3 = 12*(-0,5) = -6
    b4 = -6*(-0,5) = 3
    b1+b4 = -24+3 = 21
    b2+b3 = 12+(-6) = 6
    b1*b4 = (-24)*3 = -72 - это ответ
    2)
    b1= 3, q = -2
    b2 = 3*(-2) = - 6
    b3 = (-6)* (-2) = 12
    b4= 12*(-2)= -24
    b1+b4 = 3+(-24) = -21
    b2+b3 = -6+12 = 6
    b1*b4 = 3*(-24) = -72 - это ответ
    Видим, что независимо от набора b1 и q произведение b1*b4 остается тем же
     

  • Сумма первого и пятого члена геометрической прогрессии равна 51, а сумма второго и шестого членов равна 102. Сколько членов этой прогрессии начиная с первого, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 3096?


    Решение: {b1+b5=51

    {b2+b6=102

    S=b1+b2.=3096

    заметим что 102/2=51

    {2(b1+b5)=b2+b6

    {2b1+2b5=b2+b6

    {2b1+2b1*q^4=b1q+b1*q^5

    {2=(b1q+b1*q^5)/(b1+b1q^4)

    {2=q

    то есть знаменатель прогрессий равен 2

    b1+b1*2^4=51

    b1(1+16)=51

    b1=51/17

    b1=3

    первый член равен 3 

    теперь вспомним формулу 

     S=(b1(q^n-1)/q-1=3096

     найти надо n

     S=3(2^n-1)/1=3096

      3(2^n-1)=3096

      2^n=1033 

      n=log(2)1033 

     может вы перпутали, может число другое?

     Если вы имели ввиду 3069

    n=10

    {b1+b5=51
    {b2+b6=102
    {b1+b1q^4=51
    {b1q+b1q^5=102
    {b1(1+q^4)=51
    {b1q(1+q^4)=102
    Делим второе уравнение на первое:
    b1q(1+q^4)/b1(1+q^4) = 102/51
    q=2
    b1=51/(1+q^4) = 51/(1+16)=51/17=3
    S=b1(q^n - 1)/(q-1)
    3(2^n-1)/(2-1) = 3096
    3(2^n-1)=3096
    2^n-1=1032
    2^n=1033
    n здесь тогда не натуральное число, ошибки в условии нет? Может сумма равна 3069? В этом случае:
    3(2^n-1)=3069
    2^n-1=1023
    2^n=1024
    n=10 

  • В геометрической прогрессии сумма первого второго членов равна 108, а сума второго и третьего членов равна 135. Найдите первые три чена этой прогрессии


    Решение: Знаменатель геометрической прогрессии g тогда а1+а1g=108 и а1g+а1g*g=135 Во втором вынесем за скобку g(а1+а1g)=135 То что в скобке 108, тогда g*108= 135 g= 135\108=1,25/ Найдём а1=108:(1+g)=108:2.25 =48. Найдём а2=48*1,25=60 а3= 60*1,25=75. 48, 60,75.

    Из условия задачи, имеем

    b1+b1q=108 => b1(1+q)=108

    b1q+b1q^2=135 => b1(q+q^2)=135

    из первого уравнения получаем

    b1=108/(1+q), q не равно -1

    Подставим во второе уравнение

    (108/(1+q))*(q+q^2)=135

    108(q+q^2)=135(1+g)

    108q^2+108q-135q-135=0

    108q^2-27q-135=0

    4q^2-g-5=0

    Решая это квадратное уравнение, получаем корни

    q=-1 - не удовлетворяет ОДЗ

    q=1,25

    тогда b1=108/(1+q)=108/2,25=48

    1 член прогрессии = b1=48

    2- = b1q=48*1,25=60

    3- =b1q^2=48*(1.25)^2=75

  • Произведение первого и четвертого членов возрастающей геометрической прогрессии с положительными членами равна 27 а сумма второго и третьего равна 12, найдите сумму второго и пятого членов прогрессии


    Решение: {b1*b4=27

    {b2+b3=12

    то есть возрастающая - это значит что знаменатель этой прогрессий будет q>1 

    {b1*b1q^3 = 27

    {b1*q +b1*q^2 = 12

    {b1^2*q^3=27

    {b1(q+q^2)=12

    {b1=√27/q^3

    {b1=12/q+q^2

    √27/q^3 = 12/q+q^2 

     

    27/q^3 = 144/ q^2+2q^3+q^4

     27(q^2+2q^3+q^4)=144q^3

     27q^2+54q^3+27q^4=144q^3

     90q^3-27q^4-27q^2=0

     q^2(90q-27q^2-27)=0

     q=0 сразу не подходит 

     27q^2-90q+27=0

     

     D=8100-4*27*27 = 72^2

     q= 90+72/54 =3

     

     q2 = 90-72/54 = 1/3

     

    только q= 3 

     

    значит

     

    b1= 12/ 3+9 = 1 

     

      b2=b1*q = 1*3 = 3

      b5= 1*3^4 = 81

     

      81+3=84 (ответ)

    $$ b_1b_4=27 \\\ b_2+b_3=12 $$

    $$ b_1b_1q^3=27 \\\ b_1q+b_1q^2=12 $$

    $$ b_1^2q^3=27 \\\ b_1(q+q^2)=12 $$

    $$ \frac{27}{q^3}=(\frac{12}{q+q^2})^2 $$

    $$ \frac{27}{q^3}=\frac{144}{q^2(1+q)^2} $$

    $$ \frac{3}{q}=\frac{16}{(1+q)^2} $$

    $$ 16q=3+6q+3q^2 $$

    $$ 3-10q+3q^2=0 $$

    $$ D=25-9=16 \\\ q_1=3 \\\ q_2eq\frac{1}{3} <1 $$

    $$ b_1=\frac{27}{q^3}=\frac{27}{3^3}=1 $$

    $$ b_2+b_5=b_1q+b_1q^4=1\cdot3+1\cdot3^4=3+81=84 $$

    Ответ: 84

<< < 91011 12 13 > >>