второй член геометрической прогрессии - страница 9
Первый член возрастающей арифметической прогрессии и первый член возрастающей геометрической прогрессии равны 3. Второй член арифметической прогрессии больше второго члена геометрической прогрессии на 6; третьи члены прогрессий одинаковы. Найдите первые три члена каждой прогрессии.
Решение: Дано:
a₁ = 3 первый член арифметической прогрессии
a₂ = b₂ + 6
b₁ = 3 первый член геометрической прогрессии
a₃ = b₃
Решение:
a₂ = a₁ + d = 3 + d
b₂ = b₁*q = 3q
a₃ = a₁ + 2d = 3 + 2d
b₃ = b₁*q² = 3q²
{3 + 2d = 3q² так как a₃ = b₃
{3 + d = 3q + 6 так как a₂ = b₂ + 6, а b₂ = 3q
d = 3q + 3
3 + 2(3q + 3 )= 3q²
3 + 6(q + 1 )= 3q²
1 + 2(q + 1 )= q²
1+ 2q + 2 = q²
q² - 2q - 3 = 0
q₁ = (2 - √16) / (2∙1) = -1 не подходит
q₂ = (2 + √16) / (2∙1) = 3
q = 3
d = 3q + 3 = 3*3 + 3 = 12
a₁ = 3
a₂ = 3 + d = 3 + 12 = 15
a₃ = a₂ + d = 15 + 12 = 27
b₁ = 3
b₂ = b₁*q = 3*3 = 9
b₃ = b₁*q² = 3*3² = 27
Второй и пятый члены геометрической прогрессии равны 25,5 и 688,5. Найти члены прогрессии, заключенные между ними
Решение: Геометрическая прогрессия это последовательность чисел где каждое следующее получается из предыдущего умножением на постоянное число (q) называемое знаменателем.формула для вычисления n-го члена геометрической прогрессии:
a(n) = a1q^(n − 1)
т. к. у нас в прогрессии даны 2-й и 5-й члены, то заменяем (n − 1) на (n − 2)
q^(n − 2)=a(n)/а1
q=корень степени (n − 2) из [a(n)/а1]
q=корень степени (5 − 2) из [688,5/25,5] =корень степени (3) из [27] = 3
Проверяем:
25,5 - 2-й член прогрессии
25,5*3=76,5 - 3-й член прогрессии
76,5*3=229,5 - 4-й член прогрессии
229,5*3=688,5 - 5-й член прогрессии
Ответ: 76,5 - 3-й член прогрессии; 229,5 - 4-й член прогрессии.
В возрастающей геометрической прогрессии сумма первого и последнего члена равна 164. А произведение второго и предпоследнего - 324. Найти последний член прогрессии.
Решение: Пусть у нас дана геометрическая прогрессия b(n): первый член её равен b1, а последний - bn.Тогда, b1 + bn = 164
Выразим второй и предпоследний член через уже известные:
b2 = b1q
b(n-1) = bn/q
Заменим вместо второго и предпоследнего членов их выражениями, получим:
b(n-1) * b2 = b1q *bn/q = b1 * bn
Теперь можем составить системку из двух уравнений и найти из неё последний член:
b1 + bn = 164
b1 * bn = -324
Эту систему решим способом подстановки.
Даны две различные геометрические прогрессии, первые члены которых равны 1. Известно, что сумма вторых членов прогрессий равна 3, а сумма пятых равна 161. Найти сумму шестых членов прогрессий.
Решение: Пусть первый член геометрической прогрессий равен $$ b_{1} $$, а первый второй $$ a_{1} $$.
Тогда $$ b_{1}=a_{1}=1 $$
$$ b_{2}+a_{2}=3\\ b_{5}+a_{5}=161\\\\ b_{2}=b_{1}q\\ a_{2}=a_{1}d\\\\ q+d=3\\ q^4+d^4=161\\ $$
найти надо $$ q^5+d^5 $$
$$ q^4+d^4=(q^2+d^2)^2-2q^2d^2=((q+d)^2-2qd)^2-2q^2d^2=161\\\\ (9-2qd)^2-2q^2d^2=161\\\\ qd=x\\\\ (9-2x)^2-2x^2=161\\\\ 81-36x+2x^2=161\\\\ 2x^2-36x-80=0\\\\ x^2-18x-40=0\\\\ x=20\\\\ x=-2\\\\ (q+d)(q^4+d^4)=q^5+d^5+qd(q^3+d^3)=\\\\ q^5+d^5=161*3-(-2)*3(9-3*(-2))=573 $$
Ответ $$ 573 $$
Найдите сумму геометрической прогрессии, если известно, что сумма первого и третьего её членов ровна 29, а второго и четвертого 11,6.
Решение: $$ \left \{ {{b_1+b_3=29} \atop {b_2+b_4=11.6}} \right.\\ \\ \left \{ {{b_1+b_1*q^2=29} \atop {b_1*q+b_1*q^3=11.6}} \right.\\ \\ \left \{ {{b_1(1+q^2)=29} \atop {b_1*q(1+q^2)=11.6}} \right.\\ \\ \left \{ {{b_1=\frac{29}{1+q^2}} \atop {b_1*q(1+q^2)=11.6}} \right.\\ \\ \frac{29q(1+q^2)}{1+q^2}=11.6\\ \\ 29q=11.6\\ q = 0.4\\ b_1=\frac{29}{1+q^2}= \frac{29}{1+0.4^2} = 25\\ S_4 = b_1*\frac{1-q^3}{1-q} = 25 * \frac{1-0.0256}{1-0.4} =25 * 1.624 = 40.6\\ \\ ili \ takoj \ variant\\ \\ \ b_1 = 25\\ b_3 = 29 - 25 = 4\\ b_2 = 25 * 0.4 = 10\\ b_4 = 11.6 - 10 = 1.6\\ S_4 = 25 + 4 + 10+1.6 = 40.6\\ $$Три числа являются последовательными членами арифметической прогрессии. Если второе и третье уменьшить на 1, а первое оставить без изменения, то полученные числа будут составлять геометрическую прогрессию со знаменателем 3. Найти эти числа.
Решение: РЕШЕНИЕ
Для арифметической прогрессии - три последовательных члена
a +nd и a+(n+1)d и a + (n+2)d
Изменяем по условию заменив a +nd на b
b и b+(d-1) и b + (2d-1).
Пишем выражения для знаменателя геометрической прогрессии
b+2d-1 = 3*(b+d-1) = 3b +3d -3
2b+d-2 = 0
d = 2*(b-1)
Возвращаем подстановку
3*(a + nd) =b*q = a+nd-1
3*a+ 3nd = a + nd-1
a+nd =1/2
ОТВЕТ НЕПОЛНЫЙ
Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если от третьего отнять 4, то числа составят арифметическую прогрессию. Если же от второго и третьего членов полученной арифметической прогрессии отнять по 1, то снова получится геометрическая прогрессия. Найти эти числа.
Решение: Пусть А Б С, прогрессиято по признаку геометрич. прогрессии Б²=А*С
после того как от С отняли 4 то А Б С-4 стала арифм прогр
по признаку арифмет Б=( А+(С-4) ) /2
и наконец когда отняли по еденицы от 2х первых, А Б-1 С-5, то стала опять геотметрической где (Б-1)²=А*(С-5)
получаем систему
Б²=А*С
2Б= А+(С-4)
(Б-1)²=А*(С-5)
Решаем систему, получаем корни (1;3;9) и (1/9 ;7/9 ;49/9 )
Ответ 1 3 9
Первый член геометрической прогрессии меньше второго на 10%. На сколько процентов первый член прогрессии меньше третьего?
Решение: Решение:
Первый член b1, тогда второй член геометрической прогрессии равен:
b2=b1 +10% *b1:100%=b1+0,1b1=1,1b1
Чтобы найти третий член геометрической прогрессии найдём знаменатель прогрессии:
q=b2 : b1=1,1b1 :b1=1,1
b3=b2*q=1,1b1*1,1=1,21b1
Первый член данной геометрической прогрессии меньше третьего члена на:
(1,21b1 - b1) *100%=21*b1% или на 21%
Суммы второго и третьего членов геометрических прогрессии = 30, а разница четвертого и второго = 90. Найти первый член геометрической прогрессии.
Решение: B2+b3=30 b4-b2=90
b2=b1q
b3=b1q^2
b4=b1q^3
b1q+b1q^2=30 b1=30/(q^2+q)
b1q^3-b1q=90 30q^3/(q^2+q)-30q/q^2+q)=90 30q^3-30q=90q^2+90q q≠0 ⇒ сократим на 30q
q^2-1=3q+3
q^2-3q-4=0
q1=4 q2=-1 искл
b1=30/(4^2+4)=30/20=1,5
bn=b1*q^(n-1), b2+b3=b1*q+b1*q^2=30, b4-b2=b1*q^3-b1*q=90, b1*q*(1+q)=30, b1*q*(q^2-1)=90, необходимо решить систему уравнений: можно из 1-го выразить b1 и подставить во 2-е: b1=30/(q*(1+q)), 30/(q*(1+q))*q*(q^2-1)=90, учитывая, что q^2-1=(q-1)*(q+1)- проводим сокращения и получаем q=4, подставим в b1=30/(4(1+4))=1,5
В геометрической прогрессии с положительными члена произведение первого и третьего членов равно 4, а произведение третьего и пятого равно 64. Найдите сумму второго, четвертого и шестого членов.
Решение: a1*a3=4a3*a5=64
an=a1*b^(n-1)
a3=a1*b^2 тогда a1*a1*b^2=4
a5=a1*b^4 тогда a3*a5= a1*b^2*a1*b^4=64
получаем систему уравнений с двумя неизвестными a1 и b
a1^2*b^2=4
a1^2*b^6=64
выразим a1 из второго уравнения и подставим в первое
a1^2=64/b^6
64/b^6*b^2=4
64/b^4=4
b^4=16
b=2
тогда a1^2*4=4 значит a1=1
a2=1*2=2
a4=8
a6=32
a2+a4+a6=42
