прогрессия »
второй член геометрической прогрессии - страница 8
Найдите четвёртый член возрастающей геометрической прогрессии, если сумма первого и четвёртого членов равна 112, а второго и третьего 48.
Решение: B₂=b₁q
b₃=b₁q²
b₄=b₁q³
поэтому
b₁+b₄=b₁+b₁q³=112
b₂+b₃=b₁q+b₁q²=48
решаем систему
b₁+b₁q³=112
b₁q+b₁q²=48
b₁=112/(q³+1)
112q/(q³+1)+112q²/(q³+1)=48
112q+112q²=48(q³+1)
7q+7q²=3(q³+1)
7q(1+q)=3(q+1)(q²-q+1)
7q=3(q²-q+1)
3q²-3q+3-7q=0
3q²-10q+3=0
D=10²-4*3*3=64
√D=8
q₁=(10-8)/6=2/6=1/3
q₂=(10+8)/6=3
b₁=112/(1+q₁³)=112/(1+1/27)=112/(28/27)=112*27/28=4*27=108
и тогда b₄=112-108=4
или
b₁=112/(1+q₂³)=112/(1+27)=112/28=4
и тогда b₄=112-4=108
Ответ: 4 иди 108
Найдите первый член геометрической прогрессии, у которой сумма первого и четвертого членов равна 18, а сумма второго и третьего членов равна 12.
Решение: Система{A1+A4=18
{a2+a3=12
{a1+a1q^3=18
{a1q+a1q^2=12
{a1(1+q^3)= 18
{a1q(1+q)=12
Делим уравнения и получаем: 1+q^3/q(1+q)=18/121-q+q^2/q=18/12
12q^2-30q+12=0
q=0,5;q=2
1) q=0,5
0,5a1+0,25a1=12
a1=16
2)q=2
2a1+4a1=12
a1=2
Найдите шестой десятый члены геометрической прогрессии если их сумма равна 16, а про зведение четырнадцатого и второго членов этой прогрессии равно 60.
Решение: $$ \begin{cases}b_6+b_{10}=16\\b_2\cdot b_{14}=60\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_1q^5+b_1q^9=16\\b_1q\cdot b_1q^{13}=60\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_1q^5+b_1q^9=16\\b_1^2q^{14}=60\end{cases}\Rightarrow\\\Rightarrow\begin{cases}b_1q^5+b_1q^9=16\\b_1q^{5}\cdot b_1q^9=60\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_6+b_{10}=16\\b_6\cdot b_{10}=60\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_6=16-b_{10}\\16b_{10}-b_{10}^2=60\end{cases} $$
$$ 16b_{10}-b_{10}^2=60\\b_{10}^2-16b_{10}+60=0\\D=256-4\cdot60=16\\b_{10}=6,\;b_{10}=10\\\begin{cases}b_6=10\\b_{10}=6\end{cases}\quad\quad\quad\begin{cases}b_6=6\\b_{10}=10\end{cases} $$
В возрастающей геометрической прогрессии известно, что сумма первого и четвертого члена равна 27, а произведение второго и третьего членов равно 72. Найдите четвертый член прогрессии.
Решение: $$ b_1+b_4=b_1+b_1q^3=27,q^{3}= \frac{27}{b_1}-1 \\ b_2*b_3=b_1q*b_1q^2=b_1^2q^3=72 \\ b_1^2( \frac{27}{b_1}-1)=72 \\ 27b_1-b_1^2=72 \\ b_1^2-27b_1+72=0 $$
по теореме Виета:
$$ b_{11}+b_{12}=27 \\ b_{11}*b_{12}=72 \\ b_1=24,b_1=3 $$
$$ q^{3}= \frac{27}{b_1}-1= \frac{27}{24}-1=1 \frac{3}{24}-1=\frac{3}{24} \\ q= \sqrt[3]{\frac{3}{24}} $$
q принимает значение меньше 1 - не подходит, т. к. прогрессия возрастающая
$$ q^{3}= \frac{27}{b_1}-1= \frac{27}{3}-1=9-1=8 \\ q= \sqrt[3]{8}=2 $$
q>1
$$ b_{4}=b_1*q^{3}=3*2^3=3*8=24 $$
Алеша, Боря и Вася покупали блокноты и трехкопеечные карандаши. Алеша купил 4 карандаша и 2 блокнота, Боря купил 6 карандашей и 1 блокнот, Вася купил 3 карандаша и 1 блокнот. Известно, что суммы денег, заплаченные Алешей, Борей и Васей, образуют соответственно первый, второй и третий члены геометрической прогрессии. Сколько стоит блокнот?
Решение: Х руб стоит блокнот
Алёша (4*3+2х) руб заплатил
Боря (6*3+х) руб
Вася (3*3)+х, так как
они образуют соответственно первый, второй и третий члены геометрической прогрессии, то составим пропорцию
(18+х)/(12+2х)=(9+х)/(18+х)
324+36х+х:2=108+12х+18х+2х:2
х:2-6х-218+0
D=b^2- 4ac=36+864=900=30^2
x=(6+30)/2=18
x=(6-30)/2=-12, значит блокнот стоит 18 руб1. Найдите четыре числа, образующих геометрическую прогрессию, третий член которой больше первого на 12, а второй больше от четвертого на 24.
2. Тираж одной популярной газеты ежемесячно увеличивается на 200 экземпляров. Сколько экземпляров этой газеты будет выпущено за год, если в январе этого года ее тираж составлял 5200 экземпляров?
1. Знайдіть чотири числа, що утворюють геометричну прогресію, третій член якої більший від першого на 12, а другий більший від четвертого на 24
2. Наклад однієї популярної газети щомісячно збільшується на 200 примірників. Скільки примірників цієї газети буде випущено за рік, якщо в січні цього року її наклад становив 5200 примірників?
Решение: 2. Тираж одной популярной газеты ежемесячно увеличивается на 200 экземпляров. Сколько экземпляров этой газеты будет выпущено за год, если в январе этого года ее тираж составлял 5200 экземпляров?
5200*12+200*11=64 600 выпущено за год
1. Найдите четыре числа, образующих геометрическую прогрессию, третий член которой больше первого на 12, а второй больше от четвертого на 24.
bn=b1q*(n-1)
b1
b2=b1q
b3=b1q²
b4=b1q³
b1q²-b1=12
b1q-b1q³=24
b1(q²-1)=12 ⇒q²-1=12/b1 подставим
-b1q(q²-1)=24
-b1q*12/b1=24
-12q=24
q=-2
b1=12/(q²-1)=12/(4-1)=12/3=4
b1=4
b2=4*(-2)=-8
b3=(-8)*(-2)=16
b4=16*(-2)=-32
Три положительных числа составляют геометрическую прогрессию. Если второй член увеличить на 8, то данная прогрессия станет арифметической, но если затем третий член увеличить на 64, то получится снова геометрическая прогрессия. Вычислить сумму этих чисел
Решение: Пусть три данных числа равны а, ак, аk^2, тогда числа a, ak+8, ak^2 - образуют арифметическую прогрессию, и по одному из ее свойств иммеем2(ak+8)=a+ak^2
числа a, ak+8, ak^2+64 - образуют геометрическую прогресию и по одному из ее свойств
(ak+8)^2=a(ak^2+64)
Нам нужно найти сумму a+ak+ak^2=ak+2(ak+8)=3ak+16
2(ak+8)=a+ak^2
(ak+8)^2=a(ak^2+64)
2ak+16=a+ak^2
a^2k^2+16ak+64=a^2k^2+64a
2ak+16=a+ak^2
16ak+64-64a=0
2ak+16=a+ak^2
ak+4-4a=0
a(k-4)=-4
a=4/(4-k)
2*4/(4-k) *k+16=4/(4-k) *(1+k^2)
8k+16(4-k)=4(1+k^2)
2k+4(4-k)=1+k^2
2k+16-4k=1+k^2
k^2+2k-17=0
D=72=36*2
k1=(-2-6*корень(2))/2<0 - не подходит (данные три числа положительные, поэтом и знаменатель как отношение двух положительных чисел число положительное)
k2=(-2+6*корень(2))/2=3*корень(2)-1
k=3*корень(2)-1
a=4/(4-k)=4/(4-3*корень(2)+1)=4/(5-3*корень(2))=
=4*(5+3*корень(2))/(25-18)=4/7(5+3*корень(2))
3ak+16=3*(3*корень(2)-1)*4/7*(5+3*корень(2))+16=
=12/7*(15корень(2)+18-5-3корень(2))+112/7=
=12/7*(12корень(2))+125)
з. ы. по идеи вот так."интересное число" получилось
в геометрической прогрессии с положительными членами произведение первого члена на третий равно 4 третьего на пятый - 64 найдите сумму второго четвертого и шестого члена
Решение: Геометрическая прогрессия: b1,b2,b3.b1*b3=4
b3*b5=64
Найти: b2+b4+b6=?
b2=корень из (b1*b3)= корень из 4=2
b4=корень из(b3*b5)=корень из 64=8
Это было по свойствам членов геометрической прогрессии
Теперь попробуем по изначальным данным составить и решить систему уравнений
{b1*b3=4
{b3*b5=64
Разделим второе уравнение на первое
(b3*b5)/(b1*b3)=64/4
b5/b1=16
b5=b1*q^4(в степени 4)
b1*q^4/b1=16
q^4=16
q=2 => b1=b2/q=2/2=1
q не может быть = (-2), потому что по условию все члены положительны, значит и знаменатель положителен
b6=b1*q^5=2^5=32
b2+b4+b6=2+8+32=42
Ответ: 42
Первые члены арифметической и геометрической прогрессий равны 3. Второй член арифметической прогрессии на 6 больше второго члена геометрической, а третьи члены этих прогрессий вновь равны. Найдите эти прогрессии, если все их члены положительны.
Решение: Пусть
а(n) - n-член арифметической прогрессии
b(n) - n-член геометической прогрессии
по формулам прогрессий
а(n)=а(1)+d*(n-1) для арифметической
b(n)=b(1)*$$ q ^{n-1} $$ для геометрической
имеем
а(1)=3 a(2)=3+d a(3)=3+2*d
b(1)=3 b(2)=3*q b(2)=3*q²
из условия задачи имеем
a(2)=b(2)+6
a(3)=b(3)
т. е
3+d=3*q+6 отсюда d=3*q+3
3+2*d=3*q² подставим сюда значение d из предыдущего равенства, получим
3+6*q+6=3*q² или 3q²-6*q-9=0 (разделив обе части уравнения на 3, получим
q²-2*q-3=0)
решим полученное квадратное уравнение
q(1)=3 q(2)=-1
т. к. d=3*q+3 d(1)=12 d(2)=0
проверим
при q=-1 и d=0 a(2)=3 b(2)=1/3, что не удовлетворяет условию задачи
при q=3 и d=12 имеем a(2)=3+12*1=15 q(2)=3*3=9 и a(2)-b(2)=6;
a(3)=3+12*2=27 b(3)=3*3²=27 и a(3)=b(3), что удовлетворяет условию задачи
Окончательно имеем
формула арифметической прогрессии a(n)=3+12*(n-1)
формула геометической прогрессии b(n)=3*$$ 3 ^{n-1} $$
Второй и пятый член геометрической прогрессии соответственно равны 36 и 4,5. найдите члены прогрессии, заключенные между ними.
Решение: Пусть b₁ - первый член геометрической прогрессии,
q - её знаменатель, тогда
36=b₁*q 4.5=b₁*q⁴ система уравнений
$$ \left \{ {{36= b_{1} *q} \atop {4.5= b_{1} }* q^{4} } \right. $$
поделим второе уравнение на первое, получим $$ \frac{4,5}{36} = q^{3} \\ \frac{1}{8}= q^{3} \\ q= \frac{1}{2} $$
вставляем пропущенные члены прогрессии a₂=36, a₃=18, a₄=9, a₅=4.5
ответ: 18, 9, 4,5
