Processing math: 100%
прогрессия »

второй член геометрической прогрессии - страница 6

  • Сумма второго и четвертого членов геометрической прогрессии равна -30, а сумма третьего и пятого членов -90. найдите знаменатель (q) этой прогрессии.


    Решение: B2+b4=-30
    b3+b5=-90
    b4=b2*q^2; b5=b3*q^2⇒
    b2+b2*q^2=-30⇒b2(1+q^2)=-30
    b3+b3*q^2=-90⇒b3(1+q^2)=-90
    Делим 2-е уравнение на первое:
    b3/b2=3⇒b3=3b2⇒b1*q^2=3b1*q⇒q^2-3q=0⇒q(q-3)=0
    q≠0⇒q=3

  • Найдите произведение первого и четвертого членов геометрической прогрессии, если их сумма равна -21, а сумма второго и третьего членов равна 6.


    Решение: B1 + b1*q^3 = -21 
    b1*q + b1*q^2 = 6
    b1*(1+q^3)= -21
    b1*q*(1+q) = 6
    (1+q^3)/(q*(q+1) = -21/6
    (1+q)*(1-q+q^2)/(q*(q+1) = -3,5
    1-q+q^2 = -3,5q
    q^2 +2,5q +1 =0
    D = 2,5^2 - 4 = 6,25 - 4 = 2,25
    корень(D) = 1,5
    q1 = (-2,5+1,5)/2 = -0,5
    q2 = (-2,5 - 1,5)/2 = -2
    b1= 6/(q*(q+1))
    b11 и b12 - два варианта знаменателя прогрессии, значит и два варианта 1-го члена прогрессии b1 (я обозначаю их b11 и b12)
    b11 = 6/(-0,5*0,5) = 6/(-0,25) = -24
    b12 = 6/(-2*(-1)) = 6/2 = 3
    Проверка:
    1)
    b1 = -24, q = -0,5
    b2 = -24*(-0,5)  = 12
    b3 = 12*(-0,5) = -6
    b4 = -6*(-0,5) = 3
    b1+b4 = -24+3 = 21
    b2+b3 = 12+(-6) = 6
    b1*b4 = (-24)*3 = -72 - это ответ
    2)
    b1= 3, q = -2
    b2 = 3*(-2) = - 6
    b3 = (-6)* (-2) = 12
    b4= 12*(-2)= -24
    b1+b4 = 3+(-24) = -21
    b2+b3 = -6+12 = 6
    b1*b4 = 3*(-24) = -72 - это ответ
    Видим, что независимо от набора b1 и q произведение b1*b4 остается тем же
     

  • Сумма первого и пятого члена геометрической прогрессии равна 51, а сумма второго и шестого членов равна 102. Сколько членов этой прогрессии начиная с первого, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 3096?


    Решение: {b1+b5=51

    {b2+b6=102

    S=b1+b2.=3096

    заметим что 102/2=51

    {2(b1+b5)=b2+b6

    {2b1+2b5=b2+b6

    {2b1+2b1*q^4=b1q+b1*q^5

    {2=(b1q+b1*q^5)/(b1+b1q^4)

    {2=q

    то есть знаменатель прогрессий равен 2

    b1+b1*2^4=51

    b1(1+16)=51

    b1=51/17

    b1=3

    первый член равен 3 

    теперь вспомним формулу 

     S=(b1(q^n-1)/q-1=3096

     найти надо n

     S=3(2^n-1)/1=3096

      3(2^n-1)=3096

      2^n=1033 

      n=log(2)1033 

     может вы перпутали, может число другое?

     Если вы имели ввиду 3069

    n=10

    {b1+b5=51
    {b2+b6=102
    {b1+b1q^4=51
    {b1q+b1q^5=102
    {b1(1+q^4)=51
    {b1q(1+q^4)=102
    Делим второе уравнение на первое:
    b1q(1+q^4)/b1(1+q^4) = 102/51
    q=2
    b1=51/(1+q^4) = 51/(1+16)=51/17=3
    S=b1(q^n - 1)/(q-1)
    3(2^n-1)/(2-1) = 3096
    3(2^n-1)=3096
    2^n-1=1032
    2^n=1033
    n здесь тогда не натуральное число, ошибки в условии нет? Может сумма равна 3069? В этом случае:
    3(2^n-1)=3069
    2^n-1=1023
    2^n=1024
    n=10 

  • В геометрической прогрессии сумма первого второго членов равна 108, а сума второго и третьего членов равна 135. Найдите первые три чена этой прогрессии


    Решение: Знаменатель геометрической прогрессии g тогда а1+а1g=108 и а1g+а1g*g=135 Во втором вынесем за скобку g(а1+а1g)=135 То что в скобке 108, тогда g*108= 135 g= 135\108=1,25/ Найдём а1=108:(1+g)=108:2.25 =48. Найдём а2=48*1,25=60 а3= 60*1,25=75. 48, 60,75.

    Из условия задачи, имеем

    b1+b1q=108 => b1(1+q)=108

    b1q+b1q^2=135 => b1(q+q^2)=135

    из первого уравнения получаем

    b1=108/(1+q), q не равно -1

    Подставим во второе уравнение

    (108/(1+q))*(q+q^2)=135

    108(q+q^2)=135(1+g)

    108q^2+108q-135q-135=0

    108q^2-27q-135=0

    4q^2-g-5=0

    Решая это квадратное уравнение, получаем корни

    q=-1 - не удовлетворяет ОДЗ

    q=1,25

    тогда b1=108/(1+q)=108/2,25=48

    1 член прогрессии = b1=48

    2- = b1q=48*1,25=60

    3- =b1q^2=48*(1.25)^2=75

  • Произведение первого и четвертого членов возрастающей геометрической прогрессии с положительными членами равна 27 а сумма второго и третьего равна 12, найдите сумму второго и пятого членов прогрессии


    Решение: {b1*b4=27

    {b2+b3=12

    то есть возрастающая - это значит что знаменатель этой прогрессий будет q>1 

    {b1*b1q^3 = 27

    {b1*q +b1*q^2 = 12

    {b1^2*q^3=27

    {b1(q+q^2)=12

    {b1=√27/q^3

    {b1=12/q+q^2

    √27/q^3 = 12/q+q^2 

     

    27/q^3 = 144/ q^2+2q^3+q^4

     27(q^2+2q^3+q^4)=144q^3

     27q^2+54q^3+27q^4=144q^3

     90q^3-27q^4-27q^2=0

     q^2(90q-27q^2-27)=0

     q=0 сразу не подходит 

     27q^2-90q+27=0

     

     D=8100-4*27*27 = 72^2

     q= 90+72/54 =3

     

     q2 = 90-72/54 = 1/3

     

    только q= 3 

     

    значит

     

    b1= 12/ 3+9 = 1 

     

      b2=b1*q = 1*3 = 3

      b5= 1*3^4 = 81

     

      81+3=84 (ответ)

    b1b4=27 b2+b3=12

    b1b1q3=27 b1q+b1q2=12

    b21q3=27 b1(q+q2)=12

    27q3=(12q+q2)2

    27q3=144q2(1+q)2

    3q=16(1+q)2

    16q=3+6q+3q2

    310q+3q2=0

    D=259=16 q1=3 q2eq13<1

    b1=27q3=2733=1

    b2+b5=b1q+b1q4=13+134=3+81=84

    Ответ: 84

  • В геометрической прогрессии сумма первого и треть­его членов равна 10, а сумма второго и четвертого членов равна – 5. Найдите сумму геометрической прогрессии


    Решение: {b1+b3=10b2+b4=5b2=b1qb3=b1q2b4=b1q3{b1+b1q2=10b1q+b1q3=5{b1=101+q210q1+q2+10q31+q2=510q1+q2+10q31+q2=510q+10q3=5(1+q2)10q3+5q2+10q+5=0÷52q3+q2+2q+1=0q2(2q+1)+(2q+1)=0(q2+1)(2q+1)=0q2+1=0q2=1pew.HET2q+1=02q=1q=12=0,5

    {b1=8q=0,5

    Прогрессия бесконечно убывает, поэтому её сумма

    S=b11q=81(0,5)=81,5=8015=5515=513

  • В возрастающей геометрической прогрессии, состоящей из шести членов, сумма первого и последнего и последнего равна 66, произведение второго и пятого членов равно 128. Найдите сумму всех членов.


    Решение: Формула для нахождения суммы возрастающей геом. прогрессии:
    Sn=b1(1qn)1q
    Нам нужно найти: b1,q
    По условию: 
    {b1+b6=66b2b5=128
    Формула для нахождения членов геом. прогрессии: bn=b1qn1.
    Теперь можно подставить b1 и q в системе, вместо b2 и b5, b6:
    {b1+b1q5=66b1qb1q4=128
    И вот у нас готовая система с двумя неизвестными и двумя переменными. Решается, как обычная система уравнений:
    Из первого уравнения в системе выражаем b1:
    {b1=661+q5(661+q5)2q5=128
    Теперь решаем второе уравнение(напишу его отдельно):
    (661+q5)2q5=128662q5128(1+q5)2(1+q5)2=0
    Пишем ОДЗ, и не забываем, что q>1, так как геом. прогрессия возрастающая:
    {q>1(1+q5)2eq0{q>1qeq1q>1
    Раскрыв скобки и приведя общие члены получаем:
    128q104100q5+128=032q101025q5+32=0
    Можно ввести новую переменную:
    q5=y;q10=y2
    32y21025y+32=0y1=132y2=32
    Делаем обратную замену:
    q51=132q52=32
    Не забываем про ОДЗ:
    q5=32q=2
    Вернёмся к нашей системе:
    {b1=661+q5q=2{b1=2q=2
    И наконец находим сумму всех членов прогрессии:
    S6=b1(1q6)1q=2(164)12=128
    Ответ: Сумма 6 членов геом. прогрессии = 128

  • В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 144, а сумма второго и третьего членов равна 48. Найдите первые три члена этой прогрессии.


    Решение: A + ax = 144
    ax + ax^2 = 48
    Вынесем во втором уравнении системы за скобки х, получим
    х(а+ах) = 48
    Из первого уравнения системы а+ах = 144, подставляем
    144х = 48
    х = 48/144 = 1/3
    Подставляем в первое уравнение
    а + а/3 = 144
    4а/3 = 144
    4а = 432
    а = 432/4 = 108
    Первый член 108
    Второй член 108/3 = 36
    Третий член 36/3 = 12

  • В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 200, а сумма второго и третьего членов равна 50. Найдите первые три члена этой прогрессии.


    Решение: Первый член а1

    Второй член а2=a1*q

    Третий член а3=a1*q*q

    a1+a2 = a1 + a1*q = 200

    a2+a3 = a1*q + a1*(q в квадрате)

    Система уравнений

    a1*(1+q)=200

    a1*q*(1+q)=50

    Из первого уравнения подставим во второе 200*q=50 получим q = 1/4

    Заменим в первом q и получим a1*5/4=200, отсюда a1=160

    Первый член а1 = 160

    Второй член а2=a1*q = 40

    Третий член а3=a1*q*q = 10

  • В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 140, а сумма второго и третьего членов равна 105. Найдите эти три члена прогрессии.


    Решение: b1+b2=140, b1+b1q=140, b1(1+q)=140  (1)

    b2+b3=105, b1q+b1q^2=105,b1q(1+q)=105  (2)

    разделим (2) на (1) получим q=105/140=3/4

    b1(1+3/4)=140, b1=140*4/7=80

    b2=80*3/4=60

    b3=60*3/4=45

     b1+b2 =140

     b2+b3=105

    b1 + b1*q = 140

    b1*q + b1*q^2 = 105

    b1*(1+q)=140

    b1*q*(1+q)=105

    q*140=105 ; q=105/140=21/28=3/4

    b1=140 / (1+q)=140 / (1 + 3/4)=140 * 4/7=80

    b2=b1*q=80 * 3/4=60

    b3=b2*q=60 * 3/4= 45

<< < 456 7 8 > >>