второй член геометрической прогрессии - страница 6
Сумма второго и четвертого членов геометрической прогрессии равна -30, а сумма третьего и пятого членов -90. найдите знаменатель (q) этой прогрессии.
Решение: B2+b4=-30
b3+b5=-90
b4=b2*q^2; b5=b3*q^2⇒
b2+b2*q^2=-30⇒b2(1+q^2)=-30
b3+b3*q^2=-90⇒b3(1+q^2)=-90
Делим 2-е уравнение на первое:
b3/b2=3⇒b3=3b2⇒b1*q^2=3b1*q⇒q^2-3q=0⇒q(q-3)=0
q≠0⇒q=3Найдите произведение первого и четвертого членов геометрической прогрессии, если их сумма равна -21, а сумма второго и третьего членов равна 6.
Решение: B1 + b1*q^3 = -21
b1*q + b1*q^2 = 6
b1*(1+q^3)= -21
b1*q*(1+q) = 6
(1+q^3)/(q*(q+1) = -21/6
(1+q)*(1-q+q^2)/(q*(q+1) = -3,5
1-q+q^2 = -3,5q
q^2 +2,5q +1 =0
D = 2,5^2 - 4 = 6,25 - 4 = 2,25
корень(D) = 1,5
q1 = (-2,5+1,5)/2 = -0,5
q2 = (-2,5 - 1,5)/2 = -2
b1= 6/(q*(q+1))
b11 и b12 - два варианта знаменателя прогрессии, значит и два варианта 1-го члена прогрессии b1 (я обозначаю их b11 и b12)
b11 = 6/(-0,5*0,5) = 6/(-0,25) = -24
b12 = 6/(-2*(-1)) = 6/2 = 3
Проверка:
1)
b1 = -24, q = -0,5
b2 = -24*(-0,5) = 12
b3 = 12*(-0,5) = -6
b4 = -6*(-0,5) = 3
b1+b4 = -24+3 = 21
b2+b3 = 12+(-6) = 6
b1*b4 = (-24)*3 = -72 - это ответ
2)
b1= 3, q = -2
b2 = 3*(-2) = - 6
b3 = (-6)* (-2) = 12
b4= 12*(-2)= -24
b1+b4 = 3+(-24) = -21
b2+b3 = -6+12 = 6
b1*b4 = 3*(-24) = -72 - это ответ
Видим, что независимо от набора b1 и q произведение b1*b4 остается тем же
Сумма первого и пятого члена геометрической прогрессии равна 51, а сумма второго и шестого членов равна 102. Сколько членов этой прогрессии начиная с первого, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 3096?
Решение: {b1+b5=51{b2+b6=102
S=b1+b2.=3096
заметим что 102/2=51
{2(b1+b5)=b2+b6
{2b1+2b5=b2+b6
{2b1+2b1*q^4=b1q+b1*q^5
{2=(b1q+b1*q^5)/(b1+b1q^4)
{2=q
то есть знаменатель прогрессий равен 2
b1+b1*2^4=51
b1(1+16)=51
b1=51/17
b1=3
первый член равен 3
теперь вспомним формулу
S=(b1(q^n-1)/q-1=3096
найти надо n
S=3(2^n-1)/1=3096
3(2^n-1)=3096
2^n=1033
n=log(2)1033
может вы перпутали, может число другое?
Если вы имели ввиду 3069
n=10
{b1+b5=51
{b2+b6=102
{b1+b1q^4=51
{b1q+b1q^5=102
{b1(1+q^4)=51
{b1q(1+q^4)=102
Делим второе уравнение на первое:
b1q(1+q^4)/b1(1+q^4) = 102/51
q=2
b1=51/(1+q^4) = 51/(1+16)=51/17=3
S=b1(q^n - 1)/(q-1)
3(2^n-1)/(2-1) = 3096
3(2^n-1)=3096
2^n-1=1032
2^n=1033
n здесь тогда не натуральное число, ошибки в условии нет? Может сумма равна 3069? В этом случае:
3(2^n-1)=3069
2^n-1=1023
2^n=1024
n=10В геометрической прогрессии сумма первого второго членов равна 108, а сума второго и третьего членов равна 135. Найдите первые три чена этой прогрессии
Решение: Знаменатель геометрической прогрессии g тогда а1+а1g=108 и а1g+а1g*g=135 Во втором вынесем за скобку g(а1+а1g)=135 То что в скобке 108, тогда g*108= 135 g= 135\108=1,25/ Найдём а1=108:(1+g)=108:2.25 =48. Найдём а2=48*1,25=60 а3= 60*1,25=75. 48, 60,75.Из условия задачи, имеем
b1+b1q=108 => b1(1+q)=108
b1q+b1q^2=135 => b1(q+q^2)=135
из первого уравнения получаем
b1=108/(1+q), q не равно -1
Подставим во второе уравнение
(108/(1+q))*(q+q^2)=135
108(q+q^2)=135(1+g)
108q^2+108q-135q-135=0
108q^2-27q-135=0
4q^2-g-5=0
Решая это квадратное уравнение, получаем корни
q=-1 - не удовлетворяет ОДЗ
q=1,25
тогда b1=108/(1+q)=108/2,25=48
1 член прогрессии = b1=48
2- = b1q=48*1,25=60
3- =b1q^2=48*(1.25)^2=75
Произведение первого и четвертого членов возрастающей геометрической прогрессии с положительными членами равна 27 а сумма второго и третьего равна 12, найдите сумму второго и пятого членов прогрессии
Решение: {b1*b4=27{b2+b3=12
то есть возрастающая - это значит что знаменатель этой прогрессий будет q>1
{b1*b1q^3 = 27
{b1*q +b1*q^2 = 12
{b1^2*q^3=27
{b1(q+q^2)=12
{b1=√27/q^3
{b1=12/q+q^2
√27/q^3 = 12/q+q^2
27/q^3 = 144/ q^2+2q^3+q^4
27(q^2+2q^3+q^4)=144q^3
27q^2+54q^3+27q^4=144q^3
90q^3-27q^4-27q^2=0
q^2(90q-27q^2-27)=0
q=0 сразу не подходит
27q^2-90q+27=0
D=8100-4*27*27 = 72^2
q= 90+72/54 =3
q2 = 90-72/54 = 1/3
только q= 3
значит
b1= 12/ 3+9 = 1
b2=b1*q = 1*3 = 3
b5= 1*3^4 = 81
81+3=84 (ответ)
$$ b_1b_4=27 \\\ b_2+b_3=12 $$
$$ b_1b_1q^3=27 \\\ b_1q+b_1q^2=12 $$
$$ b_1^2q^3=27 \\\ b_1(q+q^2)=12 $$
$$ \frac{27}{q^3}=(\frac{12}{q+q^2})^2 $$
$$ \frac{27}{q^3}=\frac{144}{q^2(1+q)^2} $$
$$ \frac{3}{q}=\frac{16}{(1+q)^2} $$
$$ 16q=3+6q+3q^2 $$
$$ 3-10q+3q^2=0 $$
$$ D=25-9=16 \\\ q_1=3 \\\ q_2eq\frac{1}{3} <1 $$
$$ b_1=\frac{27}{q^3}=\frac{27}{3^3}=1 $$
$$ b_2+b_5=b_1q+b_1q^4=1\cdot3+1\cdot3^4=3+81=84 $$
Ответ: 84
В геометрической прогрессии сумма первого и третьего членов равна 10, а сумма второго и четвертого членов равна – 5. Найдите сумму геометрической прогрессии
Решение: $$ \begin{cases} b_1+b_3=10\\ b_2+b_4=-5 \end{cases}\\ b_2=b_1\cdot q\\ b_3=b_1\cdot q^2\\ b_4=b_1\cdot q^3\\ \begin{cases} b_1+b_1\cdot q^2=10\\ b_1\cdot q+b_1\cdot q^3=-5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} b_1=\frac{10}{1+q^2}\\ \frac{10q}{1+q^2}+\frac{10q^3}{1+q^2}=-5 \end{cases}\\ \frac{10q}{1+q^2}+\frac{10q^3}{1+q^2}=-5\\ 10q+10q^3=-5(1+q^2)\\ 10q^3+5q^2+10q+5=0\quad\div5\\ 2q^3+q^2+2q+1=0\\ q^2(2q+1)+(2q+1)=0\\ (q^2+1)(2q+1)=0\\ q^2+1=0\\ q^2=-1\;-\;pew.HET\\ 2q+1=0\\ 2q=-1\\ q=-\frac12=-0,5 $$$$ \begin{cases} b_1=8\\q=-0,5\end{cases} $$
Прогрессия бесконечно убывает, поэтому её сумма
$$ S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{8}{1-(-0,5)}=\frac{8}{1,5}=\frac{80}{15}=5\frac5{15}=5\frac13 $$
В возрастающей геометрической прогрессии, состоящей из шести членов, сумма первого и последнего и последнего равна 66, произведение второго и пятого членов равно 128. Найдите сумму всех членов.
Решение: Формула для нахождения суммы возрастающей геом. прогрессии:
$$ S_n= \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} $$
Нам нужно найти: $$ b_1, q $$
По условию:
$$ \left \{ {{b_1+b_6=66} \atop {b_2*b_5=128}} \right. $$
Формула для нахождения членов геом. прогрессии: $$ b_n=b_1*q^{n-1} $$.
Теперь можно подставить b1 и q в системе, вместо b2 и b5, b6:
$$ \left \{ {{b_1+b_1q^5=66} \atop {b_1q*b_1q^4=128}} \right. $$
И вот у нас готовая система с двумя неизвестными и двумя переменными. Решается, как обычная система уравнений:
Из первого уравнения в системе выражаем b1:
$$ \left \{ {{b_1= \frac{66}{1+q^5} } \atop {( \frac{66}{1+q^5})^2*q^5 =128}} \right. $$
Теперь решаем второе уравнение(напишу его отдельно):
$$ ( \frac{66}{1+q^5})^2*q^5 =128 \\ \frac{66^2q^5-128(1+q^5)^2}{(1+q^5)^2} =0 $$
Пишем ОДЗ, и не забываем, что q>1, так как геом. прогрессия возрастающая:
$$ \left \{ {{q>1} \atop {(1+q^5)^2 eq 0}} \right. \\ \left \{ {{q>1} \atop {q eq -1}} \right. \\ q>1 $$
Раскрыв скобки и приведя общие члены получаем:
$$ 128q^{10}-4100q^5+128=0 \\ 32q^{10}-1025q^5+32=0 $$
Можно ввести новую переменную:
$$ q^5=y;q^{10}=y^2 $$
$$ 32y^2-1025y+32=0 \\ y_1= \frac{1}{32} \\ y_2=32 $$
Делаем обратную замену:
$$ q_1^5= \frac{1}{32} \\ q_2^5=32 $$
Не забываем про ОДЗ:
$$ q^5=32 \\ q=2 $$
Вернёмся к нашей системе:
$$ \left \{ {{b_1= \frac{66}{1+q^5} } \atop {q=2}} \right. \\ \left \{ {{b_1=2} \atop {q=2}} \right. $$
И наконец находим сумму всех членов прогрессии:
$$ S_6= \frac{b_1(1-q^6)}{1-q} = \frac{2(1-64)}{1-2} =128 $$
Ответ: Сумма 6 членов геом. прогрессии = 128В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 144, а сумма второго и третьего членов равна 48. Найдите первые три члена этой прогрессии.
Решение: A + ax = 144
ax + ax^2 = 48
Вынесем во втором уравнении системы за скобки х, получим
х(а+ах) = 48
Из первого уравнения системы а+ах = 144, подставляем
144х = 48
х = 48/144 = 1/3
Подставляем в первое уравнение
а + а/3 = 144
4а/3 = 144
4а = 432
а = 432/4 = 108
Первый член 108
Второй член 108/3 = 36
Третий член 36/3 = 12
В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 200, а сумма второго и третьего членов равна 50. Найдите первые три члена этой прогрессии.
Решение: Первый член а1Второй член а2=a1*q
Третий член а3=a1*q*q
a1+a2 = a1 + a1*q = 200
a2+a3 = a1*q + a1*(q в квадрате)
Система уравнений
a1*(1+q)=200
a1*q*(1+q)=50
Из первого уравнения подставим во второе 200*q=50 получим q = 1/4
Заменим в первом q и получим a1*5/4=200, отсюда a1=160
Первый член а1 = 160
Второй член а2=a1*q = 40
Третий член а3=a1*q*q = 10
В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 140, а сумма второго и третьего членов равна 105. Найдите эти три члена прогрессии.
Решение: b1+b2=140, b1+b1q=140, b1(1+q)=140 (1)b2+b3=105, b1q+b1q^2=105,b1q(1+q)=105 (2)
разделим (2) на (1) получим q=105/140=3/4
b1(1+3/4)=140, b1=140*4/7=80
b2=80*3/4=60
b3=60*3/4=45
b1+b2 =140
b2+b3=105
b1 + b1*q = 140
b1*q + b1*q^2 = 105
b1*(1+q)=140
b1*q*(1+q)=105
q*140=105 ; q=105/140=21/28=3/4
b1=140 / (1+q)=140 / (1 + 3/4)=140 * 4/7=80
b2=b1*q=80 * 3/4=60
b3=b2*q=60 * 3/4= 45
