прогрессия »

второй член геометрической прогрессии - страница 5

  • В геометрической прогрессии с положительными членами известно, что второй член равен 18, четвертый 2. найдите первый член прогрессии


    Решение: bn=b1*q^(n-1)

    Это формула энного члена геометрической прогрессии.

    Теперь запишем по ней второй и четвертый члены.

    b2=b1*q=18

    b4=b1*q^3=2

    Выразим из обоих q и q^3

    q=18/b1

    q^3=2/b1

    возведем первое уравнение в куб и приравняем второму

    5832/(b1^3)=2/b1

    Приведем выражение к общему знаменателю и приравняем числители:

    5832=2*b1^2

    b1^2=5832/2=2916

    b1=√2916=54

    Ответ:  b1=54

    Проверяем, если интересно: q=18/54=1/3

    b2=54/3=18

    b3=54/9=6

    b4=54/27=2 ну и так далее.

  • В геометрической целочисленной прогрессии сумма первых пяти членов равна 242, а второй член последовательности равен 6. Найдите её четвёртый член.


    Решение: b1+b1q+b1q^2+b1q^3+b1q^4=242 => b1*(1+q+q^2+q^3+q^4)=242

    b1q=6 => b1=6/q

    тогда

    (6/q)*(1+q+q^2+q^3+q^4)=242 => 6*(1+q+q^2+q^3+q^4)=242q

    откуда

      q=3

    b1=6/q=6/3=2

    b4=b1q^3=2*3^3=54

    Ответ: b4=54

  • Известно, что в геометрической прогрессии второй и тритий члены равны соответственно 6 и 18. Чему равен первый член это прогрессии?


    Решение: $$ b_{2} = 6 \\ b_{3} = 18 \\ $$
    ___________________
    $$ b_{1} = ? \\ $$
    Решение: формула n-го члена геометрической прогрессии
    $$ b_{n} = b_{1}* q^{n-1} $$
    Тогда 
     $$ \left \{ {{b_{1}* q^{2-1} = 6} \atop {b_{1}* q^{3-1}=18}} \right. \\ \left \{{{b_{1}* q = 6} \atop {b_{1}* q^{2}=18}} \right. \\ $$
    Делим первое  уравнение на второе, получим:
    $$ \frac{b_{1}* q }{b_{1}* q^{2}} = \frac{6}{18} \\ \frac{1 }{q} = \frac{1}{3} \\ q=3 \\ $$
    Тогда из формулы второго члена найдём первый член:
    $$ b_{2} = b_{1}* q \\ b_{1} = \frac{b_{2} }{q} = \frac{6}{3} = 2 \\ $$
    Ответ: 2.

  • 1. Падающий на землю груз за первую секунду проходит 16м. за вторую секунду 48 м. за третью секунду 80 м. Какова будет скорость падения груза на 11 секунде? Какой путь груз пройдет за первые 11 секунд?

    2. Найдите шестой член геометрической прогрессии, если а3 = 4,8, а5 = 19,2.

    3. Найдите шестой член геометрической прогрессии, если а4 = -40, q = -2.

    4. Обьем прямоугольного параллелепипеда равен 64 м. в кубе. Найдите размеры этого параллелепипеда, если они образуют геометрическую прогрессию, причем произведение двух из них равно третьему.


    Решение: 1) An=a1+(n-1)d
    где Ан искомый элемент
    А1 - первый элемент

    н - номер искомого элемента

    д - шаг прогрессии

    d= 48-16 = 32

    An=16+10*32 = 336м/с

    Sn=(a1+an)/2 * n = (16+336)2 * 11 = 1936
    2)

    a3=корень(a4*a5)= корень(4,8*19,2)=9,6

    шаг = 9,6/4,8=2
    a6 = шаг*а5= 19,2*2 = 38,4

    3)

    а5= -40*(-2)=80

    а6 = 80*(-2)= -160

    4)

    a*b*c=64

    a*b=c

    c*c=64

    c=8

    a*b=8

    b/a=8/b

    8a=b^2

    b^3=64

    b=4

    a=2
    2;4;8
    Вопросы, ошибки, недочеты в ЛС 

  • Найти пятый член возрастающей геометрической прогрессии, в которой второй член равен 16, а сумма первых трех членов равна 56.


    Решение: Второй член равен среднему геометрическому первого и третьего членов.
    Сумма этих членов - 40.
    b1+b3=40 b1=40-b3
    b1*b3=256 40b3-b3^2=256
      b3^2-40b3+256=0
      D = 24^2 b3 1,2=40+-24\2=32;8
      Отсюда b1=40-32=8 или b1=40-8=32
    Т. к. прогрессия возрастающая, то b3>b1, поэтому прогрессии удовлетворяет одна пара корней (8;32)
    Найдём знаменатель q=b2\b1=16\8=2.
    b5=b1*q^4=8*2^4=16*8=128
    Ответ:128
     

  • Сумма первого третьего членов возрастающей геометрической прогресса равна 10 а её второй член равен 3 найти произведение первого и пятого членов прогрессии


    Решение: Геометрическая прогрессия возрастающая, значит q>1
    $$ \left \{ {{b_{1}+b_{3}=10} \atop {b_{2}=3=b_{1}*q}} \right. $$
    $$ b_{1}+b_{1}*q^{2}=10 $$
    $$ b_{1}*(1+q^{2})=10 $$
    $$ b_{1}= \frac{3}{q} $$
    $$ \frac{3}{q}*(1+q^{2})=10 $$
    $$ \frac{3}{q}+\frac{3q^{2}}{q}=10 $$
    $$ \frac{3+3q^{2}-10q}{q}=0 $$
    $$ 3q^{2}-10q+3=0, D=100-4*3*3=64=8^{2} $$
    $$ q_{1}= \frac{10-8}{6}= \frac{1}{3}<1 $$ - посторонний корень
    $$ q_{2}= \frac{10+8}{6}=3\ > \ 1 \\ b_{1}= \frac{3}{q}=\frac{3}{3}=1 $$
    $$ b_{1}*b_{5}=b_{1}*b_{1}*q^{4}=b^{2}_{1}*q^{4}=1*3^{4}=81 $$
    Ответ: 81

  • 1) Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 15, а сумма второго и четвертого -30. Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.
    2) Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 31. Первый член на единицу меньше знаменателя прогрессии. Найдите знаменатель.


    Решение: 1)
    b1+b3=b1+b1q²=b1(1+q²)=15
    b2+b4=b1q+b1q³=b1q(1+q²)=-30
    Поделим одно на другое и получим:
    q=-2, b1=3
    S10=b1(q^n-1)/(q-1)=3·1023/(-3)=-1023
    2) 
    b1=x
    q=x+1
    S5=x((x+1)^5-1)/x=(x+1)^5-1=31
    (x+1)^5=32
    x+1=2⇒x=1⇒q=2

    .

    b b b b q b q b b b q b q b q q - Поделим одно на другое и получим q - b S b q n- q- - -  b xq x S x x - x x - x x x q ....

  • Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 10, а сумма второго и четвертого членов равна 20. Найдите первый член этой прогрессии. Напишите подробное решение


    Решение: $$ b_n=b_1\cdot q^{n-1};==>b_2=b_1\cdot q=b_1\cdot q^{2-1}\\ \left \{ {{b_1+b_3=10} \atop {b_2+b_4=20}} \right. \\ b_1-;\\ \left \{ {{b_1+b_1\cdot q^2=10} \atop {b_1\cdot q+b_1\cdot q^3=20}} \right. ;\\ \left \{ {{b_1\cdot(1+q^2)=10;} \atop {b_1\cdot q\cdot(1+q^2)}=20;} \right.\\ \frac{b_1\cdot q\cdot(1+q^2)}{b_1\cdot(1+q^2)}=\frac{20}{10};\\ q=2;\\ b_1+b_1\cdot2^2=10;\\ b_1\cdot(1+4)=10;\\ $$
    $$ b_1\cdot5=10;\\ b_1=\frac{10}5=2;\\ b_1\cdot2+\b_2\cdot2^3=20;\\ b_1\cdot(2+8)=20;\\ b_1\cdot10=20;\\ b_1=\frac{20}{10}=2. $$
    первій член прогрессии равен 2

  • Сумма второй и третий членов геометрической прогрессии равна 30, и разница четвертого и второй равна 90. Найти первый член прогрессии.


    Решение: $$ \begin{cases} b_2+b_3=30 \\ b_4-b_2=90 \end{cases} \ < \ =\ > \ \begin{cases} b_2+b_2q=30 \\ b_2q^2-b_2=90 \end{cases} \ < \ =\ > \ \begin{cases} b_2(q+1)=30 \\ b_2(q^2-1)=90 \end{cases} \\ \begin{cases} b_2(q+1)=30 \\ b_2(q-1)(q+1)=90 \end{cases} \ < \ =\ > \ \begin{cases} b_2(q+1)=30 \\ 30(q-1)=90 \end{cases} \ < \ =\ > \ $$
    $$ \begin{cases} b_2(q+1)=30 \\ q-1=3 \end{cases} \ < \ =\ > \ \begin{cases} q=4 \\ b_2=6 \end{cases} =\ > \ b_1=\dfrac{b_2}{q}=\dfrac{6}{4}=1,5 $$
    Ответ: 1,5.

  • Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 10 а сумма второго и четвёртого её членов равна - 20. Найти сумму шести первых членов прогрессии
    Как решить?


    Решение: $$ \left \{ {{S_1+S_3=10} \atop {S_2+S_4=20}} \right. => \\ \left \{ {{ \frac{2a_1}{2} + \frac{2a_1+2d}{2}\cdot 3 =3 } \atop { \frac{2a_1+d}{2}\cdot 2 + \frac{2a_1+3d}{2}\cdot 4=20 }} \right. =\ > \ \left \{ {{4a_1+3d=10} \atop {6a_1+7d=20}} \right. =\ > \ \left \{ {{a_1= \frac{10-3d}{4} } \atop {6\cdot\frac{10-3d}{4} +7d=20}} \right. $$
    $$ 1.5(10-3d)+7d=20\\ 15-4.5d+7d=20\\ 2.5d=5\\ d=2\\ a_1= \frac{10-6}{4}=1 $$
    Сумма 6 членов
    $$ S_6= \frac{2a_1+5d}{2}\cdot 6=6a_1+15d=6\cdot 1+15\cdot 2 =36 $$
    Ответ: 36.

<< < 345 6 7 > >>