прогрессия »

второй член геометрической прогрессии - страница 12

  • В геометрической прогрессии сумма первого и треть­его членов равна 10, а сумма второго и четвертого членов равна – 5. Найдите сумму геометрической прогрессии


    Решение: $$ \begin{cases} b_1+b_3=10\\ b_2+b_4=-5 \end{cases}\\ b_2=b_1\cdot q\\ b_3=b_1\cdot q^2\\ b_4=b_1\cdot q^3\\ \begin{cases} b_1+b_1\cdot q^2=10\\ b_1\cdot q+b_1\cdot q^3=-5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} b_1=\frac{10}{1+q^2}\\ \frac{10q}{1+q^2}+\frac{10q^3}{1+q^2}=-5 \end{cases}\\ \frac{10q}{1+q^2}+\frac{10q^3}{1+q^2}=-5\\ 10q+10q^3=-5(1+q^2)\\ 10q^3+5q^2+10q+5=0\quad\div5\\ 2q^3+q^2+2q+1=0\\ q^2(2q+1)+(2q+1)=0\\ (q^2+1)(2q+1)=0\\ q^2+1=0\\ q^2=-1\;-\;pew.HET\\ 2q+1=0\\ 2q=-1\\ q=-\frac12=-0,5 $$

    $$ \begin{cases} b_1=8\\q=-0,5\end{cases} $$

    Прогрессия бесконечно убывает, поэтому её сумма

    $$ S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{8}{1-(-0,5)}=\frac{8}{1,5}=\frac{80}{15}=5\frac5{15}=5\frac13 $$

  • В возрастающей геометрической прогрессии, состоящей из шести членов, сумма первого и последнего и последнего равна 66, произведение второго и пятого членов равно 128. Найдите сумму всех членов.


    Решение: Формула для нахождения суммы возрастающей геом. прогрессии:
    $$ S_n= \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} $$
    Нам нужно найти: $$ b_1, q $$
    По условию: 
    $$ \left \{ {{b_1+b_6=66} \atop {b_2*b_5=128}} \right. $$
    Формула для нахождения членов геом. прогрессии: $$ b_n=b_1*q^{n-1} $$.
    Теперь можно подставить b1 и q в системе, вместо b2 и b5, b6:
    $$ \left \{ {{b_1+b_1q^5=66} \atop {b_1q*b_1q^4=128}} \right. $$
    И вот у нас готовая система с двумя неизвестными и двумя переменными. Решается, как обычная система уравнений:
    Из первого уравнения в системе выражаем b1:
    $$ \left \{ {{b_1= \frac{66}{1+q^5} } \atop {( \frac{66}{1+q^5})^2*q^5 =128}} \right. $$
    Теперь решаем второе уравнение(напишу его отдельно):
    $$ ( \frac{66}{1+q^5})^2*q^5 =128 \\ \frac{66^2q^5-128(1+q^5)^2}{(1+q^5)^2} =0 $$
    Пишем ОДЗ, и не забываем, что q>1, так как геом. прогрессия возрастающая:
    $$ \left \{ {{q>1} \atop {(1+q^5)^2 eq 0}} \right. \\ \left \{ {{q>1} \atop {q eq -1}} \right. \\ q>1 $$
    Раскрыв скобки и приведя общие члены получаем:
    $$ 128q^{10}-4100q^5+128=0 \\ 32q^{10}-1025q^5+32=0 $$
    Можно ввести новую переменную:
    $$ q^5=y;q^{10}=y^2 $$
    $$ 32y^2-1025y+32=0 \\ y_1= \frac{1}{32} \\ y_2=32 $$
    Делаем обратную замену:
    $$ q_1^5= \frac{1}{32} \\ q_2^5=32 $$
    Не забываем про ОДЗ:
    $$ q^5=32 \\ q=2 $$
    Вернёмся к нашей системе:
    $$ \left \{ {{b_1= \frac{66}{1+q^5} } \atop {q=2}} \right. \\ \left \{ {{b_1=2} \atop {q=2}} \right. $$
    И наконец находим сумму всех членов прогрессии:
    $$ S_6= \frac{b_1(1-q^6)}{1-q} = \frac{2(1-64)}{1-2} =128 $$
    Ответ: Сумма 6 членов геом. прогрессии = 128

  • В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 144, а сумма второго и третьего членов равна 48. Найдите первые три члена этой прогрессии.


    Решение: A + ax = 144
    ax + ax^2 = 48
    Вынесем во втором уравнении системы за скобки х, получим
    х(а+ах) = 48
    Из первого уравнения системы а+ах = 144, подставляем
    144х = 48
    х = 48/144 = 1/3
    Подставляем в первое уравнение
    а + а/3 = 144
    4а/3 = 144
    4а = 432
    а = 432/4 = 108
    Первый член 108
    Второй член 108/3 = 36
    Третий член 36/3 = 12

  • В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 200, а сумма второго и третьего членов равна 50. Найдите первые три члена этой прогрессии.


    Решение: Первый член а1

    Второй член а2=a1*q

    Третий член а3=a1*q*q

    a1+a2 = a1 + a1*q = 200

    a2+a3 = a1*q + a1*(q в квадрате)

    Система уравнений

    a1*(1+q)=200

    a1*q*(1+q)=50

    Из первого уравнения подставим во второе 200*q=50 получим q = 1/4

    Заменим в первом q и получим a1*5/4=200, отсюда a1=160

    Первый член а1 = 160

    Второй член а2=a1*q = 40

    Третий член а3=a1*q*q = 10

  • В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 140, а сумма второго и третьего членов равна 105. Найдите эти три члена прогрессии.


    Решение: b1+b2=140, b1+b1q=140, b1(1+q)=140  (1)

    b2+b3=105, b1q+b1q^2=105,b1q(1+q)=105  (2)

    разделим (2) на (1) получим q=105/140=3/4

    b1(1+3/4)=140, b1=140*4/7=80

    b2=80*3/4=60

    b3=60*3/4=45

     b1+b2 =140

     b2+b3=105

    b1 + b1*q = 140

    b1*q + b1*q^2 = 105

    b1*(1+q)=140

    b1*q*(1+q)=105

    q*140=105 ; q=105/140=21/28=3/4

    b1=140 / (1+q)=140 / (1 + 3/4)=140 * 4/7=80

    b2=b1*q=80 * 3/4=60

    b3=b2*q=60 * 3/4= 45

<< < 101112 13 14 > >>