прогрессия »
n член геометрической прогрессии - страница 10
1) Для геометрической прогрессии 2; 2/3; 2/9;. найдите а) пятый член; б)n-член.
2) Для геометрической прогрессии 3; 3/2; 3/4;. найдите а) пятый член; б)n-член.
Решение: $$ b_{n} = b _{1} * q ^{n-1} $$ - Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по этой формуле, где
знаменатель прогрессии q = $$ \frac{b _{2} }{b _{1} } $$
1) q = 2/3 : 2 = 1/3
a) $$ b _{5} = b _{1} * q ^{4} = 2 * ( \frac{1}{3} ) ^{4} = 2 * \frac{1}{81} = \frac{2}{81} $$
б) $$ b_{n} = 2 * (\frac{1}{3} ) ^{n-1} $$
____________________________________
2) q = 3/2 : 3 = 1/2
a) $$ b _{5} = b _{1} * q ^{4} = 3 * ( \frac{1}{2} ) ^{4} = 3 * \frac{1}{16} = \frac{3}{16} $$
б) $$ b_{n} = 3 * (\frac{1}{2} ) ^{n-1} $$
1) могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составлять геометрическую прогрессию?
2) в геометрической прогрессии всего n членов:
а) какой номер имеет четвертый член?: б) каков номер k-го члена от конца, если члены занумерованы от начала?
Решение: 1) Наверное так:
пусть один катет b, другой катет b·q, гипотенуза bq²
Проверяем выполнение теоремы Пифагора
(bq²)²=b²+(bq)²
b²q⁴=b²+b²q² ⇒ q⁴=1+q²
q⁴-q²-1=0
D=(-1)²+4=5
q²=(1+√5)/2 второе решение не подходит, так как (1-√5)/2<0
$$ q= \sqrt{ \frac{1+ \sqrt{5} }{2} } $$
отрицательное q не удовлетворяет условию задачи ( стороны не могут быть отрицательными)
2) а) четвертый имеет четвертый номер. Счет начинается с первого, с 1.
б)b₁ - первый член прогрессии, n-ый
b₂- второй
b₃ -третий
.
$$ b_k - k-ый $$ ((n-k)+1)-ый
$$ b_{k+1} - (k+1)-ый $$ (n-k) ый
.
$$ b_n $$ - n-ый обратный счет вверх 1-ый
После того как слева отметили к-ый от начала член прогрессии, останется (n-k) членов прогрессии.
Теперь смотрим на правый столбик и начинаем подниматься вверх.
Когда дойдем до строчки, в которой слева написано k-ый член прогрессии, получается, что справа прошли (n-k) строчек вверх.
Обозначим
n-k+1=m ⇒ k=n-m+1
Поэтому если справа (снизу вверх) дойдем до элемента под номером m, то слева это элемент под номером (n-m+1)
Ответ. k-ый от конца имеет номер (n-k+1)
Как найти n член геометрической прогрессии
Решение: Q=an+1anГеометрическая прогрессия это такая последовательность чисел, в которой отношение между последующим и предыдущим членами прогрессии остается неизменным. Это неизменное отношение называется знаменателем прогрессии.
Энный член геометрической прогрессии ищется по формуле
Вn = B1 * q^ n-1. т. е. первый член ( В1) умножить на знаменатель в степени (n - 1 )
например дано первый член В1 = 6, знаменатель q = 3, надо найти 7- й член прогрессии ( n = 7 ), подставляем в формулу значения
B7 = 6 * 3 ^ 7 -1. 6 * 3^6 ( 6 умножить на 3 в степени 6 )Найдите шестой и n-й члены геометрической прогрессии: а.48;12 б. дробь 64\9.32\3 в.0,001;-0,01; г.100;10; с полным решением)
Решение: а) 48, 12,b1 = 48, q = 1/4
b6 = b1*q^5 = 48/4^5 = 3/64
bn = b1*q^(n-1) = 48/4^(n-1) = 3*(4^(3-n))
б) 64/9,32/3.
b1 = 64/9, q = - 3/2
b6 = b1*q^5 = - 64*243/(9*32) = -54
bn = b1*q^(n-1) = (64/9)*(-3/2)^(n-1)
в) -0,001; -0,01.
b1 = -0,001; q = 10
b6 = b1*q^5 = -0,001*10^5 = -100
bn = b1*q^(n-1)= -0,001* 10^(n-1) = -10^(n-4)
г) -100, 10.
b1= -100; q = -0,1b6 = b1*q^5 = 100 *(-10)^(-5) = -0,001
bn = b1*q^(n-1) = 100*(-0,1)^(n-1)
Найдите шестой и n-й члены геометрической прогрессии:
А) 48;12;.;
Б)64/9;-32/3;.;
В)-0,001;-0,1;.
Г)-100;10;.;
Решение: n-ый член геометрической прогрессии вычисляется по формуле $$ b_n=b_1q^{n-1} $$, где q - знаменатель прогрессии, вычисленный, например, как отношение второго члена прогрессии к первому: $$ q= \frac{b_2}{b_1} $$.
а)
$$ q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{12}{48} = \frac{1}{4} \\\ b_6=b_1q^5=48\cdot ( \frac{1}{4} )^5= \frac{3}{64} \\\ b_n=b_1q^{n-1}=48\cdot ( \frac{1}{4} )^{n-1}= \frac{48}{4^{n-1}} $$
б)
$$ q=\frac{b_2}{b_1}=- \frac{32}{3}: \frac{64}{9}=- \frac{32}{3}\cdot \frac{9}{64} =- \frac{3}{2} \\\ b_6=b_1q^5= \frac{64}{9} \cdot ( -\frac{3}{2} )^5=- \frac{2^6}{3^2} \cdot \frac{3^5}{2^5}=-54 \\\ b_n=b_1q^{n-1}= \frac{64}{9} \cdot ( -\frac{3}{2} )^{n-1}= (-1)^{n-1}\frac{2^6\cdot3^{n-1}}{3^2\cdot2^{n-1}} = (-1)^{n-1}\frac{3^{n-3}}{2^{n-7}} $$
в)
$$ q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-0.1}{-0.001}=100 \\\b_6=b_1q^5=-0.001 \cdot 100^5=-10^{-3} \cdot10^{10}=-10^7 \\\ b_n=b_1q^{n-1}= -0.001 \cdot 100^{n-1}= -10^{-3} \cdot10^{2n-2}=-10^{2n-5} $$
г)
$$ q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{10}{-100}=-0.1 \\\ b_6=b_1q^5=-100 \cdot (-0.1)^5=100\cdot10^{-5}=10^{-3} \\\ b_n=b_1q^{n-1}=-100 \cdot (-0.1)^{n-1}=(-1)^{n}\cdot 10^2\cdot10^{1-n}=(-1)^{n}\cdot10^{3-n} $$
найдите обозначенные буквами члены геометрической прогрессии b(n): b1;b2;b3;36;54
Решение: Для геометрической прогрессии: b2=q*b1, b3=q*b2, b4=q*b3 и т. д, то есть 54/36=1,5 q=1.5. Теперь, чтобы найти b2 надо b3 разделить на q, получим 36/1.5=2424/1,5=16
. Аналогично, b1=b2:q=16/1,5=10.66666
Сразу находим знаменатель прогрессии:
q = 54/36 = 3/2
Теперь находим первый член из:
b4 = b1*q^3
b1 = b4/(q^3) = 36/(27/8) = 32/3
Оставшиеся члены:
b2 = b1*q = (32/3)*(3/2) = 16
b3 = b2*q = 16*(3/2) = 24
Ответ: 32/3; 16; 24.
В Геометрической прогрессии состоящей из тридцати членов, сумма пятнидцати членов с нечетными номерами в 3 раза меньше, чем сумма всех членов прогрессии. Найдите знаменатель прогрессии.
Решение: Обозначим r искомый знаменатель прогрессииСумма прогрессии из 30 членов:
$$ S=\frac{r^{30}-1}{r-1} $$
Пятадцать нечетных членов составляют геометрическую прогрессию со знаменателем r^2.
Сумма этой прогрессии:
$$ S=\frac{r^{30}-1}{r^{2}-1} $$
$$ \frac{r^{30}-1}{r-1}=3\frac{r^{30}-1}{r^{2}-1} $$
Приведем к общему знаменателю:
$$ \frac{(r^{30}-1)(r+1)}{r^{2}-1}=3\frac{r^{30}-1}{r^{2}-1} $$
Откуда $$ (r^{30}-1)(r+1)=3(r^{30}-1) $$
С учетом того, что $$ (r^{30}-1)eq0 $$ получим r+1=3
откуда r=2
1. автомобиль проехал некоторое расстояние, израсходовав 21 л топлива. расход топлива при этом составил 9л на 100км пробега. затем автомобиль существенно увеличил скорость, в результате чего расход топлива вырос до 12л на 100км. сколько литров топлива понадобится автомобилю, что бы проехать такое же расстояние?
2. основание остроугольного равнобедренного треугольника равно 10, а синус противолежащего угла равен 0,6. найдите площадь треугольника.
3. найдите количество корней в уравнении 32sin2x+8cos4x=23 на промежутке [-п;3п/4]
4. геометрическая прогрессия со знаменателем 5 содержит 10 членов. сумма всех членов прогрессии равна 24. найдите сумму всех членов прогрессии с чётными номерами.
Решение: 1. Составим пропорцию, где х - кол-во литров необходимое найти
21/9=х/12 => х=21*12/9=28л
2. Пусть основание треугольника - а, тогда противолежащий ему угол - А.
Найдём косинус угла А
sinA^2+cosA^2=1 => cosA^2= 1-0.36=0.64 => cosA=0.8
Через теорему косинусов найдём в и с, они равны (т. к. тр. равнобедренный) и обозначим их за х:
а^2=b^2+c^2-2*b*c*cosA
100=2x^2-2x^2*0.8
0,4*x^2=100
x=5√10 => b=c= 5√10
По формуле Герона найдём площадь:
p=(a+b+c)/2=(5+5√10)/2
S=√p(p-a)(p-b)(p-c)=75
3. 32sin2x+8cos4x=23 | cos4x=cos^2(2x)-sin^2(2x) |
32sin2x+8cos^2(2x)-8sin^2(2x)=23 | cos^2(2x)=1-sin^2(2x) |
32sin2x+8-8sin^2(2x)-8sin^2(2x)=23
sin2x=y составим уравнение:
-16y^2+32y-15=0
y1=1.25 y2=0.75
sin2x=1.25 sin2x=0.75
Четыре числа образуют возрастающую геометрическую прогрессии, в которой сумма крайних членов равна 64, а произведение средних членов 960. найдите большее из этих чисел
Решение: Так как геометрическая прогрессия состоит из 4 членов, мы получаем: b1, b2, b3, b4. Прогрессия возрастающая, и наибольший член - b4.
b1 + b4 = b1 + b1*q^3 = 64
b2 * b3 = b1*q * b1*q^2 = b1* b1*q^3 = 960.
Выходит:
b1*q^3 = 64 - b1, значит здесь q^3 = (64 - b1) / b1
b1 * (64 - b1) = 960.
Из этого получаем квадратное уравнение.
b1^2 - 64b1 + 960 = 0
D = 64^2 - 4*960 = 4096 - 3840 = 256.
b1(1) = (64 + 16) / 2 = 40, q^3 = (64 - 40)/40 = 24/40. не подходит, т. к q меньше 0 будет.
b1(2) = (64 - 16) / 2 = 24, q^3 = (64 - 24) / 24 = 40/24. Ничего не меняем, так и оставляем.
В итоге:
b1 = 40.
Самое большое число b4 = b1 * q^3 = 24 * 40/24 = 40.
Ответ: 40.
Определить три числа, являющихся последовательными членами геометрической прогрессии, если их сумма равна 21, а сумма обратных величин равна 7/12
Решение: Примем за х первый член из искомой группы, за к - коэффициент прогрессии.
Условие сумма обратных величин равна 7/12 можно записать:$$ \frac{1}{x} + \frac{1}{kx} + \frac{1}{k^2x} = \frac{7}{12} $$.
Приведя к общему знаменателю, получим:
$$ \frac{k^2+k+1}{k^2x} = \frac{7}{12} $$.
Имеем две равные дроби, значит, числители и знаменатели их равны между собой.
к² + к + 1 = 7
Квадратное уравнение к² + к - 6 = 07, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=1^2-4*1*(-6)=1-4*(-6)=1-(-4*6)=1-(-24)=1+24=25;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
к_1=(√25-1)/(2*1)=(5-1)/2=4/2=2;
к_2=(-√25-1)/(2*1)=(-5-1)/2=-6/2=-3.
к²х = 12 х = 12 / к²
х₁ = 12 / 4 = 3
х₂ = 12 / 9 = 4 / 3.
Получили 4 последовательности:
1) 3, 6, 12 их сумма равна 21,
2) 3, 4, 16/3 их сумма не равна 21,
3) 4/3, 8/3, 16/3 их сумма не равна 21,
4) 4/3,12/3, 12 их сумма не равна 21.
Условию задачи отвечает 1 вариант.
