прогрессия »
n член геометрической прогрессии - страница 11
Найдите произведение трёх чисел, зная, что они являются последовательными членами геометрической прогрессии и их сумма равна 14, а сумма их квадратов равна 364.
Решение: Пусть первый член некий х, и пусть знаменатель равен $$ q $$ тогда
$$ x+xq+xq^2=14\\ x^2+x^2q^2+x^2q^4=364 $$
Если выразить с первое х, то потом будет сложно решать уравнение, лучше поступить так, поделить второе уравнение на первое в итоге получим
$$ (q^2-q+1)x=26\\ x= \frac{26}{q^2-q+1}\\ \\ \frac{26}{q^2-q+1}+\frac{26q}{q^2-q+1}+\frac{26q^2}{q^2-q+1}=14\\ 26+26q+26q^2=14(q^2-q+1)\\ 26+26q+26q^2=14q^2-14q+14\\ 12q^2+40q+12=0\\ q=-3\\ q=-\frac{1}{3} $$
тогда $$ x=2\\ x=18 $$
и они удовлетворяют второму условию, проверил
1)$$ x=2\\ xq=-6\\ xq^2=18\\ P=2*-6*18=-216 $$
2)$$ x=18\\ xq=-6\\ xq^2=2\\ P=-216 $$
Ответ -216Сумма тридцати начальных членов геометрической прогрессии в 72 раза меньше, чем сумма ее следующих шестидесяти членов. Найдите отношение пятидесятого члена к десятому ее члену.
Решение: По формуле общего члена геометрической прогрессии:
$$ b_n=b_1\cdot q^{n-1} $$
Найти
b₅₀/b₁₀=b₁·q⁴⁹/b₁·q⁹=q⁴⁰.
По условию:
S₃₀ меньше (S₉₀-S₃₀) в 72 раза.
Значит
72S₃₀=S₉₀-S₃₀
или
73S₃₀=S₉₀.
По формуле суммы n- первых членов геометрической прогрессии:
$$ S_n= \frac{b_1(q^{n}-1)}{q-1} $$
73b₁(q³⁰-1)=b₁(q⁹⁰-1);
73q³⁰-q⁹⁰=72
q³⁰=t
q⁹⁰=(q³⁰)³=t³
Кубическое уравнение
t³-73t+72=0
Легко заметить, что t=1 является корнем уравнения 1-73+72=0- верно.
Это поможет разложить левую часть на множители.
t³-1-73t+73=0
(t-1)(t²+t+1)-73(t-1)=0
(t-1)(t²+t-72)=0
t₁=1 или t²+t-72=0
D=1+288=289
t₂=(-1-17)/2=-9 или t₂=(-1+17)/2=8
q³⁰=-9 - уравнение не имеет корней.
q³⁰=8;
(q¹⁰)³=2³.
Значит
q¹⁰=2
q⁴⁰=2⁴=16
О т в е т.b₅₀/b₁₀=q⁴⁰=16.
Четыре числа образуют возрастающую геометрическую прогрессию, в которой сумма крайних членов равна 64, а произведение средних членов 960. Найти большее из этих чисел
Решение: Так как геометрическая прогрессия состоит из 4 членов, мы получаем: b1, b2, b3, b4. Прогрессия возрастающая, и наибольший член - b4.
b1 + b4 = b1 + b1*q^3 = 64
b2 * b3 = b1*q * b1*q^2 = b1* b1*q^3 = 960.
Выходит:
b1*q^3 = 64 - b1, значит здесь q^3 = (64 - b1) / b1
b1 * (64 - b1) = 960.
Из этого получаем квадратное уравнение.
b1^2 - 64b1 + 960 = 0
D = 64^2 - 4*960 = 4096 - 3840 = 256.
b1(1) = (64 + 16) / 2 = 40, q^3 = (64 - 40)/40 = 24/40. не подходит, т. к q меньше 0 будет.
b1(2) = (64 - 16) / 2 = 24, q^3 = (64 - 24) / 24 = 40/24. Ничего не меняем, так и оставляем.
В итоге:
b1 = 40.
Самое большое число b4 = b1 * q^3 = 24 * 40/24 = 40.
Ответ: 40.Четыре числа образуют возрастающую геометрическую прогрессию, в которой сумма крайних членов равна 64, а произведение средних членов 960. Найти большее из этих чисел
Решение: Числа х, хр, хр², хр³. р - знаменатель прогрессии. По условию р больше 1.
х + хр³ = 64,
хр*хр²=960. х²р³=960, р³ =960/х² Подставляем в первое уравнение.
х +х* 960/х² =64
х +960/х =64
х²+960 -64х = 0
х =(64+-16)/2
х₁=24, х₂ =40
(р₁)³=960/576 =5/3, (р₂)³=960/1600<1. отбрасываем.
Большее из чисел хр³ = 24*5/3= 40.Положительные числа \( a, b, c \), отличные от единицы являются последовательными членами геометрической прогрессии. Найти \( \frac{ log_{b}3 *( log_{ a^{2} }C- \log _{c} \sqrt{a}) }{ log_{a}9- 2log_{c}3 } \)
Решение: $$ a\ < \ b\ < \ c\\ \frac{c}{b} = \frac{b}{a}\\ b^2=ac\\\\ $$
теперь чтобы не запутаться в преобразованиях можно, подобрать такие значения, что оно не изменится
$$ a=2\\ c=8\\ b=4\\\\ \frac{log_{4}3 (log_{{2}^{2}}8 - log_{8}\sqrt{2})}{log_{2}9 - 2*log_{8}3} \\\\ \frac{log_{4}3 ( \frac{3}{2} - \frac{1}{6})*3}{ log_{2}9^3-log_{2}9} = \frac{2*log_{4}3}{ log_{2}9} = \frac{log_{2}3}{ \frac{2}{ log_{3}2}} = \frac{1}{2} $$
то есть $$ \frac{1}{2} $$, и при любых значения оно такоеДано: 625; 125; ...; 1/25
Нужно найти n последнего члена геометрической прогрессии.
Решение: B1=625
b2=125
q=b2/b1=1/5
bn=1/2
bn=b1*q^(n-1)
1/25=625*1/5^(n-1)
1/25*1/625=1/5^(n-1)
1/(25*625)=1/5^(n-1)
5^(n-1)=(25*625)=5^(2+4)=5^6
(n-1)=6
n=7
Решение:
Найдем, чему будет равно частное прогрессии:
$$ q=\frac{b_{n+1}}{b_n} \\ q = \frac{125}{625} = 0.2 $$
Мы нашли частное прогрессии. Пусть x - номер последнего члена.
Тогда решим уравнение относительно формулы:
$$ b_n=b_1q^{n-1} $$
Подставляем известные данные:
$$ 5^{-2}=5^4*0.2^{x-1} \\ 5^{-2}=5^4*5^{1-x} \\ $$
Решаем показательное уравнение. Убираем основания степеней:
$$ -2 = 4 + (1 -x) \\ -2 = 4+1-x \\ 5-x = -2 \\ x = 7 $$
Значит, искомый номер последнего члена равен семи.
Ответ: n = 7
Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: b,0.04, 0,2. Найдите член прогрессии, обозначенный через b.
Решение: Геометрическая прогрессия задана условиями: b1=3, bn+1=3bn. Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?6 12 24 27 Существует ли геометрическая прогрессия, в которой b2=-2, b5=54, b7=486? В геометрической прогрессии b1=-81, q =. В каком случае при сравнении членов этой прогрессии знак неравенства поставлен неверно?b1<b<b2 b1<b<b3 b2>b4 b3>b5 Известны два члена геометрической прогрессии: b3=12, b4= 24. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:…. Найдите член прогрессии, обозначенный через b. Геометрическая прогрессия задана условиями: b1=3, bn+1=3bn. Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?6 12 24 27 Существует ли геометрическая прогрессия, в которой b2=-2, b5=54, b7=486? В геометрической прогрессии b1=-81, q =. В каком случае при сравнении членов этой прогрессии знак неравенства поставлен неверно?b1<b<b2 b1<b<b3 b2>b4 b3>b5 Известны два члена геометрической прогрессии: b3=12, b4= 24. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:….b; Найдите член прогрессии, обозначенный через b. Геометрическая прогрессия задана условиями: b1=3, bn+1=3bn. Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?6 12 24 27Пятый и седьмой член убывающей геометрической прогрессии равны соответственно 243 и 1/3. Найдите шестой член прогрессии
Решение: B₅=243
B₇=¹/₃
B₆-
B₇=B₅*q²
q²=B₇
B₅
q²=¹/₃ : 243
q²=¹/₃ * ¹/₂₄₃
q²=¹/₇₂₉
q=¹/₂₇
B₆=B₅*q=243 * ¹/₂₇=9
Ответ: B₆=9
В геометрической прогрессии с четным числом членов сумма всех ее членов в 3 раза больше суммы членов, стоящих на нечетных местах. Найдите знаменатель прогрессии.
Решение: Здесь неясность, в прогрессии количество элементов бесконечно, хотя в убывающей геометрической прогрессии сумма всех элементов может сходиться.Иными словами, условие следует понимать так что n первых членов прогрессии, где n = 2k,
выполняется условие $$ \sum_{k=1}^{\ n/2}(b_{2k}) $$ в три раза больше, чем $$ \sum_{k=0}^{\ n/2}(b_{2k+1}) $$
рассмотрим это более подробно на примере первых шести элементов
сумма нечетных S(1,3,5) = b1 + b3 + b5
сумма четных S(2,4,6) = b2 + b4 + b6 = b1*q + b3*q + b5*q = q(b1 + b3 + b5) = q*S(1,3,5)
следовательно отношение между четной суммой и нечетной равно знаменателю прогрессии.
Для нашей задачи это число 3
Ответ 3
Найдите три последовательных члена геометрической прогрессии с положительными членами, если их сумма равна 21, а сумма обратных к ним чисел равна 7/12
Решение: Первый из трех обозначим b1
следующий: b1*q
третий: b1*q² (q > 0)
b1 + b1*q + b1*q² = 21
b1*(1+q+q²) = 21 -> b1 = 21 / (1+q+q²)
(1 / b1) + (1 / (b1*q)) + (1 / (b1*q²)) = 7/12
(1 / b1)*(1 + (1/q) + (1/q²)) = 7/12
((1+q+q²) / 21)*((q²+q+1) / q²) = 7/12
(1+q+q²)² = (7/12) * 21q²
((1+q+q²) / q)² = 49/4
(1+q+q²) / q = 7/2 или (1+q+q²) / q = -7/2
2+2q+2q² = 7q или 2+2q+2q² = -7q
2q²-5q+2 = 0 или 2q²+9q+2 = 0
D=25-16=3² D=81-16=65
q1 = (5-3)/4 = 0.5 q3 = (-9-√65)/4 < 0
q2 = (5+3)/4 = 2 q4 = (-9+√65)/4 < 0
1) q = 1/2 - убывающая последовательность
b1 = 21 / (1+0.5+0.25) = 21 / 1.75 = 12
b2 = 12*0.5 = 6
b3 = 6*0.5 = 3 -их сумма = 21
(1/12) + (1/6) + (1/3) = (1/12) + (2/12) + (4/12) = 7/12
2) q = 2 - возрастающая последовательность
b1 = 21 / (1+2+4) = 3
b2 = 3*2 = 6
b3 = 6*2 = 12 -их сумма = 21
(1/12) + (1/6) + (1/3) = (1/12) + (2/12) + (4/12) = 7/12
