n член геометрической прогрессии - страница 12
Числа а1 а2 а3 последовательные члены геометрической прогрессии. известно, что числа а1, а+6, а3-последовательные члены некоторой арифметической прогрессии, а числа а1, а²+6, а³+48 последовательные члены некоторой геометрической прогрессии. найдите числа а1, а2, а3
Решение: Пусть а- первый член геом. прогр. тогда второй- aq и третий- аq^2
числа а, а²+6, а³+48 последовательные члены некоторой геометрической прогрессии, следовательно должно выполняться: (а²+6)²=а(а³+48)
a^4+12а²+36=a^4+48a
а²-4a+3=0
a=1 или a=3
Так как числа: а, а+6, аq²-последовательные члены некоторой арифметической прогрессии, то 2(а+6)=а+аq²
итак, если а=1, то 2(1+6)=1+q², q²=13, q=±√13 и тогда а1=1, a2=±√13, a3=13
а если а=3, то 2(3+6)=3+3q², q²=5, q=±√5 и тогда а1=3, a2=±3√5, a3=15Геометрическая прогрессия со знаменателем 4 содержит 10 членов. Сумма всех членов прогрессии равна 30. Найдите сумму всех членов прогрессии с четными номерами
Решение: $$ S= \frac{b1( q^{n}-1) }{q-1} $$
b1- первый член прогрессии n- количество членов прогрессии q- знаменатель
1) Найдем b1
$$ \frac{b1( 4^{10}-1) }{4-1} =30 \\ b1= \frac{90}{ 4^{10}-1 } $$
2) Найдем b2 - этот член прогрессии будет первым членом в последовательности четных членов. В этой последовательности g=4*4=16 количество четных членов в этой последовательности будет 5
$$ b2= \frac{90*4}{ 4^{10}-1 } = \frac{360}{ 4^{10} -1} \\ Sn= \frac{360}{ 4^{10} -1} \frac{( 16^{5} -1)}{16-1} \\ Sn= \frac{360}{15} =24 $$
Ответ 24Все члены геометрической прогрессии – различные натуральные числа, заключенные между числами 510 и 740.
а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов?
б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?
Решение: А) да, например 512, 576, 648, 729
б) нет. Понятно, что знаменатель прогрессии - нецелое число. Пусть знаменатель прогрессии - число p/q (p, q - взаимно просты, p>q). Тогда члены прогрессии - числа вида
a, ap/q, ap^2/q^2, ap^3/q^3, ap^4/q^4.
Т. к. (p, q) = 1, то а делится на q^4, откуда q = 2, 3, 4 или 5 (иначе a не меньше 6^4 = 1296 > 740).
С другой стороны, a/q^4 - некоторое натуральное число, поэтому из того, что p^4 * a/q^4 < 740, следует, что p^4 < 740, т. е. p = 3, 4, 5.
Наименьшее значение знаменателя в таком случае 5/4. Но тогда пятый член прогрессии окажется не меньше, чем 510 * (5/4)^4 > 740. Противоречие.найдите обозначенные буквами члены геометрической прогрессии (bn): a) b1; b2; 225;-135;81;b6;.;
Решение: Для начала, найдем знаменатель геометрической прогрессии q:q=b4/b3=-135/225=-9/15
Теперь b3=b2*q->b2=b3/q=(-225*15)/9 - мы перевернули дробь при делении=-375
Теперь найдем b1=b2/q
b1=(375*15)/9=625 (тоже перевернули дробь)
b6=b5*q=(-81*9)/15=-48.6
Найдите обозначенные буквами члены геометрической прогрессии (bn), при а) b1; b2; 225;-135; 81;
Решение: -135 : 225= -0,6q= - 0,6
225: (-0,6)= -375 это b2
-375: (-0,6)= 625 это b1
Найдите обозначенные буквами члены геометрической прогрессии (bn), при а) b1; b2; 225;-135; 81;
решение
примем
b3=225
b4=-135
b5=81
b(n+1)=b(n)*q
q=b(n+1)/b(n)=b(4+1)/b(4)=81/(-135)=-0,6 - знаменатель геометрической прогрессии
тогда
b2=b3/q=225/(-0,6)=-375
b1=b2/q=-375/(-0,6)=625
Проверим
b(n)=b1*q^(n-1)
b1=b(5)/(-0,6^4)=81/(-0,6^4)=625
b2=b1*q^(2-1)=625*(-0,6)^1=-375
Ответ:
b1=625
b2=-375
Шестнадцатый и девятнадцатый члены геометрической прогрессиии равны соответственно 11 и 297. Найдите члены прогрессии, заключённые между ними
Решение: Исходя из условия, разность между 19 и 16 членами прогрессии равна 297 - 11 = 286. В этот интервал между 16 и 19 членами помещается три промежутка: 16-17, 17-18, 18-19, то есть три разности. Значит разность прогрессии равна 286 / 3 = 95.1/3 (точка разделяет целую и дробную части, значит 95 целых и 1/3).
Значит промежуточные члены такие:
17-й = 11 + 95.1/3 = 106.1/3
18-й = 106.1/3 + 95.1/3 = 201.2/3
начиная с какого номера члены геометрической прогрессии 32,16,8, меньше 0,01
Решение: Знаменатель прогрессии q=16/32=1/2Найдем n, если bn<0,01
bn=b1*q^(n-1)
32*1/2^(n-1)<0,01
2^(n-1)<32/0,01
2^n<6400
2^12=4096<6400
n=12
Т. е. начиная с 12-го члена все остальные меньше 0,01
$$ b_1=32;b_2=16;b_3=8;\\ q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{16}{32}=\frac{1}{2};\\ b_n=b_1*q^{n-1};\\ b_n=32*(\frac{1}{2})^{n-1}=2^{5}*2^{1-n}=2^{5+1-n}=2^{6-n};\\ b_n<0.01;\\ 2^{6-n}<0.01;\\ 2>1;\\ 6-n6-log_2 0.01>6-log_2 0.1^2=6-2log_2 0.1=\\ 6-2log_2 10^{-1}=6+2log_2 10>6+2*log_2 8=\\ 6+2log_2 2^3=6+2*3*1=6+6=12 $$
n=13;
проверка
$$ b_{12}=2^{6-12}=2^{-6}=\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}=0.015625>0.01;\\ b_{13}=2^{6-13}=2^{-7}=\frac{1}{2^7}=\frac{1}{128}=0.0078125<0.01; $$
ответ: с тринадцатого номера
Начиная с какого номера члены геометрической прогрессии
1) 32,16,8, меньше 0,01
2) 1/3, 2/3, 4/3, больше 50?
Решение: Начиная с какого номера члены геометрической прогрессии
1) 32,16,8, меньше 0,01
b1=32 q=1/2 bn=b1·q^(n-1) b1·q^(n-1)<1/100 32·(1/2 )^(n-1)<1/100
2^(5-n+1)<1/100
6-n<log ₂(1/100) n>6-log ₂(1/100) n>6+log ₂(100) n>6+2log ₂(10)
3<log ₂(10)<4 (2³=8; 2⁴=16) n>6+2(3) n>12
2) 1/3, 2/3, 4/3, больше 50?
b1=1/3 q=2 bn=b1q^(n-1)>50 (1/3)·2^(n-1)>50 2^(n-1)>150
n-1>log₂150 n>1+log₂150 7<log₂150 <8 ⇒n>1+7найдите y, если числа 1; корень y;3 корня из y + 4 - последовательные члены геометрической прогрессии ?
Решение: т. к. дана геом. прогрессия, то можно составить уравнение:√у / 1 = (3√у + 4)/√у
у=3√у + 4
у - 3√у -4=0
Введем замену: х=√у
х²-3х-4=0
Д=9+16=25 - 2 корня
х1=(3+5)/2=4
х2=(3-5)/2=-1
Делаем обраьную замену:
4=√у или -1=√у - решений нет
у=16
Проверям: подставим в нашу последовательность у=16:
1; √16; 3√16 +4
1; 4; 16 - получили верную геом. прогрессию.
Ответ: у=16.
В геометрической прогрессии b15=9 a b43=144, найти b22 15, 43, 22 - члены геометрической прогрессии
Решение: $$ b_n=b_1\cdot q^{n-1} $$
b₁₅ = b₁·q¹⁴
9 = b₁·q¹⁴
b₄₃=b₁·q⁴²
144=b₁·q⁴²
Решаем систему двух уравнений с двумя переменными b₁ и q:
9 = b₁·q¹⁴
144=b₁·q⁴²
Делим первое уравнение на второе:
9/144=1/q²⁸ ⇒ q²⁸=144/9
q²⁸=36
q¹⁴=6 ⇒ 9 = b₁·6 b₁=3/2
q⁷=√6
b₂₂=b₁·q²¹=(3/2)·q¹⁴·q⁷=(3/2)·6·√6=9√6
