n член геометрической прогрессии - страница 14
в геометрической прогрессии b1=1,b2=2. какой номер имеет член, равный 32
Решение: Геометрическая прогрессия - Bn=b1*q^(n-1) (первый член прогрессии умножить на ку в степени n - 1)Получается b2=b1*q^1 => 2=1*q^1 => q=2. Ну а теперь решим само уравнение.
32=b1*q^(n-1) => 32=1* q^(n-1) => q^(n-1)=32, а q нам известно следовательно представляем ввиде равенста с одним основанием: 2^(n-1)=2^5. Если основания одинаковые, то и степени должны быть равны. n-1=5 => n=6.
Это 6-ой член геометрической прогрессии.
В геометрической прогрессии с положительными числами S2=21, S3=49. Найдите седьмой член этой прогрессии.
Решение: Третий член прогрессии A3=S3-S2=49-21=28
Сумма двух первых A1+A2=S2=A1(1+Q)=21
Сумма трёх первых А1+А2+А3=S3=A1(1+Q+Q^2)=49
(1+Q)*49=(1+Q+Q^2)*21
У нас получается квадратное урав-ние
A1=7, A2=14, Q=2
Седьмой член прогрессии равен
A7=A1*Q^6=7*2^6
Ответ: А7=448Q = $$ \frac{ S_{3} }{ S_{2} } = \frac{49}{21} = \frac{7}{3} \\ S_{7}= S_{1}*q ^{6} \\ S_{1} = \frac{S _{2} }{q} = \frac{21}{ \frac{7}{3}} = 9 \\ S_{7} =9*( \frac{7}{3}) ^{6} $$ =$$ \frac{9* 7^{6} }{3 ^{6} } = \frac{ 7^{6} }{ 3^{4} } = \frac{ 7^{6} }{81} $$
В геометрической прогрессии с положительными членами b1+b2=30, b3+b4=180 и bn=405. Чему равно n?
Решение: b₁+b₂=b₁+b₁*q=b₁(1+q)=30, ⇒ 1+q=30/b₁b₃+b₄=b₁q²+b₁q³=b₁q²(1+q)=180 ⇒ b₁q² *30/b₁=180 30q²=180, q²=6, q=±√6
1) b₁=30/(1+q)=30/(1+√6)
b(n)=405=b₁q^n=30/(1+√6) *(√6)^n
(√6)^n=13,5(1+√6)
n=log(√6) [13,5(1+√6) ] логарифм по основанию √6 от [13,5(1+√6) ]
В геометрической прогрессии Cn C5 = 162; q=-3; C4 = 24; q=-2;
Найдите C1; Какие из членов данной прогрессии отрицательны?
Решение: 1) с_5 = 162; q = -3.c_1*(q)^4 = c_5
c_1*81 = 162
c_1 = 2
Отрицательными являются все четные члены(2n) данной прогрессии.
2) с_4 = 24; q = -2.
c_1*(q)^3 = 24
c_1*(-8) = 24
c_1 = -3
Отрицательными являются все нечетные члены(вида 2n+1) данной прогрессии.
В геометрической прогрессии с положительными членами S2 = 3, S3 = 7. Найдите S7. Ответ 127.
Решение: $$ b_n=b_1q^{n-1};b_n>0;=>q>0 \\ S_n=b_1*\frac{q^n-1}{q-1};\\\\S_2=b_1*\frac{q^2-1}{q-1};\\\\S_3=b_1*\frac{q^3-1}{q-1};\\\\\frac{S_3}{S_2}=\frac{b_1*\frac{q^3-1}{q-1}}{b_1*\frac{q^2-1}{q-1}}=\frac{q^2+q+1}{q+1}=\frac{7}{3};\\\\3(q^2+q+1)=7(q+1);\\\\3q^2+3q+3-7q-7=0;\\\\3q^2-4q-4=0;\\\\D=(-4)^2-4*3*(-4)=64=8^2;\\\\q_1=\frac{4-8}{3*2}<0;\\\\q_2=\frac{4+8}{3*2}=2;q=2;\\\\b_1=\frac{S_2(q-1)}{q^2-1}=\frac{3*(2-1)}{2^2-1}=1;\\\\S_7=1*\frac{2^7-1}{2-1}=127 $$ответ: 127
В геометрической прогрессии с положительными членами S2=4, S3=13. Найдите S4.
Решение: (2a1+d)*2/2=4⇒2a1+d=4
(2a1+2d)*3/2=13⇒2a1+2d=26/3
отнимем
d=4 2/3
2a1=4-4 2/3=-2/3
S4=(2a1+3d)*4/2=(-2/3+14)*2=26 2/3
$$ S_2=4 \\ S_3=13 \\ S_2=b_1+b_2=b_1+b_1q=4 \\ S_3=S_2+b_3=b_1+b_1q+b_1q^2=13 \\ b_1(1+q)=4 \\ b_1(1+q+q^2)=13 \\ \frac{b_1(1+q+q^2)}{b_1(1+q)} = \frac{13}{4 \\ \\ } \\ 13(1+q)=4(1+q+q^2);13+13q=4+4q+4q^2 \\ 4q^2-9q-9=0;q eq -1 \\ D=81+16*9=81+144=225=15^2 \\ q_1= \frac{9+15}{8} \ > \ 0 \\ q_1= \frac{24}{8}=3 \\ (q_2\ < \ 0) \\ b_1= \frac{4}{1+q} = \frac{4}{1+3}=1 \\ S_4=b_1(1+q+q^2+q^3)=1*(1+3+3^2+3^3)=1+3+9+27=40 \\ $$
В геометрической прогрессии с положительными членами произведение 6 и 8 равно 256. Найдите 7 член прогрессии
Решение:
Сколько членов геометрической прогрессии 18,6, больше числа 0,01?
Решение: у данной геометрической прогрессииb[1]=18
b[2]=-6
b[3]=2
вместо нее рассмотрим геометричесскую прогрессию составленную только из положительных членов данной (отрицательные полюбому меньше 0.01 - они нам не нужны)
18, 2,
b[1]=18,
b[2]=2
знаменатель
q=b[2]:b[1]
q=2:18=1/9
q=1/9
общий член
b[n]=b[1]*q^(n-1)
b[n]=18*(1/9)^(n-1)=18*9^(1-n)=18*9/9^n=162/9^n
162/9^n>0.01
9^n<162/0.01
9^n<16200
9^5<16200<9^6
поєтому n=5
