прогрессия »
n член геометрической прогрессии - страница 13
В геометрической прогрессии известны члены a2 = –1215 и a5 = –45. Укажите номер k члена этой прогрессии, начиная с которого все её члены не меньше \( -\frac{5}{243} \)
Решение: Очевидно что прогрессия убывающая
$$ b_{2}=-1215\\ b_{5}=-45\\ \\ b_{1}q=-1215\\ b_{1}q^4=-45\\ \\ q^3=\frac{45}{1215}=\frac{1}{27}\\ q=\frac{1}{3}\\ b_{1}=-3645 $$
тогда по условию
$$ b_{n}>-\frac{5}{243}\\ b_{1}q^{n-1} > -\frac{5}{243}\\ -3645*\frac{1}{3}^{n-1} >-\frac{5}{243}\\ \frac{1}{3}^{n-1}<\frac{1}{177147}\\ \frac{1}{3}^{n-1}<\frac{1}{3^{11}}\\ (12;+oo) $$
то есть начиная от 13 члена
В конечной геометрической прогрессии : а1; 0,72; а3; а4; 720; а6 известны некоторые члены. Найдите неизвестные члены данной прогрессии.
Решение: \( {a_n} \)- геометрическая прогрессия
$$ a_2=0.72 \\ a_5=720 \\ a_n=a_1* q^{n-1} \\ a_2=a_1*q \\ a_5=a_1*q^4 \\ \left \{ {{a_1*q=0.72} \atop {a_1*q^4=720}} \right. \\ \left \{ {{a_1*q=0.72} \atop {a_1*q*q^3=720}} \right. \\ \left \{ {{a_1*q=0.72} \atop {0.72*q^3=720}} \right. \\ \left \{ {{a_1*q=0.72} \atop {q^3=1000}} \right. \\ \left \{ {{a_1*q=0.72} \atop {q=10}} \right. \\ \left \{ {{a_1*10=0.72} \atop {q=10}} \right. \\ \left \{ {{a_1=0.072} \atop {q=10}} \right. \\ a_3=a_2*q=0.72*10=7.2 \\ a_4=a_3*q=7.2*10=72 \\ a_6=a_5*q=720*10=7200 $$
Ответ: $${0.072;0.72;7.2;72;720;7200}$$Найдите четвёртый член геометрической прогрессии, если b2=-2, b7=1/16
Решение: Система двух уравнений с двумя неизвестными
b₂ = b₁q = -2
b₇ = b₁q⁶ = \(\frac{1}{16} \\ ⇒ b₁q * q⁵ = \\ \frac{1}{16} \\ -2 * q⁵ = \\ \frac{1}{16} \\ q⁵ = - \frac{1}{32} \\ q = - \frac{1}{2} \) $$b₄ = b₁q₃ = -2 * ( -\frac{1}{2})² = - \frac{1}{2} $$четвертый член геометрической прогрессии под корнем 3. Найдите произведение семи членов этой прогрессии.
Решение: Сначала докажем некоторое равенство. Пусть известен элемент b_n = b1*q^(n-1). Тогда, зная его, можно найти произведение двух элементов b_(n-k) и b_(n+k), находящиеся на одинаковом расстоянии от b_n.
b_(n-k) = b1 * q^(n-k-1)
b_(n+k) = b1 * q^(n+k-1)
b_(n-k) * b_(n+k) = b1 * q^(n-k-1) * b1 * q^(n+k-1) = b1^2 * q^(2n-2) = (b1*q^(n-1))^2 = b_n^2.
Таким образом, зная лите b4, можно найти b3*b5=b4^2, b2*b6=b4^2 и b1*b7=b4^2. То есть b1*b2*b3*b4*b5*b6*b7=b4^7 = (√3)^7 = 27√3.
найдите пятый член геометрической прогрессии, в которой b3+b4=36, b2+b3=18
Решение: Выразим каждый член через первый член геометрической прогрессии.
$$ b_3=b_1*q^2; b_4=b_1*q^3; b_2=b_1*q $$
Получим систему:
$$ \left \{ {{b_1*q^2+b_1*q^3=36} \atop {b_1*q+b_2*q^2=18}} \right. \\ \left \{ {{b_1q^2(1+q)=36} \atop {b_1*q(1+q)=18}} \right. \\ \frac{b_1q^2(1+q)}{b_1q(1+q)} = \frac{36}{18} $$Сокращая дробь, мы получаем.
$$ q=2 $$Подставляем q в первое уравнение из системы: $$ b_1q+b_1q^2=18; q=2 \\ b_1=3 $$
Следовательно, по формуле n-го члена геометрической прогрессии, получаем.
$$ b_5=3*2^4=48 $$
Ответ: 48наити 5 член геометрической прогрессии, если в3=-3, в6=-81
Решение: Вn=B1*q^(n-1)Преобразуем эту формулу под нашу задачу
B6=B3*q^(6-3)
-81=-3 * q^3
q^3 =81/3
q^3 = 27
q = 3
Вn=B(n-1) *q
B4=B3*q
B4=-3*3=-9
B5=B4*q
B5= - 9*3= -27
Найти пятый член геометрической прогрессии, в которой b3+b4=36,b2+b3=18
Решение: B₂=b₁*q
b₃=b₁*q²
b₄=b₁*q³
{b₁*q²+b₁*q³=36
{b₁*q+b₁*q²=18
{b₁(q²+q³)=36
{b₁(q+q²)=18
{b₁= 36
q²+q³
{b₁= 18
q+q²
36 = 18
q²+q³ q+q²
36 = 2*18
q²+q³ 2(q+q²)
q²+q³=2(q+q²)
q²+q³=2q+2q²
q³+q²-2q²-2q=0
q³-q²-2q=0
q(q²-q-2)=0
q=0 - не подходит
q²-q-2=0
D=1+8=9
q₁=1-3=-1
2
q₂=1+3=2
2
При q=-1 b₁= 18
-1+(-1)²
b₁ = 18
0
q=-1 - не подходит
При q=2 b₁= 18
2+2²
b₁= 18
6
b₁=3
b₅=b₁*q⁴
b₅=3*2⁴
b₅=48
Ответ: 48.Найти номер подчеркнутого члена геометрической прогрессии:
1) 4,12,36,324,
2) -1,2,4,128,
Решение: $$ b_{n} = b_{1} * q \\ q = \frac{b_{2}}{ b_{1} } $$
1) $$ 324 = 4 * 3^{n-1} \\ 3^{n-1} = \frac{324}{4} \\ 3^{n-1} = 81 \\ 3^{n-1} = 3^{4} \\ n = 5 $$
2) $$ 128 = -1 * -2^{n-1} \\ -2^{n-1} = -128 \\ -2^{n-1} = -2^{7} \\ n = 8 $$
Найдите сумму шести членов геометрической прогрессии, если bn = 1/2*n
Решение: Точно геометрическая прогрессия? если подставлять значения n, то получается арифметическая.
$$ b_{n}= \frac{n}{2} \\ b_{1}= \frac{1}{2}, b_{2}= 1, b_{3}= 1.5, b_{4}=2, b_{5}=2.5, b_{6}=3 \\ S=0.5+1+1.5+2+2.5+3=10.5 $$
если я не правильно поняла запись и подразумевается вот такая: $$ b_{n}= \frac{1}{2n} $$, то:
$$ b_{1}= \frac{1}{2}, b_{2}=\frac{1}{4}, b_{3}=\frac{1}{6}, b_{4}=\frac{1}{8}, b_{5}=\frac{1}{10}, b_{6}=\frac{1}{12} \\ S= \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+\frac{1}{6} +\frac{1}{8} +\frac{1}{10} +\frac{1}{12} =\\= \frac{60+30+20+15+12+10}{120} = \frac{147}{120} $$
В геометрической прогрессии с положительными членами S2=4, S3=13. Найти S5
Решение: $$ \\a_3=S_3-S_2, \ a_n>0 \ \wedge \ q>1 \\ \\a_3=13-4=9 \\ \\a_1+a_2=4 \\ \\\begin{cases}a_1*q^2=9\implies a_1=\frac{9}{q^2}\\a_1+a_1q=4\end{cases} \\ \\\frac{9}{q^2}+\frac 9q=4/*q^2 \\ \\4q^2-9q-9=0 \\ \\\Delta=9^2+4*4*9=81+144=225 \\ \\q=\frac18(9-15)=-\frac34otin D, \ q=\frac18(9+15)=3 \\ \\a_1=\frac{9}{3^2}=1 \\ \\S_n=a_1*\frac{1-q^n}{1-q} \\ \\S_5=\frac{1-3^5}{1-3}=\frac12(243-1)=121 $$
Если члены прогрессии положительны, то она имеет вид
1; 3; 9; 27; 81.
Сумма первых пяти членов равна 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121
По формуле суммы первых двух членов прогрессии:
b1(1-q^2)/(1-q) = 4, откуда b1(1+q) = 4, или b1 = 4/(1+q)
По формуле суммы первых трех членов прогрессии:
b1(1-q)(1+q+q^2) = 13(1-q), откуда b1(1+q+q^2) = 13.
Выполняем подстановку:
4(1+q+q^2) /(1+q)= 13, откуда q = 3 (отрицательное значение знаменателя отбрасываем, так как нас интересуют только положительные члены)
b1 = 4/(1+3) = 1
Итак, первый член прогрессии равне 1, знаменатель прогрессии равен 3.
S5 = 1(1 - 3^5)/(1-3) = 121
Ответ: 121
