прогрессия »
n член геометрической прогрессии - страница 21
Найдите произведение трёх чисел, зная, что они являются последовательными членами геометрической прогрессии и их сумма равна 14, а сумма их квадратов равна 364.
Решение: Пусть первый член некий х, и пусть знаменатель равен $$ q $$ тогда
$$ x+xq+xq^2=14\\ x^2+x^2q^2+x^2q^4=364 $$
Если выразить с первое х, то потом будет сложно решать уравнение, лучше поступить так, поделить второе уравнение на первое в итоге получим
$$ (q^2-q+1)x=26\\ x= \frac{26}{q^2-q+1}\\ \\ \frac{26}{q^2-q+1}+\frac{26q}{q^2-q+1}+\frac{26q^2}{q^2-q+1}=14\\ 26+26q+26q^2=14(q^2-q+1)\\ 26+26q+26q^2=14q^2-14q+14\\ 12q^2+40q+12=0\\ q=-3\\ q=-\frac{1}{3} $$
тогда $$ x=2\\ x=18 $$
и они удовлетворяют второму условию, проверил
1)$$ x=2\\ xq=-6\\ xq^2=18\\ P=2*-6*18=-216 $$
2)$$ x=18\\ xq=-6\\ xq^2=2\\ P=-216 $$
Ответ -216Сумма тридцати начальных членов геометрической прогрессии в 72 раза меньше, чем сумма ее следующих шестидесяти членов. Найдите отношение пятидесятого члена к десятому ее члену.
Решение: По формуле общего члена геометрической прогрессии:
$$ b_n=b_1\cdot q^{n-1} $$
Найти
b₅₀/b₁₀=b₁·q⁴⁹/b₁·q⁹=q⁴⁰.
По условию:
S₃₀ меньше (S₉₀-S₃₀) в 72 раза.
Значит
72S₃₀=S₉₀-S₃₀
или
73S₃₀=S₉₀.
По формуле суммы n- первых членов геометрической прогрессии:
$$ S_n= \frac{b_1(q^{n}-1)}{q-1} $$
73b₁(q³⁰-1)=b₁(q⁹⁰-1);
73q³⁰-q⁹⁰=72
q³⁰=t
q⁹⁰=(q³⁰)³=t³
Кубическое уравнение
t³-73t+72=0
Легко заметить, что t=1 является корнем уравнения 1-73+72=0- верно.
Это поможет разложить левую часть на множители.
t³-1-73t+73=0
(t-1)(t²+t+1)-73(t-1)=0
(t-1)(t²+t-72)=0
t₁=1 или t²+t-72=0
D=1+288=289
t₂=(-1-17)/2=-9 или t₂=(-1+17)/2=8
q³⁰=-9 - уравнение не имеет корней.
q³⁰=8;
(q¹⁰)³=2³.
Значит
q¹⁰=2
q⁴⁰=2⁴=16
О т в е т.b₅₀/b₁₀=q⁴⁰=16.
Четыре числа образуют возрастающую геометрическую прогрессию, в которой сумма крайних членов равна 64, а произведение средних членов 960. Найти большее из этих чисел
Решение: Так как геометрическая прогрессия состоит из 4 членов, мы получаем: b1, b2, b3, b4. Прогрессия возрастающая, и наибольший член - b4.
b1 + b4 = b1 + b1*q^3 = 64
b2 * b3 = b1*q * b1*q^2 = b1* b1*q^3 = 960.
Выходит:
b1*q^3 = 64 - b1, значит здесь q^3 = (64 - b1) / b1
b1 * (64 - b1) = 960.
Из этого получаем квадратное уравнение.
b1^2 - 64b1 + 960 = 0
D = 64^2 - 4*960 = 4096 - 3840 = 256.
b1(1) = (64 + 16) / 2 = 40, q^3 = (64 - 40)/40 = 24/40. не подходит, т. к q меньше 0 будет.
b1(2) = (64 - 16) / 2 = 24, q^3 = (64 - 24) / 24 = 40/24. Ничего не меняем, так и оставляем.
В итоге:
b1 = 40.
Самое большое число b4 = b1 * q^3 = 24 * 40/24 = 40.
Ответ: 40.Четыре числа образуют возрастающую геометрическую прогрессию, в которой сумма крайних членов равна 64, а произведение средних членов 960. Найти большее из этих чисел
Решение: Числа х, хр, хр², хр³. р - знаменатель прогрессии. По условию р больше 1.
х + хр³ = 64,
хр*хр²=960. х²р³=960, р³ =960/х² Подставляем в первое уравнение.
х +х* 960/х² =64
х +960/х =64
х²+960 -64х = 0
х =(64+-16)/2
х₁=24, х₂ =40
(р₁)³=960/576 =5/3, (р₂)³=960/1600<1. отбрасываем.
Большее из чисел хр³ = 24*5/3= 40.Положительные числа \( a, b, c \), отличные от единицы являются последовательными членами геометрической прогрессии. Найти \( \frac{ log_{b}3 *( log_{ a^{2} }C- \log _{c} \sqrt{a}) }{ log_{a}9- 2log_{c}3 } \)
Решение: $$ a\ < \ b\ < \ c\\ \frac{c}{b} = \frac{b}{a}\\ b^2=ac\\\\ $$
теперь чтобы не запутаться в преобразованиях можно, подобрать такие значения, что оно не изменится
$$ a=2\\ c=8\\ b=4\\\\ \frac{log_{4}3 (log_{{2}^{2}}8 - log_{8}\sqrt{2})}{log_{2}9 - 2*log_{8}3} \\\\ \frac{log_{4}3 ( \frac{3}{2} - \frac{1}{6})*3}{ log_{2}9^3-log_{2}9} = \frac{2*log_{4}3}{ log_{2}9} = \frac{log_{2}3}{ \frac{2}{ log_{3}2}} = \frac{1}{2} $$
то есть $$ \frac{1}{2} $$, и при любых значения оно такое
