прогрессия »

найдите n член прогрессии - страница 8

  • Сумма 2-го и 8-го членов арифметической прогрессии равна 10, а сумма 3-го и 14-го членов равна 31. Найдите 1-й член этой прогрессии.


    Решение: Дано
    а2+а8=10
    а3+а14=31
    Найти
    а1-
    Решение
    а2=а1+d
    а8=а1+7d
    а3=а1+2d
    а14=a1+13d
    Составляем систему
    {2a1+8d=10
    {2a1+15d=31. Пишете не 2, а одну скобку (знак системы)
    7d=21
    d=3. Это шаг прогрессии
    Подставляем 3 в любое уравнение, получается
    2а1+3*8=10
    2а1=10-24
    2а1=-14
    а1=-7

  • В арифметической прогрессии 6-й член больше 4-го на 8 а их сумма равна 33. найдите третий член прогрессии


    Решение: Решаем систему из уравнений: а6-а4=8 и а6+а4=33 способом сложения.
    Получим 2а6=41; а6=20,5; а4=20,5-8=12,5; 
    Разность арифметической прогрессии найдем по формуле
    (а6-а4)/(6+4)=4.
    Вычислим третий член а3=а4-4=8,5. 
    ответ: 8,5.

    А6-а4=8
    а6+а4=33
    -2а4=-25
    а4=12,5
    а6=а4+2d
    2d=a6-a4=8
    d=4
    a3=a4-d=12,5-4=8,5
    ответ: 8,5

  • Сумма всех членов конечной арифметической прогрессии равна 28, третий член равен 8, а четвертый член равен 5. Найдите число членов прогрессии и её крайние члены.


    Решение: шаг равен 8-5 = -3 
    первый член равен а1=а3-(3-1)*(-3)=8+6=14 
    сколько членов из суммы 
    (14+14+(n-1)*(-3))*n/2=28 
    количество членов 8

    $$ a_3=8; a_4=5; S_n=28;\\ d=a_4-a_3=5-8=-3;\\ a_n=a_1+(n-1)*d;\\ a_1=a_n-(n-1)*d;\\ a_1=a_4-3d;\\ a_1=5-3*(-3)=5+9=14;\\ S_n=\frac{2a_1+(n-1)*d}{2}*n;\\ \frac{2*14+(n-1)*(-3)}{2}*n=28;\\ (28-3n+3)n=56;\\ -3n^2+31n-56=0;\\ 3n^2-31n+56=0;\\ D=(-31)^2-4*3*56=289=17^2;\\ n_1=\frac{31-17}{2*3}=\frac{7}{3};\\ n_2=\frac{31+17}{2*3}=8;\\ n=8;\\ a_8=14+7*(-3)=14-21=-7 $$

    ответ: крайние члены равно 14 и -7, число членов 8

  • В арифметической прогрессии 20 членов. Сумма членов, состоящих на четных местах, равна 250, а на нечетных 220. Найдите десятый член прогрессии.


    Решение: На нечетных местах стоят следующие 10 членов:
    $$ a_1; \ a_1+2d; \ a_1+4d; \.; \ a_1+18d $$
    Найдем сумму этих членов:
    $$ S=a_1+(a_1+2d)+(a_1+4d)+.+ (a_1+18d)= \\\ =10a_1+(2+4+.+18)d=10a_1+90d $$
    По условию эта сумма равна 220:
    $$ 10a_1+90d=220 $$
    Разделим обе части последнего равенства на 10:
    $$ a_1+9d=22 $$
    Заметим, что согласно общей формуле n-ого члена арифметической прогрессии $$ a_n=a_1+d(n-1) $$ в левой части получившегося равенства стоит искомый десятый член:
    $$ a_{10}=a_1+9d=22 $$
    Ответ: 22

    $$ a_2+a_4+.+a_{20}=250 \\ a_1+a_3+.+a_{19}=220 \\ a_{10}=? \\ S_{20}=a_1+a_2+a_3+.+a_{19}+a_{20}=250+220=470 \\ S_{20}= \frac{a_1+a_{20}}{2}*20= \frac{a_1+a_1+19d}{2}*20= \frac{2a_1+19d}{2}*20 \\ 10(2a_1+19d)=S_{20} \\ 10(2a_1+19d)=470 \iff 2a_1+19d=47 \\ a_1+a_3+.+a_{19}=a_1+(a_1+2d)+(a_1+4d)+.+(a_1+18d)=220 \\ 10a_1+(2+4+6+8+10+12+14+16+18)d=220 \\ 10a_1+90d=220 \\ \left \{ {{2a_1+19d=47} \atop {10a_1+90d=220}} \right. \\ \\ \left \{ {{2a_1+19d=47} \atop {a_1+9d=22}} \right. $$
    $$ a_1=22-9d \\ 2(22-9d)+19d=47 \\ 44-18d+19d=47 \\ d=47-44 \\ d=3 \\ a_1=22-9*3=22-27 \\ a_1=-5 \\ a_{10}=a_1+9d=-5+9*3=27-5=22 \\ a_{10}=22 $$

  • Сумма 3 и 6 членов арифметической прогрессии равна 3. Второй её член на 15 больше седьмого. Найдите 1 и 2 члены этой прогрессии


    Решение: А3 + а6 = 3
    а2 - а7 = 15
    Надо решить эту систему уравнений. Используем формулу общего члена
    а1 +2d +a1 + 5d = 3
    a1 + d - a1 - 6d = 15
    или
    2а1 + 7d = 3
    -5d = 15
    Из второго уравнения сразу находим d
    d = -5
    Подставим d = -5 в любое (допустим, в первое)
    2а1 +7·(-5) = 15
    2а1 -35 = 15
    2а1 = 50
    а1 = 25

<< < 678 9 10 > >>