найдите n член прогрессии - страница 9
Пусть в арифметической прогрессии третий и десятый члены равны соответственно 12 и (-2). Найдите сумму второго и седьмого членов прогрессии.
Решение: An - арифметическая прогрессияA3 = 12
A10 = -2
Находим d(разность членов прогрессии)
d = (12+2)/(10-3) = 2
A2 = A3 + d = 12+2= 14
A7 = A10+3d = -2-6 = 4
A2 + A7 = 14 + 4 = 18
a3=12 a10=(-2) Найти а2-
а7-Находим d разность арифметической прогрессии
d=(12+2)/7=2а3= a2+d
выражаем a2=a3+d===> a2=12+2=14
a10=a7+3d
выражаем а7=a10+3d===> a7=-2-6 =4a2+a7 = 14+4=18
А) Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии -7;1; -6,3;.
В) Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 6,3;5,8;.
Решение: A)d=а (2)-а (1)=-6,3-(-7,1)=-6,3+7,1=0,8
а (n)=а (1)+d*(n-1)= -7,1+0,8(n-1)=-7,1+0,8n-0,8=-7,9+0,8n
-7,9+0,8n<0
0,8n<7,9
n<7,9/0,8=79/8=9,125
n<9,125
Значит, n=9, т. к. n- число натуральное.
a(9)=-7,1+0,8*8=-7,1+6,4=-0,7
S(9)=(a(1)+a(n))*n/2= (-7,1-0,9)*10/2=-8*5=-40
Ответ: -40
B) сначала находим разность
d=a2-a1=5,8-6,3=-0,5
значит всего положительных членов 13
S=*n = *13
получаем ответ 42,9Найдите последний член и сумму членов арифметической прогрессии, для которой: d= -11 a16=-15 n=20
Решение: An=A1+d(n-1) составим уравнение :-15=A1-11(16-1)
-15=A1-165
A1=150
далее найдем 20 член т. е. последний(по условию)
An=A1+d(n-1) ; A20= 150-11(20-1)
A20=-59
далее, найдем сумму всех 20 членов по формуле : Sn=(A1+An)n/2 = (150-59)20/2=910
Найдите первый член арифметической прогрессии a(n) если а(4)=4; а(12)=36.
Решение: а(1)- а(4)=4, а(12)=36, Составим систему уравнений с двумя переменными а(1) и d:Система:
а(4)=а(1)+3d
a(12)=a(1)+11d
Выразим в первом уравнении а(1) и подставим во второе:
a(1)=a(4)-3d
a(12)=a(4)-3d+11d Подставим все известные числа, получим:
36=4+8d
8d=32
d=4
Подставляем это значение в первое уравнение:
a(1)=4-3*4=4-12=-8
Ответ : а(1)=-8
Найдите последний член арифметической прогрессии, если известно что а1 равно 10, d равно 4, n равно 11.
Решение: 11=10+4*(n-1)4*(n-1)=11-10=1
n-1=1:4=0.25
n=0.25+1=1.25
Найдите последний член арифметической прогресси если известно что а1 равно 10, d равно 4, n равно 11. это алгебр
Последовательность-арифметическая прогрессия. Найдите сумму шести её членов, если а₂=17, а₅=65
Решение: $$ a_{n}=a_{1}+(n-1)d $$Составим систему уравнений :$$ \left \{ {{17=a1+d} \atop {65=a1+4d}} \right. $$
$$ \left \{ {a1=17-d} \atop {65=17-d+4d} \right. $$
Решим получившееся уравнение
65=17-d+4d
65=17+3d
3d=48
d=16
Тогда a1 = 17 - 16=1
$$ S_{n}=\frac{2a1 +d(n-1)}{2}*n $$
$$ S_{6}=\frac{2*1+16*5}{2}*6=\frac{82}{2}*6=41*6=246 $$
Ответ:S6=246
Последовательность арифметическая прогрессия. Найдите сумму шести её членов если a2=17 a5=65
Решение: а2=а1+da5=a1+4d
Составим систему:
{a1+d=17
{a1+4d=65
(обе строки входят в одну систему)
Вычтем из второго уравнения первое:
3d=48
d=16
Из первого уравнения:
a1+16=17
a1=1
a6=1+16*5=1+80=81
S6=(a1+a6)/2 * 6 = (1+81)/2 * 6 = (82/2)*6=41*6=246.
Ответ: 246
Последовательность an - арифметическая прогрессия, в которой a2+a5=6, a3*a4=-11,25
Найдите первые 6 членов этой прогрессии.
Решение: A1+d+a1+4d=6⇒2a1+5d=6⇒a1=3-2,5d
(a1+2d)(a1+3d)=-11,25
(3-2,5d+2d)(3-2,5d+3d)=-11,25
(3-0,5d)(3+0,5d)=-11,25
9-0,25d²=-11,25
0,25d²=20,25
d²=81
d=-9⇒a1=3-2,5*(-9)=25,5
d=9⇒a1=3-2,5*9=19,5a2 + a5 = 6
a2 = а1 + d
a5 = a1 + 4d
тогда a2 + a5 = (а1 + d) +( a1 + 4d) = 2a1 + 5d = 6
имеем первое уравнение от а1 и d: 2a1 + 5d = 6
a3*a4=-11,25
a3 = а1 + 2d
a4 = a1 + 3d
тогда a3*a4=(а1 + 2d)(a1 + 3d) = а1 ² + 3а1d + 2а1d + 6d ² = а1 ² + 5а1d + 6d ²
имеем второе уравнение от а1 и d: а1 ² + 5а1d + 6d ² = -11,25
Система:
2a1 + 5d = 6
а1 ² + 5а1d + 6d ² = -11,25
Из первого уравнения выразим d:
5d = 6 - 2a1
d = (6 - 2a1)/5
d = 1,2 - 0,4a1
Подставим d во второе уравнение:
а1 ² + 5а1(1,2 - 0,4a1) + 6(1,2 - 0,4a1) ² = -11,25
а1 ² + 6а1 - 2а1 ² + 6(1,44 - 0,96a1 + 0,16a1 ²) = -11,25
- а1 ² + 6а1 + 8.64 - 5.76a1 + 0,96a1 ² = -11,25
- 0,04a1 ² + 0,24а1 + 19,89 = 0 | * (-100)
4a1 ² - 24а1 - 1989 = 0
D = 576 + 4*4* 1989 = 576 + 31 824 = 32 400
√D = 180
a1 = (24 + 180)/8 = 25,5 или a1 = (24 - 180)/8 = -19,5
d = 1,2 - 0,4*25,5 = -9 d = 1,2 - 0,4*( -19,5) = 1,2+7.8 = 9
Найдем последующие члены прогрессии:
a2 = а1 + d = 25,5 - 9 = 16,5 или a2 = а1 + d = -19,5 + 9 = -10,5
a3 = а2 + d = 16,5 - 9 = 7,5 или a3 = а2 + d = -10,5 + 9 = -1,5
a4 = а3 + d = 7,5 - 9 = - 1,5 или a4 = а3 + d = -1,5 + 9 = 7,5
a5 = а4 + d = - 1,5 - 9 = -10,5 или a5 = а4 + d = 7,5 + 9 = 16,5
a6 = а5 + d = -10,5 - 9 = -19,5 или a6 = а5 + d = 16,5 + 9 = 25,5
И в первом и во втором случае первые 6 членов одни и те же числа, только расположены в разном порядке.
Ответ: первые 6 членов этой прогрессии
25,5; 16,5; 7,5; - 1,5; -10,5; -19,5;
Последовательностью (an) -арифметичесская прогрессия, в которой a2+a5=6, a3*a4=-11,25. Найдите первые шесть членов
Решение: Распишем
a₂=a₁+d
a₅=a₁+4d
a₃=a₁+2d
a₄=a₁+3d
$$ \left \{ {{a_{1} +d+a_{1}+4d=6} \atop {(a_{1}+2d)(a_{1}+2d)=-11.25}} \right. $$
Решим первое.
$$ a_{1} +d+a_{1}+4d=6 $$
$$ 2a_{1}+5d=6 $$
$$ a_{1}= \frac{6-5d}{2} $$
Решим второе
$$ {(a_{1}+2d)(a_{1}+2d)=-11.25} $$
$$ a_{1}^{2}+6a_{1}d+6d^{2}+11.25=0 $$
Подставим
$$ (\frac{6-d}{2})^{2}+6d( \frac{6-d}{2})+6d^{2}+11.25=0 $$
$$ \frac{36-12d+d^{2}}{4}+ \frac{36d-5d^{2}}{2}+6d^{2}+11.25=0 $$
Общий множитель
$$ 36+12d+d^{2}+60d-10d^{2}+24d^{2}+45=0 $$
$$ 5d^{2}+24d+27=0 $$
D=24²-4*5*27=576-540=36
$$ d_{1} = \frac{-24+6}{10} =-1.8 $$
$$ d_{2} = \frac{-24-6}{10} =-3 $$
$$ a_{1}= \frac{6-5(-1.8)}{2}=4.6 $$ при d₁
$$ a_{1}= \frac{6-5(-3)}{2}=10.5 $$ при d₂
при d₁
a₁=4.6
a₂=a₁+d=2.8
a₃=a₁+2d=1
a₄=a₁+3d=-0.8
a₅=a₁+4d=-2.6
a₆=a₁+4d=-4.4
при d₂
a₁=10.5
a₂=a₁+d=7.3
a₃=a₁+2d=4.3
a₄=a₁+3d=1.3
a₅=a₁+4d=-1.7
a₆=a₁+4d=-4.7
Арифметическая прогрессия.
1) Найдите 25-й член арифметической прогрессии, если а1=17,6 и d=-0.4
2) Какие из последовательностей являются арифметическими прогрессиями:
а)1;4;7;10;13;.;
б)3;0;-3;-6;-9;.;
в)4;9;16;25;.
Решение: 1) Для нахождения члена арифметической прогрессии надо воспользоваться формулой An=A1+(n-1)*d n=25 d=-0.4 A1=17,6А25=17,6+ (25-1)*(-0,4)=17,6+24*(-0,4)=17,6-9,6=8
2) В арифметической прогрессии каждый следущий член увеличивается или уменьшается на одно и то же число. Поэтому мы проверяем прогресию под буквой а
первый член 1 второй 4 между ними разница 3 (4-1=3) проверяем дальше 7-4=3 10-7=3 13-10=3 следовательно это арифметическая прогрессия
проверяем аналогично прогрессию под буквой б
0-3=-3 ;-3-0=-3 ;-6-(-3)=-3; -9-(-6)=-3 следовательно это тоже арифметическая прогрессия
прогрессия под буквой в
9-4=5;16-9=7
5 не равно 7 следовательно это не арифметическая прогресия
То есть ответ буквы а и б
