разложите на множители числитель и знаменатель дроби - страница 7
Разложение на множители.
(а-б)³-а²+2аб-б²=(а-б)³-(а²-2аб+б²)=(а-б)³-(а-б)²=(а-б)²(а-б-1)
Как в этом примере ответ получился (а-б)²(а-б-1)?
Или в этом
х²-4ху+4у²-(х-2у)³
Ответ получился (х-2у)²(1-х+2у)
Решение: X^2-4xy+4y^2=(x-2y)^2 по формуле разности квадратов
(x-2y)^2-(x-2y)^3 выносите общий множитель (x-2y)^2, после этого от первой скобки останется 1 от второй -(x-2y), если раскрыть то знаки поменяются.
первую скобку оставляем без изменения перед второй ставим знак минус и знаки слагаемых меняем на противоположные(а-б)³-а²+2аб-б²=(а-б)³-(а²-2аб+б²)= во второй скобке квадрат разности двух выражений(а-б)²получается две группы первая (а-б)³ вторая (а-б)² в них общий множитель(а-б)²его выносим за скобки от первой группы остаётся(а-б) от второй 1(а-б)(а-б)²(а-б-1)
Заключите два последних слагаемых в скобки, поставив перед ними знак "-", и затем выполните разложение на множители :
х(у+z)-2y-2z=
a(b+c)-b-c=
a(b-c)-4b+4c=
a(a-b)-ac+bc=
x(y-z)-y+z=
2b(x-y)+y-x=
5(c-b)+ab-ac=
2(x-c)-bx+bc=
Решение: x(y+z)-(2y+2z)a(b+c)-(b+c)
a(b-c)-(4b-4c)
a(a-b)-(ac-bc)
x(y-z)-(y-z)
2b(x-y)-(-y+x)
5(c-d)-(-ab+ac)
2(x-c)-(bx-bc)
1) х(у+z)-2y-2z=x(y+z)-(2y+2z)=x(y+z)-2(y+z)=(y+z)(x-2).
2) a(b+c)-b-c=a(b+c)-(b+c)=(b+c)(a-1).
3) a(b-c)-4b+4c=a(b-c)-(4b-4c)=a(b-c)-4(b-c)=(b-c)(a-4).
4) a(a-b)-ac+bc=a(a-b)-(ac-bc)=a(a-b)-c(a-b)=(a-b)(a-c).
5) x(y-z)-y+z=x(y-z)-(y-z)=(y-z)(x-1).
6) 2b(x-y)+y-x=2b(x-y)-(x-y)=(x-y)(2b-1).
7) 5(c-b)+ab-ac=5(c-b)-(ac-ab)=5(c-b)-a(c-b)=(c-b)(5-a).
8) 2(x-c)-bx+bc=2(x-c)-(bx-bc)=2(x-c)-b(x-c)=(x-c)(2-b).
Решите уравнение указанными способами:
\( 1) 4(x^2-x)^2+9(x^2-x)+2=0 \), замена переменной
\( 2) (x^2/x+2)^2-1=0 \), разложение на множители
Решение: ПЕРВОЕ УРАВНЕНИЕ4(х² - х)² + 9(х² - х) + 2 = 0
замена у = х² - х
4у² + 9у + 2 = 0
D = 81 - 32 = 49
√D = 7
у₁ = (-9 - 7):8 =-2
у₂ = (-9 + 7):8 =-1/4
возвращвемся к замене
1) х² - х = -2
х² - х + 2 = 0
D = 1 - 8 = - 7 (решений нет)
2) х² - х = -1/4
4х² - 4х + 1 = 0
D = 16 - 16 = 0 (одно решение)
x = 4/8 = 1/2 = 0,5
Ответ: х = 0,5
ВТОРОЕ УРАВНЕНИЕ
(х²/(х + 2))² - 1 = 0
(х²/(х + 2)) - 1)(х²/(х + 2)) + 1) = 0
1) (х²/(х + 2)) - 1 = 0
х ≠ -2
х² - (х + 2) = 0
х² - х - 2 = 0
D = 1 + 8 = 9
√D = 3
x₁ = (1 - 3):2 = -1
x₂ = (1 + 3):2 = 2
2)(х²/(х + 2)) + 1) = 0
х ≠ -2
х² + (х + 2) = 0
х² + х + 2 =
D = 1 - 8 = -7
нет решений
Ответ: х₁ = -1, х₂ = 2
1. Разложите на множители: а) 2x+6-xy-3y; б) 2x^2 +2-x^3 -x^5
2. Найдите значение выражения: 3xy-6y-x^2+2x при x=2, y=-1/3
3. Вычислите наиболее рациональным способом: 0,114 * 0,232 - 0,232^2 + 0,118 * 0,332
Решение: Способ группировки.
а)2х+6-ху-3у= (2х+ху)+(6-3у) = х(2-у) + 3(2-у)= (2-у)(х+3)
б)2х²+2-х³-х⁵= (2х²+2)-(х³+х⁵)= 2(х²+1)- х³(1+х²)= 2(х²+1)- х³(х²+1)= (х²+1)(2-х³)
Разложение многочленов на множители.
1) а) 9а²-16= (3а-4)(3а+4)
б)16m²-81n²= (4m-9n)(4m+9n)
2) (3х+4)² - 16= 0
9х²+24х+16-16=0 (+16 и -16- зачёркиваем как противоположные)
9х²+24х=0
3х(3х+8)=0
3х=0 или 3х+8=0
х=0 3х= -8/:3
х= ⁸₃, х= 2²₃
3) (3х+5)³ -216= 9х³+135х²+ 225х+ 1251. Разложите на множители.
а) a^4-16b^6
в) (2y+3)^2-49
б) 0,81-36y^6x^10
г) (3a-b)^2-(a-2b)^2
2. Найдите корень уравнения x^2-(2x+1)^2=0
3. Докажите, что выражение (m+5)^2-m^2 делится на 5 при любых натуральных значениях m.
Решение: №1 а) = (а² - b³)(a² + b³)
в) = (2у +3 -7)(2у +3+7) = (2у-4)(2у +10)
б) = (0,9 -6у³х^5)(0,9 + 6y³x^5)
г) = (3a -b -a +2b)(3a -b +a -2b) = 9 2a +b)(4a -3b)
(во всех примерах применяется формула разности квадратов)
№2 Тоже разность квадратов:
(х -2х-1)(х +2х+1) = 0
(-х-1)(3х+1) = 0
-х -1 = 0 или 3х +1 = 0
х = -1 х = -1/3
№3 Снова разность квадратов
(m +5 - m)(m+5 +m) = 5*(2m +5) данное выражение содержит множитель = 5, значит, всё выражение делится на 5.Решить уравнение разложением на множители
\( x^{4}+x^{3}-6x^{2}=0 \)
Решение:=================================
$$ x^4+x^3-6x^2=0 $$
$$ x^2(x^2+x-6)=0 $$
$$ D=1+24=25 $$
$$ x_1=\frac{-1+5}2=2 $$
$$ x_2=\frac{-1-5}2=-3 $$
$$ x^2(x+3)(x-2)=0 $$
$$ x=0; x=-3; x=2 $$
Примените для разложения на множители, если это возможно, формулу суммы или разности кубов
д) \( x^6 -\frac{1}{8}z^2 \)
е) \( \frac{1}{8}t^3 +8s^3 \)
Решение: Д) Просто так не получится. Можно разложить как разность квадратов:
x^6 - z^2 / 8 = (x^3 - z / √8)(x^3 + z / √8)
Или как разность кубов:
x^6 - z^2 / 8 = (x^2 - ∛(z^2) / 2)(x^4 + x^2* ∛(z^2) / 2 + ∛(z^4) / 4)
Но в обоих случаях получаются иррациональные коэффициенты.
е) Здесь проще, как сумму кубов:
t^3 / 8 + 8s^3 = (t/2 + 2s)(t^2 / 4 - t/2*2s + 4s^2) = (t/2 + 2s)(t^2 / 4 - ts + 4s^2)Найти путем разложения на множители НОД (1440, 1880)
Решение: 1440 2 1880 2 НОД (1440,1880 )= 2х2х2х5х1=40
720 2 940 2
360 2 470 2
180 2 235 5
90 2 47 47
45 5 1
9 3
3 3
1Решить уравнение разложением на множители вынесением общего множителя за скобки.
(x-6)^2(в квадрате)+2x(x-6)=0
Решение: (x-6)²+2x(x-6)=0
(x-6)(x-6)+2x(x-6)=0
Выносим (x-6) за скобки
(x-6)*((x-6)+2x)=0
(x-6)*(x-6+2x)=0
(x-6)(3x-6)=0
Из (3x-6) выносим 3
3(x-6)(x-2)=0
Произведение равно 0 тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0
1) (x-6)=0
х-6=0
х=6 - одно решение
2) (x-2)=0
х-2=0
х=2 - второе решение
Ответ: 2; 6Решите уравнения путем разложения на множители 5у^2+20y+20=0 и 2у^2-12y+18=0
Решение: Выражение: 5*y^2+20*y+20=0
Квадратное уравнение, решаем относительно y:
Ищем дискриминант:D=20^2-4*5*20=400-4*5*20=400-20*20=400-400=0;
Дискриминант равен 0, уравнение имеет 1 корень:
y=-20/(2*5)=-20/10=-2.
5*y^2+20*y+20=5(у+2)
Выражение: 2*y^2-12*y+18=0
Квадратное уравнение, решаем относительно y:
Ищем дискриминант:D=(-12)^2-4*2*18=144-4*2*18=144-8*18=144-144=0;
Дискриминант равен 0, уравнение имеет 1 корень:y=-(-12/(2*2))=-(-12/4)=-(-3)=3.
2*y^2-12*y+18=2(y-3)
1) 5(у^2+4у+4)=0; 5(у+2)^2=0; у+2=0; у=-2 2) 2(у^2-6у+9)=0; 2(у-3)^2=0; у-3=0; у=3