наибольший общий делитель равен наименьшему общему кратному - страница 5
Какое наибольшее значение может принимать наибольший общий делитель 13 натуральных чисел, если их сумма равна 1988?
Решение: Пусть наибольшее возможное значение наибольшего общего делителя равно d. Тогда каждое из 13 чисел делится на d, значит, и их сумма, 1988, делится на d. Кроме того, должно выполняться неравенство 1988/d≥13 (каждое из 13 чисел не меньше d).
Разложим на множители число 1988: 1988=2²*7*71. Для того, чтобы число d было наибольшим, число 1988/d должно быть наименьшим возможным, но не меньше 13. Поскольку 1988 не делится на 13, наимеьшим возможным значением дроби является число 2*7=14. А значит, наибольшим возможным значением делителя d является число 1988/14=142. Оно достигается, если одно из чисел равно 2*142=284, а 12 других равны 142.
Ответ: 142.Имеется шесть натуральных чисел. Для каждой пары этих чисел выписали их
наибольший общий делитель. Могли ли при этом оказаться выписанными все
натуральные числа от 1 до 15?
Решение: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13 - это натуральные числа, их семь, выбирай любые шестьНет тк если у пары делитель четное число.
То и каждое из чисел пары число четное.
То если m число четных чисел из 6.
То всего четных пар.
m(m-1)/2.
А четных делителей всего 7
то m(m-1)=14
m^2-m-14=0
не имеет целых решений. То есть невозможноСумма двух натуральных чисел равна 1001. Какое наибольшее значение может принимать их наибольший общий делитель?
Решение: Докажем, что значение, большее 91, НОД принимать не может. Заметим, что 1001 = 7·11·13. Так как каждое слагаемое в данной сумме делится на НОД, то НОД является делителем числа 1001. С другой стороны, меньшее слагаемое в сумме (а значит и НОД) не больше, чем 1001 : 10, то есть не больше 101. Осталось заметить, что 91 – наибольший из делителей числа 1001, удовлетворяющий этому условию.
Ответ:91Найдите все пары натуральных чисел, произведение которых равно 2940, а наибольший общий делитель равен 7.
Решение: ab=2940НОД(а,b)=7, значит а=7m, b=7n
ab=7m*7n=49mn
49mn=2940
mn=60
Следующие пары m и n дают в произведении 60:
1 и 60, 2 и 30, 3 и 20, 4 и 15, 5 и 12, 6 и 10.
а=7m, b=7n, следовательно при умножении на семь наши пары превращаются в следующие:
7 и 420, 14 и 210, 21 и 140, 28 и 105, 35 и 84, 42 и 70.
Это и есть ответ.
Докажите, что если натуральные числа m и n взаимно простые, то наибольший общий делитель чисел m+n і m^2+n^2 равен 1 или 2.
Решение: Пусть d=НОД(m+n,m²+n²). Т. е. m+n=ds и m²+n²=dr, при некоторых взаимно простых s и r. Тогда НОД(d,n)=1 и НОД(d,m)=1, т. к. если какое-то простое число p делит одновременно n и d, то из соотношения m+n=ds следует, что p делит и m, т. е. тогда m и n были бы не взаимно просты. Противоречие. Аналогично получается, что d и n обязательно взаимно просты. Итак, получаем 2mn=(m+n)²-m²-n²=d²s²-dr=d(ds²-r). Отсюда следует что 2mn делится на d, но т. к. выше доказали, что m и n взаимно просты с d, то отсюда следует что 2 делится на d. А это и значит, что либо d=1, либо d=2.
Какое число называют наибольшим общим делителем натуральных чисел a и b? Какие два числа называют взаимо простыми? Приведите пример.
Решение: Числа называются взаимно простыми если при разложении на множители у них нет общих делителей (1 не считаем).
Примеры 2 и 3, 14 и 3.
Наибольший общий делитель(сокращённо НОД) чисел a и b - наибольшее число, на которое делится эти числа. например: возьмём числа 26 и 39. число 26 делится на такие числа: 1, 2, 13, 26. а число 39 делится на такие числа: 1, 3, 13, 39. ВСЕ ЧИСЛА, на которые ДЕЛЯТ, называются делителями!
сравниваем делители чисел:
26 - 1,2,13,26
39 - 1,3,13,39
ОБЩИМИ(похожими) являются числа 1 и 13. наибольший из них 13
наибольший общий делитель чисел 26 и 39 является число 13!
Взаимно простые числа - это числа, которые имеют только один общий делитель. ЭТИМ ЧИСЛО ЯВЛЯЕТСЯ ТОЛЬКО 1. например: возьмём числа 17 и 19. число 17 делится на такие числа: 1, 17. число 19 делится на такие числа: 1, 19.
сравниваем:
17 - 1,17
19 -19
общим делителем является число 1
значит числа 17 и 19 являются ВЗАИМНО ПРОСТЫМИ числами
Сократить дробь на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя 90/162
Решение: 90 : 2 = 45 162 : 2 = 8145 : 3 = 15 81 : 3 = 27
15 : 3 = 5 27 : 3 = 9
5 : 5 = 1 9 : 3 = 3
90 = 2*3*3*5 3 : 3 = 1
162 = 2*3*3*3*3
НОД (90; 162) = 2 * 3 * 3 = 18 - наибольший общий делитель
90 : 18 = 5 162 : 18 = 9
90/162 = 5/9
Как сократить дробь на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя?
Решение: Это значит сократить числитель и знаменатель на одно и тоже число.
Например :4/24 = 1/6 сокращаем на 4
15/60= 1/4 сокращаем на 15
наибольшее число, на которое можно сократить дробь-это наибольший общий делитель(НОД) её числителя и знаменателя.
например, сократим дробь 16/24
16= 2*2*2*2
24=2*2*2*3
HOД=2*2*2=8
16/24=(16:8)/ (24:8)=2/3
На городской улице, впервые за 10 лет, встретились старые приятели математики Порфирьевич и Лев Львович, и между ними состоялся такой разговор:
— Здравствуйте, Лев, рад снова вас видеть Как у вас дела?
— Приветствую вас, У меня всё прекрасно, интересная работа, любимая жена и трое детей А как у вас?
— У меня тоже всё хорошо А сколько лет вашим детям?
— В сумме всем им 16, а произведение, м-м-м. — Лев Львович огляделся и, посмотрев на стоящую перед ними многоэтажку, добавил, — как окон вот в этом доме — и с улыбкой указал на неё рукой.
— Этого недостаточно, — усмехнулся Порфирьевич.
— Ах да, — согласился Лев Львович, — все их возрасты взаимно просты.
— Тогда понятно. Рад за вас, — заключил Порфирьевич.
Сколько лет детям Льва Львовича?
* набор возможных вариантов не является верным ответом, верное решение – единственно.
** мнения математиков считаются заведомо верными, т. е. соответствующими истине с точки зрения логики.
*** взаимно простыми называют числа, наибольший общий делитель которых равен единице. Например, числа: 21, 22 и 25 – взаимно просты. И даже тройка 20, 21, 25 – тоже тройка взаимно простых чисел, хотя некоторые из них попарно взаимно непросты.
Решение: Существует всего 20 комбинаций возрастов, которые в сумме дают 16:
1, 1, 14
1, 2, 13
1, 3, 12
1, 4, 11
1, 5, 10
1, 6, 9
1, 7, 8
2, 2, 12
2, 3, 11
2, 4, 10
2, 5, 9
2, 6, 8
2, 7, 7
3, 3, 10
3, 4, 9
3, 5, 8
3, 6, 7
4, 5, 7
4, 6, 6
5, 5, 6
Посчитаем, какие произведения получатся, если эти возрасты перемножить:
1 * 1 * 14 = 14
1 * 2 * 13 = 26
1 * 3 * 12 = 36
1 * 4 * 11 = 44
1 * 5 * 10 = 50
1 * 6 * 9 = 54
1 * 7 * 8 = 56
2 * 2 * 12 = 48
2 * 3 * 11 = 66
2 * 4 * 10 = 80
2 * 5 * 9 = 90
2 * 6 * 8 = 96
2 * 7 * 7 = 98
3 * 3 * 10 = 90
3 * 4 * 9 = 108
3 * 5 * 8 = 120
3 * 6 * 7 = 126
4 * 5 * 7 = 140
4 * 6 * 6 = 144
5 * 5 * 6 = 150
Порфирий Порфирьевич посчитал количество окон в доме. Так как он не смог сразу однозначно определить возрасты детей, то значит полученное количество окон можно получить из нескольких разных комбинаций возрастов. У нас все произведения разные и только число 90 встречается в списке дважды.
При этом возраста равны 2, 5, 9 или 3, 3 и 10.
Только в первой комбинации - 2, 5, 9 - все три числа взаимно просты.Чему равен наибольший общий делитель чисел x, y, и z, если z делится на y, а y делится на x?
Решение: 1. Если x делится на у, то y<=x.2. НОД не может превосходить наименьшего из всех чисел
Используем эти факты. Очевидно, z делится на х. Тогда y тройки х, y, z существует по крайней мере один общий делитесь х. Но т. к. x=min(x,y,z), то х - наибольший общий делитель.
НОД (x; y; z)=НОД(НОД(z,y), x)=НОД (y; x)=x
иначе так как z делится на y, а y делится на x, то можно представить
y=x*a;
z=y*b=x*a*b, где - a,b - некоторые целые числа
и тогда НОД (x; y; z)=НОД (x; a*x; a*b*x)=x
Возьмём три числа: 60, 90 и 120. Каждое из них делится на 30. Значит число 30 есть делитель каждого из них. Принято говорить, что число 30 есть общий делитель чисел: 60, 90 и 120.
В дальнейшем нам часто придётся искать общий делитель для двух, трёх и т. д. чисел. Запомним, что общим делителем нескольких чисел называется число, на которое все данные...