НОД и НОК »

наибольший общий делитель равен наименьшему общему кратному - страница 6

  • А) Приведите пример десяти таких различных двузначных чисел, среди
    которых ровно 5 делятся на 3, ровно 5 делятся на 5, ровно 5 делятся на 7 и
    ровно 3 делятся на 15.
    б) Существуют ли такие десять различных двузначных чисел, среди которых
    ровно 6 делятся на 3, ровно 7 делятся на 5, ровно 8 делятся на 7?
    в) Про десять различных двузначных чисел известно, что наибольший общий
    делитель любых двух из них равен 1, 2, 3, 5 или 7. Какое наибольшее
    количество из этих десяти чисел может делиться на 5?


    Решение: 1) 12 25 30 35 49 56 60 63 75 77
    на 3:  12, 30, 60, 63, 75
    на 5: 25, 30, 35, 60, 75
    на 7:  35, 49, 56, 63, 77
    на 15: 30, 60, 75
    б) Существуют ли такие десять различных двузначных чисел, среди которых ровно 6 делятся на 3, ровно 7 делятся на 5, ровно 8 делятся на 7?
    Ответ: НЕТ
    двузначные числа кратные 3 и 5: 15, 30, 45, 60, 70, 75, 90.
    двузначные числа кратные 3 и 7: 21,42,63,70, 84
    двузначные числа кратные 5 и 7: 35, 70
    Чисел кратных 7 ровно 8 из 10, из них только два (35,75) тоже кратны 5, значит делится на 5 должны ещё пять чисел (ровно 7 делятся на 5), что невозможно, поскольку из 10 остаётся лите два числа (остальные 8 должны быть кратны 7).

  • Найдите общие делители и наибольший общий делитель чисел 84 и 56 225и 180


    Решение:

    1) 84 и 56
    84=2*2*3*7 56=2*2*2*7
    общие делители 2 и 7
    наибольший общий делитель 28
    2) 225 и 180
    225=5*5*3*3 180=5*3*3*2*2
    общие делители 3 и 5
    наибольший общий делитель 45

  • Найдите наибольшее простое число p, для которого существует такое целое число k, что число p является общим делителем чисел k^4+12k^2+12 и k^3+9k


    Решение: Пусть p>1 общий делитель k^4 +12*k^2+12 и k^3+9k
    Разложим k^4 + 12 * k^2 +12 = k (k^3 + 9k) + 3*k^2 + 12
    Так как p делитель  k^4 +12*k^2+12 и k^3+9k, то p должно быть делителем и 3*k^2 + 12.
    То есть p делитель k^3+9k и 3*k^2 + 12.
    Далее, заметим, что p = 3 подходит. При p = 3, существует k = 3, при котором выполняется условие задачи.
    Если p простое и не равно 3, то можно поделить второе число на 3 (p делитель 3*k^2 + 12 и p<>3, следовательно p делитель k^2+4).
    Получим, что p делитель k^3+9k и k^2 + 4.
    Разложим k^3+9k = k (k^2+4) + 5k
    Так как p делитель k^3+9k и k^2 + 4, то p делитель и 5k.
    Значит, p общий делитель 5k и k^2+4.
    Заметим, что p = 5 подходит. При p = 5, k =1 и выполняется условие задачи.
    Если p простое и не равно 5, то т. к. p делитель 5k, то p делитель k.
    Тогда p - делитель k и k^2+4. 
    Аналогично раскладываем k^2 + 4 = k* k + 4. Отсюда следует, что p должно быть делителем 4. То есть p может равняться 2. При p=2, k=2 условие задачи выполнено.
    После очередного разложения у нас осталось два числа k и 4. Общий простой делитель p=2 мы уже рассмотрели.
    Итак, всего есть три простых p: p=5, p=3, p = 2. Тогда ответ: наибольшее простое p = 5.
     

  • Найди общий наибольший делитель методом разложения на простые множители:
    855 и 11400;
    40, 100 и 180.


    Решение: НОД(855; 11400) = 5*3*19 = 285
    855 5  11400 5
    171 3 2280 5
      57 3 456 2
      19 19 228 2
      1 114 2
      57 3
      19 19
      1
    НОД(40; 100; 180) = 5*2*2 = 20
    40 5 100 5 180 5
     8 2  20 5 36 2
     4 2  4 2 18 2 
     2 2 2 2 9 3
     1 1  3 3
      1 

  • Найдите наибольший делитель чисел способом разложения на простые множители:
    1) 48 и 84
    2) 72 и 96


    Решение: 48 и 84 наибольший делитель 12 (4 и 7)
    72 и 96 наибольший делитель 24 (3 и 4)

    1.
    2 * 2 * 2 *2 * 3 = 48 это простые множители числа 48 
    2 * 2 * 3 * 7 = 84 это простые множители числа 84 
    Теперь выбираем одинаковые и их перемножаем
    2 * 2 * 3 = 12 это и есть наибольший общий делитель, который принято обозначать так  НОД (48; 84) = 12
    2.
    2 * 2 * 2 *3 * 3 = 72 это простые множители числа 72
    2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 = 96 это простые множители числа 96 
    Теперь выбираем одинаковые и их перемножаем
    2 * 2 * 2 * 3 = 24 это и есть наибольший общий делитель, который обозначим так  НОД (72; 96) = 24

  • Найди наибольший общий делитель чисел методом разложения на простые множители 1)520 и 468 2) 814 и 4400 3) 855 и 11400 4)40,100 и 180


    Решение: 1) 
    520=4*13*10= 2*2*2*5*13
    468= 4*117= 2*2*3*3*13
    НОД (468,520) = 2*2*13= 52
    2)
    814 = 2*407= 2*11*37
    4400= 4*11*4*25= 2*2*2*2*5*5*11
    НОД (814,4400) = 2*11=22
    3)
    855=5*171=3*3*5*19
    11400= 2*57 *4*25 = 2*2*2*3*5*5*19
    НОД (855,11400) = 3*5*19= 285
    4)
    40 = 4*10=2*2*2*5
    100= 4*25 = 2*2*5*5
    180 = 6*3*10 = 2*2*3*3*5
    НОД (40,100,180)=2*2*5=20

<< < 456