- Метод замены переменной в неопределенном интегралеВ основе метода лежит следующее простое свойство неопределенного интеграла: $$ \int f(x)dx = \left\{ \begin{array}{c}x = g(t)\\dx = g’(t)dt\end{array}\right\} =\\= \int f(g(t)) \cdot g’(t)dt $$ Мы выражаем исходную переменную интегрирования x через новую переменную t и получаем выражение для dx. Затем подставляем полученные выражения в исходный интеграл. Предполагается, что замена подобрана таким образом, что последний интеграл вычислить легче, чем исходный. Рассмотрим пример: $$ \int...
- Метод математической индукцииВ основе метода математической индукции лежит следующий принцип. Некоторое утверждение верно при любом натуральном n, если; 1) оно верно при n = 1 и 2) из справедливости, этого утверждения при каком-либо произвольном значении n = k (k >1 ) следует, что оно верно и при n = k + 1. Действительно, при n = 1 утверждение верно в силу 1). Далее, 2 = 1...
- Многочлен и одночленАлгебраическое выражение, составленное из нескольких других выражений, соединенных между собою знаками + или -, называется многочленом. Например: $$ ab-a+b^2-10+\frac{a-b}{2} $$ Отдельные выражения, от соединения которых знаками + или - получился многочлен, называются его членами. Обычно члены многочлена рассматриваются вместе с теми знаками, которые стоят перед ними; например, говорят: член - а, член + b2 и т. п. Перед первым членом, если перед...
- Модуль числа
Два противоположных числа, например +6 и -6, отличаются знаками, но записываются одинаковыми цифрами. Говорят, что они имеют одинаковые абсолютные величины. Абсолютная величина каждого из них равна 6.
Модулем (абсолютной величиной) положительного числа является само это число, модулем отрицательного числа - противоположное ему число, модулем числа 0 - само число 0. То есть под модулем числа понимается абсолютная величина, абсолютное значение этого... - Наибольший общий делитель
Возьмём три числа: 60, 90 и 120. Каждое из них делится на 30. Значит число 30 есть делитель каждого из них. Принято говорить, что число 30 есть общий делитель чисел: 60, 90 и 120.
В дальнейшем нам часто придётся искать общий делитель для двух, трёх и т. д. чисел. Запомним, что общим делителем нескольких чисел называется число, на которое все данные... - Определение и свойства комплексных чисел
Если ограничиваться только вещественными числами, то, как известно, действие извлечения корня не всегда выполнимо; корень четной степени из отрицательного числа не имеет ответа в области вещественных чисел. В связи с этим уже квадратное уравнение с вещественными коэффициентами не всегда имеет вещественные корни.Это обстоятельство приводит, естественно к расширению понятия о числе, к введению новых чисел более общей природы, частным случаем... - Определение наименьшего общего кратного (НОК)Если некоторое выражение делится вполне на каждое из нескольких данных выражений, то оно называется кратным данных выражений; например, выражение \(6а^2b^2\) есть общеe кратноe выражений \(2а^2b\) и \(6b\). Представим себе общее кратное нескольких выражений и помножим его на какое-нибудь новое выражение; полученное произведение будет также делиться на каждое из данных выражений и, следовательно, окажется новым общим кратным этих выражений: так, в...
- Определение первообразной и неопределенного интеграла
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f ’(x) или дифференциала f ’(x)dx данной функции f(x)
В интегральном исчислении решается обратная задача:
Дана функция f(x); требуется найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx в области определения функции f(x), т.е. в этой области функции f(x) и F(x)... - Основные свойства неопределенного интегралаДанные свойства используются для осуществления преобразований интеграла с целью его сведения к одному из элементарных интегралов и дальнейшему вычислению. Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции: $$ \frac{d\int f(x)dx}{dx}=f(x) $$ Дифференциал неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению: $$ d\int f(x)dx = f(x)dx $$ Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме самой этой функции и произвольной постоянной: $$ \int df(x)=f(x)+ Const $$ Постоянный...
- Основные свойства степениСвойства степеней (с примерами) 1-е свойство степени Любое число отличное от нуля в нулевой степени равно единице: \(a^0 = 1\), если a≠0 Например: $$ 112^0 = 1, (−4)^0 = 1, (0,15)^0 = 1 $$ 2-е свойство степени Любое число в первой степени равно самому числу: \(a^1 = a\) Например: $$ 23^1 =23, (−9,3)^1 = −9,3 $$ 3-е свойство степени Любое число в четной...
Два противоположных числа, например +6 и -6, отличаются знаками, но записываются одинаковыми цифрами. Говорят, что они имеют одинаковые абсолютные величины. Абсолютная величина каждого из них равна 6.
Модулем (абсолютной величиной) положительного числа является само это число, модулем отрицательного числа - противоположное ему число, модулем числа 0 - само число 0. То есть под модулем числа понимается абсолютная величина, абсолютное значение этого...
Возьмём три числа: 60, 90 и 120. Каждое из них делится на 30. Значит число 30 есть делитель каждого из них. Принято говорить, что число 30 есть общий делитель чисел: 60, 90 и 120.
В дальнейшем нам часто придётся искать общий делитель для двух, трёх и т. д. чисел. Запомним, что общим делителем нескольких чисел называется число, на которое все данные...
Если ограничиваться только вещественными числами, то, как известно, действие извлечения корня не всегда выполнимо; корень четной степени из отрицательного числа не имеет ответа в области вещественных чисел. В связи с этим уже квадратное уравнение с вещественными коэффициентами не всегда имеет вещественные корни.Это обстоятельство приводит, естественно к расширению понятия о числе, к введению новых чисел более общей природы, частным случаем...
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f ’(x) или дифференциала f ’(x)dx данной функции f(x)
В интегральном исчислении решается обратная задача:
Дана функция f(x); требуется найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx в области определения функции f(x), т.е. в этой области функции f(x) и F(x)...