- Отношения и пропорции
Отношение
Часто приходится сравнивать между собой одну величину с другой величиной, однородной ей, с целью узнать, сколько раз первая величана содержит в себе вторую.
Например, мы с этой целью можем сравнивать вес какого-нибудь предмета с весом другого предмета, цену одного товара с ценой другого товара и т.п. Во всех таких случаях результат сравнения выражается числом, которое может быть и целым, и целым... - Переход от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой
Выбором прямоугольной декартовой системы координат устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел. Это означает, что каждой точке плоскости соответствует единственная пара чисел и каждой упорядоченной паре действительных чисел соответствует единственная точка.
Выбор той или иной системы координат ничем не ограничен и определяется в каждом конкретном случае только соображениями удобства. Часто одно и то же множество приходится... - Правила действий с корнямиВеличина корня не изменится, если его показатель увеличить в n раз и одновременно возвести подкоренное значение в степень n: $$ \sqrt[m]{a}=\sqrt[m\cdot n]{a^n} $$ Величина корня не изменится, если показатель степени уменьшить в n раз и одновременно извлечь корень n-й степени из подкоренного значения: $$ \sqrt[m]{a}=\sqrt[m:n]{\sqrt[n]{a}} $$ Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней той же степени из этих сомножителей: $$ \sqrt[m]{a...
- Правила действий со степенямиСтепень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей с тем же показателем: $$ (abc...)^n =a^n b^n c^n ...$$ Практически более важно обратное преобразование: $$ a^n b^n c^n ...= (abc...)^n $$, т.е. произведение одинаковых степеней нескольких величин равно той же степени произведения этих величин. Степень частного (дроби) равна частному от деления той же степени делимого на ту же степень делителя: $$...
- Преобразование смешанных дробей в простые и обратноЕсли данное дробное выражение представляет только частное от деления числителя на знаменатель и не содержит целого слагаемого или вычитаемого, то оно называется простой или одночленной дробью. $$ \frac{a-b}{a+b} $$ Если же данное выражение представляет сумму или разность дроби с целым выражением, то оно называется смешанной или многочленной дробью. $$ a - \frac{b^2}{a-b} \;\;\; смешанная дробь $$ Смешанную дробь можно всегда преобразовать в простую....
- Приближенные значения числа. Абсолютная величина суммы.На практике мы почти никогда не знаем точных значений величин. Никакие весы, как бы точны они ни были, не показывают вес абсолютно точно; любой термометр показывает температуру с той или иной ошибкой; никакой амперметр не может дать точных показаний тока и т. д. К тому же наш глаз не в состоянии абсолютно правильно прочитать показания измерительных приборов. Поэтому, вместо того...
- Приведение подобных членовИногда в многочлене встречаются такие члены, которые отличаются друг от друга только коэффициентами или знаками, или даже совсем не отличаются; такие члены называются подобными. например, в многочлене $$ \underline{4a}-\underline{\underline{3x}}+\underline{0,5a}+\underline{\underline{8x}}+3ax-\underline{\underline{2x}} $$ первый член подобен третьему (они подчеркнуты одной чертой), второй член подобен четвертому и шестому (подчеркнуты двумя чертами), а пятый член не имеет себе подобных. Если в многочлене встречаются подобные между собой члены,...
- Примеры решений систем уравнений
Рассмотрим некоторые типичные системы уравнений, решение которых сводится к решению квадратных уравнений.
Пример 1. Решить систему уравнений
$$ \begin{cases}x^2 + 3y^2 -xy-2x+1 = 0\\x-y=1\end{cases} $$
Поскольку второе уравнение этой системы линейно относительно каждой из переменных х и у, то одна из этих переменных,; например у, легко выражается через другую:
у = х - 1.
Подставляя это выражение для у в первое уравнение системы, получаем:
x2... - Производная произведения двух функцийПусть функция w (х) равна произведению двух функций u (х) и v (х): w (х) = u (х) • v (х). То же самое мы будем записывать кероче: w = u • v. Предположим, что функции u и v дифференцируемы. Будет ли дифференцируемым их произведение w? Имеем: . Δw = w (x + Δ x) - w (x) = u (x +...
- Производная функции
Допустим, есть некоторая функция s (t), указывающая путь, пройденный телом за время от 0 до t. Аргументу t дается некоторое приращение τ, то есть вместо значения t рассматривается значение t + τ. Этому приращению аргумента соответствует следующее приращение функции s (t):
s (t + τ) - s (t).
Это приращение функции делится на приращение аргумента τ
s (t + τ) - s (t)τ
и...
Отношение
Часто приходится сравнивать между собой одну величину с другой величиной, однородной ей, с целью узнать, сколько раз первая величана содержит в себе вторую.
Например, мы с этой целью можем сравнивать вес какого-нибудь предмета с весом другого предмета, цену одного товара с ценой другого товара и т.п. Во всех таких случаях результат сравнения выражается числом, которое может быть и целым, и целым...
Выбором прямоугольной декартовой системы координат устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел. Это означает, что каждой точке плоскости соответствует единственная пара чисел и каждой упорядоченной паре действительных чисел соответствует единственная точка.
Выбор той или иной системы координат ничем не ограничен и определяется в каждом конкретном случае только соображениями удобства. Часто одно и то же множество приходится...
Рассмотрим некоторые типичные системы уравнений, решение которых сводится к решению квадратных уравнений.
Пример 1. Решить систему уравнений
$$ \begin{cases}x^2 + 3y^2 -xy-2x+1 = 0\\x-y=1\end{cases} $$
Поскольку второе уравнение этой системы линейно относительно каждой из переменных х и у, то одна из этих переменных,; например у, легко выражается через другую:
у = х - 1.
Подставляя это выражение для у в первое уравнение системы, получаем:
x2...
Допустим, есть некоторая функция s (t), указывающая путь, пройденный телом за время от 0 до t. Аргументу t дается некоторое приращение τ, то есть вместо значения t рассматривается значение t + τ. Этому приращению аргумента соответствует следующее приращение функции s (t):
s (t + τ) - s (t).
Это приращение функции делится на приращение аргумента τ
s (t + τ) - s (t)τ
и...