График функции

Графический способ решения уравнения mx = n
Уравнение вида mx = n, к которому сводится любое линейное уравнение, может быть легко решено графически. На одном и том же рисунке построим графики двух функций: у = mx и у = n. Если эти графики пересекутся, то абсцисса точки пересечения и даст нам корень уравнения mx = n. Если же эти графики не пересекутся, то это будет означать, что уравнение...
Дробно-линейные функции
Рассмотрим некоторые вопросы поведения функций вида $$ y=\frac{ax+b}{cx+d} \;\;\;(1) $$ где а, b, с и d - заданные числа, причем с отлично от нуля. Такие функции называются дробно-линейными (обычно, говоря о функциях вида (1), предполагают, что ad - bc $\neq$ 0. Это условие мы заменяем здесь более простым условием с $\neq$ 0.). Прежде всего отметим, что дробно-линейная функция (1) определена при всех...
Линейные функции и их графики
Рассмотрим равенство у = 2х + 1. (1) Каждому значению буквы х это равенство ставит в соответствие вполне определенное значение буквы у. Если, например, x = 0, то у = 2 • 0 + 1 = 1; если х = 10, то у = 2 • 10 + 1 = 21; при х = - 1/2 имеем у = 2 •...
График квадратной функции
Покажем, как строится график квадратной функции у = ax2 + bx + c. Наше рассмотрение придется разбить на ряд отдельных этапов. 1. График функции у = x2. Этот график строится «по точкам». Составим следующую таблицу значений функции: x -3 -2 -1 -1/2 0 1/2 1 2 3 ... $y=x^2$ 9 4 1 1/4 0 1/4 1 4 9 ... Отметим соответствующие точки на плоскости координат и соединим их плавной кривой (рис.). Эта кривая называется параболой.На рисунке парабола у = x2 начерчена лишь при -3...
Алгоритм исследования свойств квадратичной функции
Область определения. Область значений. Четность/нечетность функции. при b = 0 функция четная (то есть $у = ах^2 +nс= а(-х)^2 + с$; при $b \neq 0$, функция ни четная, ни нечетная. Нули функции. Если D > 0, то график квадратичной функции имеет два нуля: $х_1 = \frac{-b -\sqrt{D}}{2a}; x_2 = \frac{-b +\sqrt{D}}{2a}$ и график функции пересекает ось х в 2-х точках. Если D = 0,...
График логарифмической функции
Логарифмической функцией называется функция вида y = logax, где а - некоторое фиксированное положительное число, отличное от 1. Формула y = logax выражает то же самое, что и формула аy= х. (1) Отсюда легко установить связь между логарифмической функцией и показательной функцией у = аx (2) Если показательная функция (2) описывает изменение степени в зависимости от изменения ее показателя, то ввиду (1) логарифмическая функция, наоборот, описывает изменение...
Свойства логарифмической функции
Рассмотрим основные свойства логарифмической функции y = logax (1) Напомним, что под а в формуле (1) мы подразумеваем любое фиксированное положительное число, отличное от 1. Свойство 1. Областью определения логарифмической функции служит множество всех положительных чисел. Действительно, пусть b есть произвольное положительное число. Покажем, что выражение $\log_a b$ определено. Как мы знаем, $\log_a b$ есть не что иное, как корень уравнения аz = b (2) Если...

Примеры и задачи на график функции

Прямая L заданная уравнением у = ах (а > 0), делит квадрат ОАВС (О — начало координат, А(0; 4), С(4; 0)) на две фигуры. Задайте следующие функции f в зависимости...
Решение: Прежде все покажем квадрат, а также прямую заданную функцией $ y = ax, a > 0 $ на одной координатной плоскости (смотрите первый рисунок). Отметим, что площадь фигуры, содержащей точку $ A $, — это площадь фигуры под точкой $ A $ до нашей прямой. В свою очередь площадь фигуры,... Подробнее »

Дана функция f(x) где f(x)=x в -3 степени. Найдите все значения х, при которых выполняется неравенство х^2/f(x)>64*f(1/x)...
Решение: Дана функция:$$ f(x)=x^{-3} $$А, теперь, у нас есть неравенство:$$ \frac{x^2}{x^{-3}}>64x^3 $$Вопрос: как я получил функцию $$ x^3 $$ в функции $$ f(\frac{1}{x}) $$.Чтобы было легче понять, подставим вместо f - y. Получим:$$ \frac{1}{y}=x^{-3} \\ \frac{1}{y}=\frac{1}{x^3} \\ y=x^3 $$Остальное решаем:$$ \frac{x^2}{x^{-3}}>64x^3 \\ \frac{x^2}{\frac{1}{x^3}}>64x^3 \\ x^6>64x^3 \\ x^3>64 \\ x>4 $$Ответ: x>4 Дана функция f(x)... Подробнее »

Используя свойства непрерывности функции,докажите что эти уравнения имеют корни в данном промежутке 1) x^6-5x+1=0 1< и равно x< и равно 2 2) sinx-x+1=0 0< и равно x< и равно п...
Решение: Очень просто делается, я всегда так нахожу приблизительные корни уравнений, если не могу решить его аналитически.Нужно проверить, что на концах отрезка значения имеют разные знаки.Тогда где-то внутри отрезка значение будет = 0, так как функция непрерывна.1) x^6 - 5x + 1 = 0F(1) = 1 - 5 + 1 = -3 < 0; F(2) = 64... Подробнее »

Докажите, что функция а) у=х^2-2х-1 неограниченная( ограниченная снизу) б)3-/x+2/=у неограниченная ( ограниченна с верху) (/./-это модуль )...
Решение: Это парабола, ветви которой направлены вверх, поэтому она имеет некоторую нижнюю границу, это вершину:$$ y=x^2-2x-1\\x=-\cfrac{b}{2a}=1\\y(1)=-2\\A(1;-2) $$Эта точка и является нижней границей.$$ 3-|x+2|=y $$ - Данная функция ограничена сверху, так как знак модуля, отразит ее вниз, наибольшей верхней точкой, является точка с координатами:$$ A(-2;3) $$Что и требовалось доказать... Подробнее »

Чему равен предел (lim) числа 3 в степени 1-n и почему?...
Решение: Lim3^(1-n)Распишем 3^(1-n) =3^1 / 3^nТак как, n стремится к бесконечности то получаем, что 3^n бесконечно большое чисто,а число 3 делим на бесконечно большое число, значит получаем 0.и так Lim0=0 ^-степеньи под lim не забывайте подписывать, что n стремится к бесконечности. ... Подробнее »

Найти предел, не используя правило Лопиталя: предел дроби (х+3)/(х+4) в степени (-2х), где х стремится к бесконечности $ \lim_{x \to \infty} ((x+3)/(x+4))^{-2x} $...
Решение: $$ \lim_{x \to \infty}( \frac{x+3}{x+4} )^{-2x}= \lim_{x \to \infty}( \frac{x+4-1}{x+4} )^{-2x}= \\ = \lim_{x \to \infty}( 1-\frac{1}{x+4} )^{-2x}=\lim_{x \to \infty}( 1+\frac{1}{-(x+4)} )^{-(x+4) \frac{2x}{x+4} }= \\ =e^{ \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x+4} }=e^{ \lim_{x \to \infty} \frac{2x/x}{x/x+4/x} }=e^2 $$... Подробнее »